Make macro for d in integrals
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4a8459bb21
3 changed files with 50 additions and 49 deletions
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@ -523,15 +523,15 @@
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Étudier la convergence des intégrales généralisées suivantes.
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\paragraph{$(I_1)$}
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$\int_1^{+\infty} \frac{2x + x^3}{x^3 + x^4} \,\mathrm{d}x$
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$\int_1^{+\infty} \frac{2x + x^3}{x^3 + x^4} \dif x$
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\begin{align*}
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\forall x \in [1; +\infty[\quad \frac{2x + x^3}{x^3 + x^4} \geq 0 \\\\
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\frac{2x + x^3}{x^3 + x^4} = \frac{x^3(\frac{2}{x^2} + 1)}{x^4(\frac{1}{x} + 1)} \sim \frac{x^3}{x^4} \sim \frac{1}{x} \\
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\text{Or } \int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x \text{ diverge donc $I_1$ diverge par équivalence.} \\
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\text{Or } \int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\dif x \text{ diverge donc $I_1$ diverge par équivalence.} \\
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\end{align*}
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\paragraph{$(I_2)$}
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$\int_0^{+\infty} \frac{x\sqrt{x}}{x^2 \sqrt[3]{x} + 4} \,\mathrm{d}x$
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$\int_0^{+\infty} \frac{x\sqrt{x}}{x^2 \sqrt[3]{x} + 4} \dif x$
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\begin{align*}
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\forall x \in [0; +\infty[\quad \frac{x\sqrt{x}}{x^2 \sqrt[3]{x} + 4} \geq 0 \\\\
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\frac{x\sqrt{x}}{x^2 \sqrt[3]{x} + 4}
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@ -540,11 +540,11 @@
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\sim x^{\frac{3}{2} - \frac{7}{3}}
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\sim x^{-\frac{5}{6}}
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\sim \frac{1}{x^{\frac{5}{6}}} \\
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\text{Or } \int_1^{+\infty}\frac{1}{x^{\frac{5}{6}}}\,\mathrm{d}x \text{ diverge donc $I_2$ diverge par équivalence.} \\
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\text{Or } \int_1^{+\infty}\frac{1}{x^{\frac{5}{6}}}\dif x \text{ diverge donc $I_2$ diverge par équivalence.} \\
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\end{align*}
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\paragraph{$(I_3)$}
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$\int_1^{+\infty} \frac{5x + x^2}{x^3 + x^3\sqrt{x}} \,\mathrm{d}x$
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$\int_1^{+\infty} \frac{5x + x^2}{x^3 + x^3\sqrt{x}} \dif x$
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\begin{align*}
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\forall x \in [1; +\infty[\quad \frac{5x + x^2}{x^3 + x^3\sqrt{x}} \geq 0 \\\\
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\frac{5x + x^2}{x^3 + x^3\sqrt{x}}
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@ -552,11 +552,11 @@
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= \frac{x^2(\frac{5}{x} + 1)}{x^{3 + \frac{1}{2}}(\frac{1}{\sqrt{x}} + 1)}
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\sim \frac{x^2}{x^{\frac{7}{2}}}
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\sim \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \\
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\text{Or } \int_1^{+\infty}\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\,\mathrm{d}x \text{ converge donc $I_3$ converge par équivalence.} \\
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\text{Or } \int_1^{+\infty}\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\dif x \text{ converge donc $I_3$ converge par équivalence.} \\
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\end{align*}
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\paragraph{$(I_4)$}
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$\int_0^{+\infty} \frac{x \sqrt[3]{x}}{x^2\sqrt{x} + 5} e^{-x} \,\mathrm{d}x$
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$\int_0^{+\infty} \frac{x \sqrt[3]{x}}{x^2\sqrt{x} + 5} e^{-x} \dif x$
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\begin{align*}
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\forall x \in [0; +\infty[ \quad \frac{x \sqrt[3]{x}}{x^2\sqrt{x} + 5} e^{-x} \geq 0 \\\\
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\frac{x \sqrt[3]{x}}{x^2\sqrt{x} + 5} e^{-x}
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@ -564,7 +564,7 @@
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\sim \frac{x^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{5}{2}}} e^{-x}
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\sim x^{\frac{-7}{6}} e^{-x}
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\sim \frac{1}{x^{\frac{7}{6}}} e^{-x} \\
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\text{Or } \int_0^{+\infty}\frac{1}{x^{\frac{7}{6}}} e^{-x}\,\mathrm{d}x \text{ converge (l'exponentielle l'emporte) donc $I_4$ converge par équivalence.} \\
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||||
\text{Or } \int_0^{+\infty}\frac{1}{x^{\frac{7}{6}}} e^{-x}\dif x \text{ converge (l'exponentielle l'emporte) donc $I_4$ converge par équivalence.} \\
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(\sim e^{-kx} \text{ avec } k = 1 > 0)
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\end{align*}
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@ -573,7 +573,7 @@
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Étudier la convergence absolue de l'intégrale généralisée suivante.
