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61
analyse/main.tex
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@ -1,7 +1,16 @@
\documentclass[a4paper,french,12pt]{article}
\title{Analyse}
\author{Alain OSTER --- \href{mailto:alain.oster@intervenants.efrei.fr}{\nolinkurl{alain.oster@intervenants.efrei.fr}}}
\date{Dernière compilation~: \today{} à \currenttime}
\usepackage{../cours}
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\section{Rappel sur les dérivées}
\subsection{Définition}
@ -43,34 +52,50 @@
Soit $a$ un réel et $u$, $v$, $f$ des fonctions dérivables.
\subsubsection{Linéarité}
\begin{tabularx}{\linewidth}{lXl}
$(u + v)' = u' + v'$ \\
$(au)' = au'$
\toprule
\multirow{2}{*}{\textbf{Linéarité}} & \textcolor{red}{$(u + v)' = u' + v'$} & \\
& \textcolor{red}{$(au)' = au'$} & \\
\midrule
\textbf{Produit} & \textcolor{red}{$(uv)' = u'v + uv'$} & \\
\midrule
\textbf{Inverse} & \makecell{\textcolor{red}{$\left(\frac{1}{v}\right)' = - \frac{v'}{v^2}$} \\ pour $v \neq 0$} & (équivaut à $(v^{-1})'$ avec la formule usuelle) \\
\midrule
\textbf{Quotient} & \makecell{\textcolor{red}{$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$} \\ pour $v \neq 0$} & (on retrouve l'inverse pour $u = 1$) \\
\midrule
\textbf{Composée} & \textcolor{red}{$(f(u))' = u'f'(u)$} & \makecell{(si $u$ était une constante, la dérivée serait nulle) \\ ($f'(u) = \frac{df}{du}$ est la dérivée de $f$ par rapport à $u$)} \\
\midrule
\textbf{Réciproque} & \multicolumn{2}{l}{\textcolor{red}{$(f^{-1})' = \frac{1}{f' à f^{-1}}$} ou bien \textcolor{red}{$f^{-1}(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$}} \\
\bottomrule
\subsubsection{Produit}
\end{tabularx}
$(uv)' = u'v + uv'$
\subsection{Exemples pour la composée}
\subsubsection{Inverse}
$f(x) = {(3x + 5)}^4$
$\left(\frac{1}{v}\right)' = - \frac{v'}{v^2}$ pour $v \neq 0$, équivaut à $(v^{-1})'$ avec la formule usuelle.
\begin{align*}
f'(x) &= (3x + 5)' \cdot 4{(3x + 5)}^3 & u &= 3x + 5 \\
&= 3 \cdot 4{(3x + 5)}^3 & u' &= 3 \\
&= 12{(3x + 5)}^3 & (u^4)' &= 4u^3 \\
\end{align*}
\subsubsection{Quotient}
$f(x) = \cos(5x + 7)$
$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ pour $v \neq 0$ (on retrouve l'inverse pour $u = 1$).
\begin{align*}
f'(x) &= (5x + 7) \cdot (-\sin(5x + 7)) & u &= 5x + 7 \\
&= -5\sin(5x + 7) & u' &= 5 \\
& & \cos(u)' &= -\sin(u) \\
\end{align*}
\subsubsection{Composée}
\subsection{Autre notation}
$(f(u))' = u'f'(u)$ (si $u$ était une constante, la dérivée serait nulle).
\begin{displaymath}
f'(x) = \frac{df}{dx}(x)
\end{displaymath}
($f'(u) = \frac{df}{du}$ est la dérivée de $f$ par rapport à $u$).
\subsubsection{Réciproque}
$(f^{-1})' = \frac{1}{f' \to f^{-1}}$
ou bien
$f^{-1}(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$
Avec cette notation, $(f(u))' = u'f'(u)$ devient $\frac{df(u)}{dx} = \frac{du}{dx} \cdot \frac{df}{du}$.
\section{Techniques d'intégration}

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cours.sty
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@ -4,7 +4,32 @@
%showframe,
a4paper,includeheadfoot,margin=1in
]{geometry}
\setcounter{tocdepth}{2}
\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage{babel}
\usepackage{datetime}
\usepackage{color}
\usepackage{amsmath}
\everymath{\displaystyle}
\usepackage{booktabs}
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\sloppy