Write intégrales généralisées
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&\implies I \text{ est convergente et } I = 1
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\end{align*}
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\subsection{Intégrales de référence}
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\subsection{Intégrales de référence avec une borne $a > 0$}
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\begin{align*}
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\int_a^{+\infty} \frac{1}{x^{\alpha}}\,\mathrm{d}x \quad
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&\left\{
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\begin{array}{l}
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\text{converge si } \alpha > 1 \\
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\text{diverge si } \alpha \leq 1 \\
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\end{array}
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\right. \\
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\int_a^{+\infty} e^{-\alpha x}\,\mathrm{d}x \quad
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&\left\{
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\begin{array}{l}
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\text{converge si } \alpha > 0 \\
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\text{diverge si } \alpha \leq 0 \\
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\end{array}
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\right. \\
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\int_a^{+\infty} x^n e^{-\alpha x}\,\mathrm{d}x \quad
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&\left\{
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\begin{array}{l}
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\text{converge si } \alpha > 0 \\
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\text{diverge si } \alpha < 0 \\
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\end{array}
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\right.
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\quad \text{(on dit que l'exponentielle l'emporte)} \\
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\int_a^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha(\ln{x})^{\beta}} \,\mathrm{d}x \quad
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&\left\{
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\begin{array}{l}
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\text{converge si } (\alpha > 1) \text{ ou } (\alpha = 1 \text{ et } \beta > 1) \\
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\text{diverge si } (\alpha = 1 \text{ et } \beta \leq 1) \text{ ou } (\alpha < 1) \\
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\end{array}
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\right.
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\end{align*}
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\subsection{Majoration et minoration d'intégrales pour les fonctions positives}
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Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur $[a, +\infty[$ et $0 \leq g(x) \leq f(x)$, alors~:
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\begin{align*}
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\int_a^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x \text{ converge } &\implies \int_a^{+\infty} g(x)\,\mathrm{d}x \text{ converge aussi} \quad &\color{blue}{(1)} \\
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\int_a^{+\infty} g(x)\,\mathrm{d}x \text{ diverge } &\implies \int_a^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x \text{ diverge aussi} \quad &\color{blue}{(2)} \\
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\end{align*}
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\textcolor{blue}{(1)} permet de montrer la convergence de $-\int_a^{+\infty} g(x)\,\mathrm{d}x$ par majoration.
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\textcolor{blue}{(2)} permet de montrer la divergence de $-\int_a^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x$ par minoration.
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\subsection{Équivalents pour les fonctions positives}
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Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a, +\infty[$ avec $f(x) \geq 0$ et $g(x) \geq 0$.
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Si $f(x) \sim g(x)$ quand $x \rightarrow +\infty$, alors $\int_a^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x$ converge $\iff \int_a^{+\infty} g(x)\,\mathrm{d}x$ converge.
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On peut aussi dire que $\frac{f(x)}{g(x)} \rightarrow 1$ quand $x \rightarrow +\infty$.
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\clearpage
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\section{Séries de Fourier}
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