efrei/analyse/main.tex

\documentclass[a4paper,french,11pt]{article}

\title{Analyse}
\author{}
\date{Dernière compilation~: \today{} à \currenttime}

\usepackage{../cours}

\begin{document}

\maketitle
\tableofcontents

\clearpage

\paragraph{Trigonométrie}
    \begin{tabular}{c|ccccc}
        \toprule
        x & 0 & $\frac{\pi}{6}$ & $\frac{\pi}{4}$ & $\frac{\pi}{3}$ & $\frac{\pi}{2}$ \\
        \midrule
        $\sin{x}$ & 0 & $\frac{1}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & 1 \\
        \midrule
        $\cos{x}$ & 1 & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{1}{2}$ & 0 \\
        \midrule
        $\frac{\sin{x}}{\cos{x}} = \tan{x}$ & 0 & $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ & 1 & $\sqrt{3}$ & impossible \\
        \bottomrule
    \end{tabular}

\paragraph{Exponentielle et Logarithme}
        \hfill
        $e^0 = 1 ; e^1 = e$
        \hfill
        $\ln{0} = \text{impossible~; } \ln{1} = 0 \text{~; } \ln{e} = 1$

\paragraph{Dérivées et Primitives}

    \begin{multicols}{2}

        \begin{tabularx}{\linewidth}{YY}
            \toprule
            Primitive --- $f(x)$                      & Dérivée --- $f'(x)$                     \\
            \toprule
            $a$                                       & 0                                       \\
            \midrule
            $ax$                                      & $a$                                     \\
            \midrule
            $\frac{1}{2} x^2$                         & $x$                                     \\
            \midrule
            $x^n$                                     & $nx^{n-1}$                              \\
            \midrule
            $\sqrt{x}$                                & $\frac{1}{2\sqrt{x}}$                   \\
            \midrule
            $\frac{2}{3} x\sqrt{x}$                   & $\sqrt{x}$                              \\
            \midrule
            $e^{ax}$                                  & $ae^{ax}$                               \\
            \midrule
            $a^x$                                     & $a^x \ln{a}$                            \\
            \midrule
            $\ln{|x|}$                                & $\frac{1}{x}$                           \\
            \midrule
            $-\frac{1}{x}$                            & $\frac{1}{x^2}$                         \\
            \midrule
            $\cos{x}$                                 & $-\sin{x}$                              \\
            \midrule
            $\sin{x}$                                 & $\cos{x}$                               \\
            \midrule
            $\tan{x}$                                 & $1 + \tan^2{x} = \frac{1}{\cos^2{x}}$   \\
            \midrule
            $\cot{x}$                                 & $-1 - \cot^2{x} = \frac{-1}{\sin^2{x}}$ \\
            \midrule
            $\arccos{x}$                              & $\frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}$             \\
            \midrule
            $\arcsin{x}$                              & $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$              \\
            \midrule
            $\arctan{x}$                              & $\frac{1}{1 + x^2}$                     \\
            \bottomrule
        \end{tabularx}

        \columnbreak

        \begin{tabularx}{\linewidth}{lY}
            \toprule
            \multirow{2}{*}{Linéarité} & $(u + v)' = u' + v'$ \\
                                       & $(au)' = au'$ \\
            \midrule
            Produit                    & $(uv)' = u'v + uv'$ \\
            \midrule
            Inverse                    & $\left(\frac{1}{v}\right)' = - \frac{v'}{v^2}$ \\
            \midrule
            Quotient                   & $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ \\
            \midrule
            Composée                   & $(f(u))' = u'f'(u)$ \\
            \bottomrule
        \end{tabularx}

        \begin{tabularx}{\linewidth}{YY}
            \toprule
            Fonction & Primitive \\
            \toprule
            $u'u^n$ & $\frac{u^{n+1}}{n+1}$ \\
            \midrule
            $\frac{u'}{u^2}$ & $-\frac{1}{u}$ \\
            \midrule
            $\frac{u'}{\sqrt{u}}$ & $2\sqrt{u}$ \\
            \midrule
            $u'\cos{u}$ & $\sin{u}$ \\
            \midrule
            $u'\sin{u}$ & $-\cos{u}$ \\
            \midrule
            $\frac{u'}{u}$ & $\ln{|u|}$ \\
            \midrule
            $u'e^u$ & $e^u$ \\
            \midrule
            $\frac{u'}{1 + u^2}$ & $\arctan{u}$ \\
            \bottomrule
        \end{tabularx}