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\paragraph{$(I_5)$}
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$\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x^2} \,\mathrm{d}x$
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$\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x^2} \dif x$
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$(I_5)$ n'est pas strictement positif sur $[1;+\infty[$.
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Nous allons donc étudier sa valeur absolue.
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@ -581,7 +581,7 @@
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-1 \leq \sin{x} \leq 1 \\
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0 \leq |\sin{x}| \leq 1 \\
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0 \leq \left|\frac{\sin{x}}{x^2}\right| \leq \frac{1}{x^2} \\
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\text{Or } \int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x \text{ converge donc } \left|\frac{\sin{x}}{x^2}\right| \text{ converge par majoration.} \\
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\text{Or } \int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}\dif x \text{ converge donc } \left|\frac{\sin{x}}{x^2}\right| \text{ converge par majoration.} \\
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\implies I_5 \text{ converge absolument.} \\
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\end{align*}
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@ -128,19 +128,19 @@
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\subsection{Intégrales}
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\begin{equation*}
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\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)
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\int_a^b f(x)\dif x = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)
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\end{equation*}
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\subsubsection{Intégration par parties}
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\begin{equation*}
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\int_a^b uv'\,\mathrm{d}x = [uv]_a^b - \int_a^b u'v\,\mathrm{d}x
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||||
\int_a^b uv'\dif x = [uv]_a^b - \int_a^b u'v\dif x
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\end{equation*}
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\subsubsection{Intégration par changement de variables}
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\begin{equation*}
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\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{u(a)}^{u(b)} f(u)\,\frac{\mathrm{d}u}{u'}
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||||
\int_a^b f(x)\dif x = \int_{u(a)}^{u(b)} f(u)\frac{\dif u}{u'}
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||||
\end{equation*}
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\subsection{Équations différentielles}
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@ -169,13 +169,13 @@
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\toprule
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Intégrale & converge si & diverge si \\
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\toprule
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$\int_a^{+\infty}\frac{1}{x^{\alpha}}\,\mathrm{d}x$ & $\alpha > 1$ & $\alpha \leq 1$ \\
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$\int_a^{+\infty}\frac{1}{x^{\alpha}}\dif x$ & $\alpha > 1$ & $\alpha \leq 1$ \\
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\midrule
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$\int_a^{+\infty}e^{-\alpha x}\,\mathrm{d}x$ & $\alpha > 0$ & $\alpha \leq 0$ \\
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$\int_a^{+\infty}e^{-\alpha x}\dif x$ & $\alpha > 0$ & $\alpha \leq 0$ \\
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\midrule
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||||
$\int_a^{+\infty}x^n e^{-\alpha x}\,\mathrm{d}x$ & $\alpha > 0$ & $\alpha \leq 0$ \\
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||||
$\int_a^{+\infty}x^n e^{-\alpha x}\dif x$ & $\alpha > 0$ & $\alpha \leq 0$ \\
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||||
\midrule
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||||
$\int_a^{+\infty}\frac{1}{x^{\alpha}(\ln x)^{\beta}}\,\mathrm{d}x$ & $(\alpha > 1)$ ou $(\alpha = 1 \text{ et }\beta > 1)$ & $(\alpha < 1)$ ou $(\alpha = 1 \text{ et }\beta \leq 1)$ \\
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||||
$\int_a^{+\infty}\frac{1}{x^{\alpha}(\ln x)^{\beta}}\dif x$ & $(\alpha > 1)$ ou $(\alpha = 1 \text{ et }\beta > 1)$ & $(\alpha < 1)$ ou $(\alpha = 1 \text{ et }\beta \leq 1)$ \\
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\bottomrule
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\end{tabularx}