    \end{multicols}

\paragraph{Intégrales}\\
    $\int_a^b f(x)\dif x = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$
    \begin{tabular}{|c|c|}
        \toprule
        IPP~: & changement de variables~: \\
        \midrule
        $\int_a^b uv'\dif x = [uv]_a^b - \int_a^b u'v\dif x$ & $\int_a^b f(x)\dif x = \int_{u(a)}^{u(b)} f(u)\frac{\dif u}{u'}$ \\
        \bottomrule
    \end{tabular}

\paragraph{Équations différentielles}

    \begin{tabularx}{\linewidth}{lllc}
        \toprule
        \multicolumn{2}{l}{Type d'E.D.} & Solutions & \\
        \toprule
        \multicolumn{2}{l}{$ay' + by = 0$} & $\lambda e^{rx} \quad \text{ avec } r = \frac{-b}{a}$ & $a, b, \lambda\in\mathbb{R}$ \\
        \midrule
        \multicolumn{2}{l}{$ay' + by = f(x)$} & $y_0 + \lambda e^{rx} \quad \text{ avec } r = \frac{-b}{a}$ & \makecell{$y_0$ solution particulière de \\ $ay' + by = f(x)$ \\ $f$ une fonction et $a, b, \lambda\in\mathbb{R}$} \\
        \midrule
        \multirow{3}{*}{$ay'' + by' + cy = 0$} & $\Delta > 0$ & $\lambda e^{r_1 x} + \mu e^{r_2 x}$ & \multirowcell{3}[0pt][c]{$\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ \\ $\alpha = \frac{-b}{2a} \quad \beta = \frac{\sqrt{|\Delta|}}{2a}$} \\
        \cline{2-3}
                                               & $\Delta = 0$ & $(\lambda x + \mu) e^{r_0 x}$       & \\
        \cline{2-3}
                                               & $\Delta < 0$ & $e^{\alpha x}(\lambda\cos{(\beta x)} + \mu\sin{(\beta x)})$ & \\
        \bottomrule
    \end{tabularx}

\paragraph{Solutions particulières des équations différentielles de 2\up{nd} ordre}

    \begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
        \toprule
        \multicolumn{2}{c}{Second membre du type $e^{\alpha x}P(x)$} \\
        $\alpha$ non racine & $y_1 = e^{\alpha x} Q(x)$ \\
        $\alpha$ racine simple & $y_1 = x e^{\alpha x} Q(x)$ \\
        $\alpha$ racine double & $y_1 = x^2 e^{\alpha x} Q(x)$ \\
        \midrule
        \multicolumn{2}{c}{Second membre du type $e^{\alpha x}(P_1(x)\cos(\beta x) + P_2(x)\sin(\beta x))$} \\
        $\alpha + i\beta$ non racine & $y_1 = e^{\alpha x}(Q_1(x)\cos(\beta x) + Q_2(x)\sin(\beta x))$ \\
        $\alpha + i\beta$ racine & $y_1 = x e^{\alpha x}(Q_1(x)\cos(\beta x) + Q_2(x)\sin(\beta x))$ \\
        \bottomrule
    \end{tabularx}

\paragraph{Intégrales généralisées}

    Intégrales de référence~:
    \begin{tabular}{lcc}
        \toprule
        Intégrale                                                          & converge si        & diverge si \\
        \toprule
        $\int_a^{+\infty}\frac{1}{x^{\alpha}}\dif x$                       & $\alpha > 1$       & $\alpha \leq 1$ \\
        $\int_a^{+\infty}e^{-\alpha x}\dif x$                       & $\alpha > 0$       & $\alpha \leq 0$ \\
        $\int_a^{+\infty}x^n e^{-\alpha x}\dif x$                   & $\alpha > 0$       & $\alpha \leq 0$ \\
        $\int_a^{+\infty}\frac{1}{x^{\alpha}(\ln x)^{\beta}}\dif x$ & $(\alpha > 1)$ ou $(\alpha = 1 \text{ et }\beta > 1)$ & $(\alpha < 1)$ ou $(\alpha = 1 \text{ et }\beta \leq 1)$ \\
        \bottomrule
    \end{tabular}

    Majoration, minoration~:
    \begin{tabular}{lll}
        $0 \leq f(x) \leq g(x)$ & $\int_a^{+\infty}g(x)\dif x$ converge $\implies \int_a^{+\infty}f(x)\dif x$ converge aussi \\
                                & $\int_a^{+\infty}f(x)\dif x$ diverge $\implies \int_a^{+\infty}g(x)\dif x$ diverge aussi \\
    \end{tabular}

\paragraph{Séries de Fourier}
    $S_f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_n\cos{\frac{2\pi nx}{T}} + b_n\sin{\frac{2\pi nx}{T}}\right)$

    avec
    \hfill
    $a_0 = \frac{1}{T} \int_{-L}^L f(x) \dif x$
    \hfill
    $a_n = \frac{2}{T} \int_{-L}^L f(x) \cos{\frac{2\pi nx}{T}} \dif x$
    \hfill
    $b_n = \frac{2}{T} \int_{-L}^L f(x) \sin{\frac{2\pi nx}{T}} \dif x$

    $f$ paire $\implies b_n = 0$ \\
    $f$ impaire $\implies a_0$ et $a_n = 0$
    \hfill
    $\cos(n\pi) = (-1)^n$
    \qquad
    $\sin(n\pi) = 0$
    \hfill{} \\

    Égalité de Parseval~:
    \hfill
    $\frac{1}{T}\int_{-L}^L f^2(x) \dif x = a_0^2 + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n^2 + b_n^2)$
    \hfill{}

\clearpage
\section{Rappel sur les dérivées}

    \subsection{Définition}

        Soit une fonction $f$ définie au voisinage d'un réel $a$.
        On dit que $f$ est dérivable en $a$ s'il existe un réel $l$ (appelé nombre dérivé de $f$ en $a$), tel que l'on ait une des deux propriétés suivantes~:

        \begin{multicols}{2}

            \begin{enumerate}

                \item $\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = l$

                \item $\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = l$

            \end{enumerate}

        \end{multicols}

        Alors $f'(a) = l$.

    \subsection{Interprétation graphique}

        \begin{multicols}{2}

            \includegraphics[width=0.4\textwidth]{./img/rappel-deriv-int-graph.png}

            Au point $A = (a, y_a = f(a))$, la droite $\Delta$ est la tangente de $f(x)$ en $A$.

            \begin{displaymath}
                \Delta : y = px + m
            \end{displaymath}

            La dérivée donne la pente de la droite $\Delta$.

            \begin{displaymath}
                p = f'(a)
            \end{displaymath}

        \end{multicols}

        Ainsi~:

        \begin{itemize}

            \item si $f'(a) < 0$ alors $f$ est décroissante

            \item si $f'(a) > 0$ alors $f$ est croissante

            \item si $f'(a) = 0$ alors $f$ passe par un extremum (max, min, ou point d'inflexion)

        \end{itemize}

\clearpage
\section{Techniques d'intégration}

    \subsection{Intégration par identification}

        Il s'agit d'essayer de reconnaître une des formes de primitives composées, pour éviter de calculer des expressions complexes à la main.

    \subsection{Intégration par parties}

        \paragraph{Mnémotechnique}

            Il s'agit de trouver quelle expression attribuer à $u$ et quelle expression attribuer à $v'$.
            Un moyen mnémotechnique est~:

            \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
                \multirow{6}{*}{dérivation} & ALPES & \multirow{6}{*}{intégration} \\
                                            & A~: $\arctan$ & \\
                                            & L~: $\ln$ & \\
                                            & P~: polynômes & \\
                                            & E~: $e$ & \\
                                            & S~: $\sin \text{ et } \cos$ & \\
            \end{tabularx}

        \paragraph{Exemple}

            \begin{align*}
                I = \int_0^1 xe^{2x}\dif x \\
                u &= x          & u' &= 1 \\
                v' &= e^{2x}    & v &= \frac{1}{2} e^{2x} \\
            \end{align*}

            La formule $\int_0^1 uv'\dif x = [uv]_0^1 - \int_0^1 u'v\dif x$ devient~:

            \begin{align*}
                I &= [\frac{x}{2} e^{2x}]_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{2} e^{2x}\dif x \\
                  &= [\frac{x}{2} e^{2x}]_0^1 - \frac{1}{2} [\frac{1}{2} e^{2x}]_0^1 \\
                  &= [\frac{x}{2} e^{2x}]_0^1 - \frac{1}{4} [e^{2x}]_0^1 \\
                  &= \frac{e^2}{2} - \frac{1}{4} (e^2 - e^0) \\
                  &= \frac{e^2}{2} - \frac{e^2 - 1}{4} \\
                  &= \frac{e^2 + 1}{4} \\
            \end{align*}