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@ -183,8 +183,8 @@
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Si $0 \leq f(x) \leq g(x)$~:
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\begin{align*}
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\int_a^{+\infty}g(x)\,\mathrm{d}x \text{ converge } &\implies \int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x \text{ converge aussi} \\
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||||
\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x \text{ diverge } &\implies \int_a^{+\infty}g(x)\,\mathrm{d}x \text{ diverge aussi}
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||||
\int_a^{+\infty}g(x)\dif x \text{ converge } &\implies \int_a^{+\infty}f(x)\dif x \text{ converge aussi} \\
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||||
\int_a^{+\infty}f(x)\dif x \text{ diverge } &\implies \int_a^{+\infty}g(x)\dif x \text{ diverge aussi}
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||||
\end{align*}
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\clearpage
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@ -267,15 +267,15 @@
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\paragraph{Exemple}
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\begin{align*}
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I = \int_0^1 xe^{2x}\,\mathrm{d}x \\
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I = \int_0^1 xe^{2x}\dif x \\
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u &= x & u' &= 1 \\
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v' &= e^{2x} & v &= \frac{1}{2} e^{2x} \\
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||||
\end{align*}
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La formule $\int_0^1 uv'\,\mathrm{d}x = [uv]_0^1 - \int_0^1 u'v\,\mathrm{d}x$ devient~:
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La formule $\int_0^1 uv'\dif x = [uv]_0^1 - \int_0^1 u'v\dif x$ devient~:
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\begin{align*}
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||||
I &= [\frac{x}{2} e^{2x}]_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{2} e^{2x}\,\mathrm{d}x \\
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||||
I &= [\frac{x}{2} e^{2x}]_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{2} e^{2x}\dif x \\
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||||
&= [\frac{x}{2} e^{2x}]_0^1 - \frac{1}{2} [\frac{1}{2} e^{2x}]_0^1 \\
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||||
&= [\frac{x}{2} e^{2x}]_0^1 - \frac{1}{4} [e^{2x}]_0^1 \\
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||||
&= \frac{e^2}{2} - \frac{1}{4} (e^2 - e^0) \\
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@ -288,16 +288,16 @@
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\paragraph{Exemple}
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\begin{align*}
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\int_0^{\ln{\sqrt{3}}} \frac{1}{e^x + e^{-x}}\,\mathrm{d}x\text{,\quad on pose }u&=e^x \\
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u' &= e^x = \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \\
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||||
\mathrm{d}x &= \frac{\mathrm{d}u}{e^x} = \frac{\mathrm{d}u}{u}
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||||
\int_0^{\ln{\sqrt{3}}} \frac{1}{e^x + e^{-x}}\dif x\text{,\quad on pose }u&=e^x \\
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||||
u' &= e^x = \frac{\dif u}{\dif x} \\
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\dif x &= \frac{\dif u}{e^x} = \frac{\dif u}{u}
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\end{align*}
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Cela nous donne~:
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\begin{align*}
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\int_{e^0}^{e^{\ln{\sqrt{3}}}} \frac{1}{u + \frac{1}{u}}\,\frac{\mathrm{d}u}{u} \\
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||||
&= \int_1^{\sqrt{3}} \frac{1}{u^2 + 1}\,\mathrm{d}u \\
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||||
\int_{e^0}^{e^{\ln{\sqrt{3}}}} \frac{1}{u + \frac{1}{u}}\,\frac{\dif u}{u} \\
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||||
&= \int_1^{\sqrt{3}} \frac{1}{u^2 + 1}\dif u \\
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||||
&= [\arctan{u}]_1^{\sqrt{3}} \\
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&= \arctan{\sqrt{3}} - \arctan{1} \\
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&= \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12} \\
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@ -551,9 +551,9 @@
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\begin{itemize}
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\item $I = \int_a^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x$ où $f$ est continue sur $[a; +\infty[$.