    \subsection{Intégration par changement de variables}

        \paragraph{Exemple}

            \begin{align*}
                \int_0^{\ln{\sqrt{3}}} \frac{1}{e^x + e^{-x}}\dif x\text{,\quad on pose }u&=e^x \\
                u' &= e^x = \frac{\dif u}{\dif x} \\
                \dif x &= \frac{\dif u}{e^x} = \frac{\dif u}{u}
            \end{align*}

            Cela nous donne~:

            \begin{align*}
                \int_{e^0}^{e^{\ln{\sqrt{3}}}} \frac{1}{u + \frac{1}{u}}\,\frac{\dif u}{u} \\
                &= \int_1^{\sqrt{3}} \frac{1}{u^2 + 1}\dif u \\
                &= [\arctan{u}]_1^{\sqrt{3}} \\
                &= \arctan{\sqrt{3}} - \arctan{1} \\
                &= \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12} \\
            \end{align*}

\clearpage
\section{Équations différentielles}

    On étudie ici les équations différentielles \emph{linéaires} et à \emph{coefficients constants}.

    \subsection{Équations différentielles du 1\up{er} ordre}

        Elles sont de la forme $\color{red}{ay' + by = h(x)} \quad (E)$ \quad où $a, b \in \mathbb{R}^*$ et où $y = y(x)$ est la fonction recherchée.

        $(E)$ est linéaire car $y$ intervient de manière linéaire~: il n'y a pas de terme du type $y^3, y^2, \sin{y}$, etc\ldots

        Résoudre une telle équation différentielle se fait en 3 étapes.

        \subsubsection{Trouver la solution homogène ($y_0$)}

            On commence par résoudre l'équation homogène (c'est à dire sans la fonction $h(x)$) associée~:

            \begin{equation*}
                ay_0' + by_0 = 0 \quad (E_0)
            \end{equation*}

            Cela nous donne une équation caractéristique~:

            \begin{align*}
                ar + b &= 0 \\
                r &= -\frac{b}{a}
            \end{align*}

            La solution de $(E_0)$ est alors $\color{red}{y_0 = \lambda e^{rx}} \quad \text{ où } \lambda\in\mathbb{R}$.

        \subsubsection{Trouver une solution particulière ($y_1$)}

            On cherche maintenant une solution particulière de $(E)$ ($ay' + by = h(x)$).
            Pour cela, on va passer par une fonction $y_1$ de même type que la fonction $h(x)$~:

            \begin{itemize}

                \item Pour $h(x) = P_n(x)$, polynôme de degré $n$

                    \begin{equation*}
                        \color{red}{y_1 = Q_n(x)} \text{, polynôme de même degré $n$}
                    \end{equation*}

                    \begin{align*}
                        x &\rightarrow Ax + B \\
                        x^2 &\rightarrow Ax^2 + Bx + C \\
                        x^3 &\rightarrow Ax^3 + Bx^2 + Cx + D \\
                        \dots
                    \end{align*}

                \item Pour $h(x) = P_n(x) e^{\lambda x}$

                    \begin{enumerate}

                        \item si $\lambda \neq r$~:

                            \begin{equation*}
                                \color{red}{y_1(x) = Q_n(x) e^{\lambda x}}
                            \end{equation*}

                        \item si $\lambda = r$~:

                            \begin{equation*}
                                \color{red}{y_1(x) = x Q_n(x) e^{\lambda x}}
                            \end{equation*}

                    \end{enumerate}

                \item Pour $h(x) = \alpha\cos{px} + \beta\sin{px}$

                    \begin{equation*}
                        \color{red}{y_1(x) = A\cos{px} + B\sin{px}}
                    \end{equation*}

            \end{itemize}

            On applique alors l'équation de départ à $y_1$~:

            \begin{equation*}
                Ay_1' + By_1 = h(x)
            \end{equation*}

            Et on la résoud pour trouver $A, B, C, \dots$.

            Cela nous donne $y_1$, solution particulière.

        \subsubsection{Écrire la solution générale ($y$)}

            La solution générale de $(E)$ s'écrit~:

            \begin{equation*}
                \color{red}{y = y_0 + y_1}
            \end{equation*}

    \subsection{Équations différentielles du 2\up{nd} ordre}

        Elles sont de la forme $\color{red}{ay'' + by' + cy = g(x)} \quad (E) \quad \text{ où } a, b, c \in \mathbb{R}$

        Là encore, on passe par les 3 mêmes étapes que pour les équations différentielles du 1\up{er} ordre.

        \subsubsection{Trouver la solution homogène ($y_0$)}

            L'équation homogène associée est~:

            \begin{equation*}
                ay'' + by' +cy = 0 \quad (E_0)
            \end{equation*}

            Cela nous donne une équation caractéristique~:

            \begin{align*}
                &ar^2 + br + c = 0 \\
                &\Delta = b^2 - 4ac \quad \text{(le discriminant)}
            \end{align*}

            \begin{itemize}

                \item si $\Delta > 0$, l'équation caractéristique possède deux racines réelles distinctes $
                    \left\{
                    \begin{array}{l}
                        r_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \\
                        r_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \\
                    \end{array}
                    \right.$

                    Les solutions de $(E_0)$ sont alors~:

                    \begin{equation*}
                        \color{red}{y_0 = \lambda e^{r_1 x} + \mu e^{r_2 x}} \quad \text{ où } \lambda, \mu \in \mathbb{R}
                    \end{equation*}

                \item si $\Delta = 0$, l'équation caractéristique possède une racine double $r_0$~:
                    \begin{align*}
                        \left\{
                        \begin{array}{l}
                            r_0 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \\\\
                            r_0 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \\
                        \end{array}
                        \right.
                        \implies
                        \left\{
                        \begin{array}{l}
                            r_0 = \frac{-b - 0}{2a} \\\\
                            r_0 = \frac{-b + 0}{2a} \\
                        \end{array}
                        \right.
                        \implies
                        r_0 = \frac{-b}{2a}
                    \end{align*}

                    Les solutions de $(E_0)$ sont alors~:

                    \begin{equation*}
                        \color{red}{y_0 = (\lambda x + \mu) e^{r_0 x}} \quad \text{ où } \lambda, \mu \in \mathbb{R}
                    \end{equation*}

                \item si $\Delta < 0$, l'équation caractéristique possède deux racines complexes $
                    \left\{
                    \begin{array}{l}
                        r_1 = \alpha + i\beta \\
                        r_2 = \alpha - i\beta \\
                    \end{array}
                    \right.$
                    \begin{align*}
                        \left\{
                        \begin{array}{l}
                            r_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \\\\
                            r_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \\
                        \end{array}
                        \right.
                        \implies
                        \left\{
                        \begin{array}{l}
                            r_1 = \frac{-b - i\sqrt{|\Delta|}}{2a} \\\\
                            r_2 = \frac{-b + i\sqrt{|\Delta|}}{2a} \\
                        \end{array}
                        \right.
                        \implies
                        \left\{
                        \begin{array}{l}
                            \alpha = \frac{-b}{2a} \\\\
                            \beta = \left|\frac{\sqrt{|\Delta|}}{2a}\right| \\
                        \end{array}
                        \right.
                    \end{align*}

                    Les solutions de $(E_0)$ sont alors~:

                    \begin{equation*}
                        \color{red}{y_0 = e^{\alpha x}(\lambda\cos{(\beta x)} + \mu\sin{(\beta x)})} \quad \text{ où } \lambda, \mu \in \mathbb{R}
                    \end{equation*}

            \end{itemize}

        \subsubsection{Trouver une solution particulière ($y_1$)}

            On cherche maintenant une solution particulière de $(E)$ ($ay'' + by' + cy = g(x)$).
            Pour cela, on a deux cas particuliers.

            \begin{enumerate}

                \item Second membre du type $e^{\alpha x}P(x)$

                    On cherche une solution sous la forme~:

                    \begin{itemize}

                        \item $\color{red}{y_1 = e^{\alpha x} Q(x)}$ si $\alpha$ n'est pas une racine de l'équation caractéristique.

                        \item $\color{red}{y_1 = x e^{\alpha x} Q(x)}$ si $\alpha$ est une racine simple de l'équation caractéristique.

                        \item $\color{red}{y_1 = x^2 e^{\alpha x} Q(x)}$ si $\alpha$ est une racine double de l'équation caractéristique.

                    \end{itemize}

                    où $Q$ est un polynôme du même degré que $P(x)$.

                \item Second membre du type $e^{\alpha x}(P_1(x)\cos(\beta x) + P_2(x)\sin(\beta x))$

                    On cherche une solution sous la forme~:

                    \begin{itemize}

                        \item $\color{red}{y_1 = e^{\alpha x}(Q_1(x)\cos(\beta x) + Q_2(x)\sin(\beta x))}$ si $\alpha + i\beta$ n'est pas une racine de l'équation caractéristique.

                        \item $\color{red}{y_1 = x e^{\alpha x}(Q_1(x)\cos(\beta x) + Q_2(x)\sin(\beta x))}$ si $\alpha + i\beta$ est une racine de l'équation caractéristique.

                    \end{itemize}

                    où $Q_1$ et $Q_2$ sont deux polynômes de degré $n = \max\{deg P_1, deg P_2\}$

            \end{enumerate}

        \subsubsection{Écrire la solution générale ($y$)}

            La solution générale de $(E)$ s'écrit~:

            \begin{equation*}
                \color{red}{y = y_0 + y_1}
            \end{equation*}

\clearpage
\section{Intégrales généralisées}

    On étudie les intégrales du type~:

    \begin{itemize}

        \item $I = \int_a^{+\infty} f(x)\dif x$ où $f$ est continue sur $[a; +\infty[$.

        \item $J = \int_a^b f(x)\dif x$ où $\lim\limits_{x \to a} f(x) = +\infty$ est $f$ continue sur $]a; b[$.

    \end{itemize}

    On va ici étudier principalement les intégrales du type $I$.

    \subsection{Convergence --- Divergence}

        On définit $I = \int_a^{+\infty} f(x)\dif x = \lim\limits_{b \to +\infty} \int_a^b f(x)\dif x$

        Trois cas sont possibles~:

        \begin{enumerate}

            \item Limite finie~: l'intégrale \emph{converge}.
                \begin{equation*}
                    \int_a^{+\infty} f(x)\dif x = \lim\limits_{b \to +\infty} \int_a^b f(x)\dif x = l
                \end{equation*}

            \item Limite infinie~: l'intégrale \emph{diverge}, mais la limite existe.
                \begin{equation*}
                    \int_a^{+\infty} f(x)\dif x = \lim\limits_{b \to +\infty} \int_a^b f(x)\dif x = +\infty
                \end{equation*}

            \item Pas de limite~: l'intégrale \emph{diverge}.

        \end{enumerate}

        Par exemple~:
        \begin{align*}
            I &= \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2}\dif x \\
              &= \lim\limits_{b \to +\infty} \int_1^b \frac{1}{x^2}\dif x \\
              &= \lim\limits_{b \to +\infty} [-\frac{1}{x}]_1^b \\
              &= \lim\limits_{b \to +\infty} (-\frac{1}{b} + 1) \\
              &= 0 + 1 \\
              &\implies I \text{ est convergente et } I = 1
        \end{align*}

    \subsection{Intégrales de référence avec une borne $a > 0$}

        \begin{align*}
            \int_a^{+\infty} \frac{1}{x^{\alpha}}\dif x \quad
            &\left\{
            \begin{array}{l}
                \text{converge si } \alpha > 1 \\
                \text{diverge si } \alpha \leq 1 \\
            \end{array}
            \right. \\
            \int_a^{+\infty} e^{-\alpha x}\dif x \quad
            &\left\{
            \begin{array}{l}
                \text{converge si } \alpha > 0 \\
                \text{diverge si } \alpha \leq 0 \\
            \end{array}
            \right. \\
            \int_a^{+\infty} x^n e^{-\alpha x}\dif x \quad
            &\left\{
            \begin{array}{l}
                \text{converge si } \alpha > 0 \\
                \text{diverge si } \alpha < 0 \\
            \end{array}
            \right.
            \quad \text{(on dit que l'exponentielle l'emporte)} \\
            \int_a^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha(\ln{x})^{\beta}} \dif x \quad
            &\left\{
            \begin{array}{l}
                \text{converge si } (\alpha > 1) \text{ ou } (\alpha = 1 \text{ et } \beta > 1) \\
                \text{diverge si } (\alpha = 1 \text{ et } \beta \leq 1) \text{ ou } (\alpha < 1) \\
            \end{array}
            \right.
        \end{align*}

    \subsection{Majoration et minoration d'intégrales pour les fonctions positives}

        Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur $[a, +\infty[$ et $0 \leq f(x) \leq g(x)$, alors~:

        \begin{align*}
            \int_a^{+\infty} g(x)\dif x \text{ converge } &\implies \int_a^{+\infty} f(x)\dif x \text{ converge aussi} \quad &\color{blue}{(1)} \\
            \int_a^{+\infty} f(x)\dif x \text{ diverge } &\implies \int_a^{+\infty} g(x)\dif x \text{ diverge aussi} \quad &\color{blue}{(2)} \\
        \end{align*}

        \textcolor{blue}{(1)} permet de montrer la convergence de $-\int_a^{+\infty} f(x)\dif x$ par majoration.

        \textcolor{blue}{(2)} permet de montrer la divergence de $-\int_a^{+\infty} g(x)\dif x$ par minoration.

    \subsection{Équivalents pour les fonctions positives}

        Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a, +\infty[$ avec $f(x) \geq 0$ et $g(x) \geq 0$.

        Si $f(x) \sim g(x)$ quand $x \rightarrow +\infty$, alors $\int_a^{+\infty} f(x)\dif x$ converge $\iff \int_a^{+\infty} g(x)\dif x$ converge.

        On peut aussi dire que $\frac{f(x)}{g(x)} \rightarrow 1$ quand $x \rightarrow +\infty$.

\clearpage
\section{Séries de Fourier}

    \subsection{Définition}

        Soit $f$ une fonction $T$-périodique.
        On pose que $L = \frac{T}{2}$.

        La série de Fourier associée à $f$ est~:

        \begin{align*}
            S_f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_n\cos{\frac{2\pi nx}{T}} + b_n\sin{\frac{2\pi nx}{T}}\right) \\
            \text{avec }
            a_0 &= \frac{1}{T} \int_{-L}^L f(x) \dif x \\
            a_n &= \frac{2}{T} \int_{-L}^L f(x) \cos{\frac{2\pi nx}{T}} \dif x \\
            b_n &= \frac{2}{T} \int_{-L}^L f(x) \sin{\frac{2\pi nx}{T}} \dif x
        \end{align*}

    \subsection{Théorême de Dirichlet}

        Plusieurs conditions~:

        \begin{itemize}

            \item $f$ est continue sur $[a;b]$ \\

            \item $f$ est dérivable par morceaux sur $[a;b]$ \\

            \item $\forall x_0 \in [a;b]$, \quad $f(x_0^+) et f(x_0^-)$ sont finis et existent

        \end{itemize}

        Alors la série de Fourier de $f$ converge vers~:

        \begin{itemize}

            \item $f(x)$ si $f$ est continue en $x$ \\

            \item $\frac{f(x_0^+) + f(x_0^-)}{2}$ si $f$ est discontinue en $x$

        \end{itemize}

    \subsection{Remarques}

        \subsubsection{$f$ paire ($f(-x) = f(x)$)}

            \begin{align*}
                \forall n \in \mathbb{N}^* \quad
                b_n &= 0 \\
                a_n &= \frac{2}{T} \int_{-L}^L f(x) \cos{\frac{2n\pi x}{T}} \dif x \\
                    &= \frac{4}{T} \int_0^L f(x) \cos{\frac{2n\pi x}{T}} \dif x
            \end{align*}

        \subsubsection{$f$ impaire ($f(-x) = -f(x)$)}

            \begin{align*}
                \forall n \in \mathbb{N} \quad
                a_n &= 0 \\
                b_n &= \frac{2}{T} \int_{-L}^L f(x) \sin{\frac{2n\pi x}{T}} \dif x \\
                    &= \frac{4}{T} \int_0^L f(x) \sin{\frac{2n\pi x}{T}} \dif x
            \end{align*}

        \subsubsection{Astuces}

            \begin{itemize}

                \item $\int_{-a}^{+a}$ impaire $= 0$ \\

                \item $\int_{-a}^{+a}$ paire $= 2\int_0^{+a}$ paire \\

                \item $\sin(n\pi) = 0 \quad \forall n \in \mathbb{N}$ \\

                \item $\cos(n\pi) = {(-1)}^n \quad \forall n \in \mathbb{N}$ \\

                \item $\cos(n \pm \frac{\pi}{2}) = \mp \sin{n}$ \\

            \end{itemize}

            Si on a la série de Fourier associée à $f(x)$ avec un $\cos$ et qu'on veut calculer la somme, on pose $x = 0$ car $\cos{0} = 1$.

            Si on a la série de Fourier associée à $f(x)$ avec un $\sin$ et qu'on veut calculer la somme, on pose $x = \frac{\pi}{2}$ car $\sin{\frac{\pi}{2}} = 1$.

    \subsection{Exemple}

        Soit $f$ une fonction ni paire ni impaire, périodique de période 10 et définie par~:
        \begin{align*}
            f(x) =
            \left\{
            \begin{array}{l}
                0 \quad \text{si } -5 < x < 0 \\
                3 \quad \text{si } 0 < x < 5 \\
            \end{array}
            \right.
        \end{align*}

        \begin{enumerate}

            \item Déterminer les coefficients de Fourier
                \begin{align*}
                    T = 10 \implies L = 5 \\
                    a_0 &= \frac{1}{5} \int_{-5}^5 f(x) \dif x \\
                        &= \frac{1}{5} \left(\int_{-5}^0 f(x) \dif x + \int_0^5 f(x) \dif x \right) \\
                        &= \frac{1}{5} \left(\int_{-5}^0 0 \dif x + \int_0^5 3 \dif x \right) \\
                        &= \frac{3}{5} [x]_0^5 \\
                    a_0 &= 3
                    \\
                    a_n &= \frac{1}{5} \int_{-5}^5 f(x) \cos{\frac{n\pi x}{5}} \dif x \\
                        &= \frac{1}{5} \left(\int_{-5}^0 f(x) \cos{\frac{n\pi x}{5}} \dif x
                        + \int_0^5 f(x) \cos{\frac{n\pi x}{5}} \dif x \right) \\
                        &= \frac{1}{5} \left(\int_{-5}^0 0 \dif x
                        + \int_0^5 3 \cos{\frac{n\pi x}{5}} \dif x \right) \\
                        &= \frac{1}{5} \left(3\int_0^5 \cos{\frac{n\pi x}{5}} \dif x \right) \\
                        &= \frac{3}{5} \left[\frac{\sin(n\pi x)}{5n\pi}\right]_0^5
                        = \frac{3}{5} \frac{\sin(n\pi 5)}{5n\pi}
                        = \frac{3}{5} \times 0 \\
                    a_n &= 0 \quad \forall n \geq 0 \\
                    \\
                    b_n &= \frac{1}{5} \int_{-5}^5 f(x) \sin{\frac{n\pi x}{5}} \dif x \\
                        &= \frac{1}{5} \int_0^5 3 \sin{\frac{n\pi x}{5}} \dif x \\
                        &= \frac{3}{5} \int_0^5 \sin{\frac{n\pi x}{5}} \dif x \\
                        &= \frac{3}{5} \frac{5}{n\pi}\left[-\cos\frac{n\pi x}{5}\right]_0^5
                        = \frac{-3}{n\pi} [\cos(n\pi) - \cos{0}] \\
                        &= \frac{-3}{n\pi} [(-1)^n - 1] \\
                    b_n &= \frac{3[(-1)^{n+1} + 1]}{n\pi} \quad \forall n \geq 1
                \end{align*}

            \item Donner la série de Fourier associée à $f$
                \begin{align*}
                    S_f(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} \left(a_n \cos{\frac{n\pi x}{5}} + b_n \sin{\frac{n\pi x}{5}}\right) \\
                           &= \frac{3}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} \left(\frac{3[(-1)^{n+1} + 1]}{n\pi} \sin{\frac{n\pi x}{5}}\right) \\ \\
                    S_f(x) &= \frac{3}{2} + \frac{3}{n\pi} \sum_{n=1}^{+\infty} \left([(-1)^{n+1} + 1] \sin{\frac{n\pi x}{5}}\right)
                \end{align*}

        \end{enumerate}

    \subsection{Égalité de Parseval}

        L'égalité de Parseval permet de déterminer la somme en passant par les carrés.
        La fonction doit être continue ou au moins continue par morceaux.

        \begin{equation*}
            \frac{1}{T}\int_{-L}^L f^2(x) \dif x = a_0^2 + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n^2 + b_n^2)
        \end{equation*}

\end{document}