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\item $I = \int_a^{+\infty} f(x)\dif x$ où $f$ est continue sur $[a; +\infty[$.
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||||
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||||
\item $J = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ où $\lim\limits_{x \to a} f(x) = +\infty$ est $f$ continue sur $]a; b[$.
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||||
\item $J = \int_a^b f(x)\dif x$ où $\lim\limits_{x \to a} f(x) = +\infty$ est $f$ continue sur $]a; b[$.
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\end{itemize}
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@ -561,7 +561,7 @@
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\subsection{Convergence --- Divergence}
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On définit $I = \int_a^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x = \lim\limits_{b \to +\infty} \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$
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On définit $I = \int_a^{+\infty} f(x)\dif x = \lim\limits_{b \to +\infty} \int_a^b f(x)\dif x$
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Trois cas sont possibles~:
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@ -569,12 +569,12 @@
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\item Limite finie~: l'intégrale \emph{converge}.
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\begin{equation*}
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\int_a^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x = \lim\limits_{b \to +\infty} \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = l
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||||
\int_a^{+\infty} f(x)\dif x = \lim\limits_{b \to +\infty} \int_a^b f(x)\dif x = l
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\end{equation*}
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||||
\item Limite infinie~: l'intégrale \emph{diverge}, mais la limite existe.
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\begin{equation*}
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\int_a^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x = \lim\limits_{b \to +\infty} \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = +\infty
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||||
\int_a^{+\infty} f(x)\dif x = \lim\limits_{b \to +\infty} \int_a^b f(x)\dif x = +\infty
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||||
\end{equation*}
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\item Pas de limite~: l'intégrale \emph{diverge}.
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@ -583,8 +583,8 @@
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Par exemple~:
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\begin{align*}
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I &= \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x \\
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||||
&= \lim\limits_{b \to +\infty} \int_1^b \frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x \\
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||||
I &= \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2}\dif x \\
|
||||
&= \lim\limits_{b \to +\infty} \int_1^b \frac{1}{x^2}\dif x \\
|
||||
&= \lim\limits_{b \to +\infty} [-\frac{1}{x}]_1^b \\
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||||
&= \lim\limits_{b \to +\infty} (-\frac{1}{b} + 1) \\
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||||
&= 0 + 1 \\
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@ -594,21 +594,21 @@
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\subsection{Intégrales de référence avec une borne $a > 0$}
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\begin{align*}
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||||
\int_a^{+\infty} \frac{1}{x^{\alpha}}\,\mathrm{d}x \quad
|
||||
\int_a^{+\infty} \frac{1}{x^{\alpha}}\dif x \quad
|
||||
&\left\{
|
||||
\begin{array}{l}
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||||
\text{converge si } \alpha > 1 \\
|
||||
\text{diverge si } \alpha \leq 1 \\
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||||
\end{array}
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||||
\right. \\
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||||
\int_a^{+\infty} e^{-\alpha x}\,\mathrm{d}x \quad
|
||||
\int_a^{+\infty} e^{-\alpha x}\dif x \quad
|
||||
&\left\{
|
||||
\begin{array}{l}
|
||||
\text{converge si } \alpha > 0 \\
|
||||
\text{diverge si } \alpha \leq 0 \\
|
||||
\end{array}
|
||||
\right. \\
|
||||
\int_a^{+\infty} x^n e^{-\alpha x}\,\mathrm{d}x \quad
|
||||
\int_a^{+\infty} x^n e^{-\alpha x}\dif x \quad
|
||||
&\left\{
|
||||
\begin{array}{l}
|
||||
\text{converge si } \alpha > 0 \\
|
||||
|
|
@ -616,7 +616,7 @@
|
|||
\end{array}
|
||||
\right.
|
||||
\quad \text{(on dit que l'exponentielle l'emporte)} \\
|
||||
\int_a^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha(\ln{x})^{\beta}} \,\mathrm{d}x \quad
|
||||
\int_a^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha(\ln{x})^{\beta}} \dif x \quad
|
||||
&\left\{
|
||||
\begin{array}{l}
|
||||
\text{converge si } (\alpha > 1) \text{ ou } (\alpha = 1 \text{ et } \beta > 1) \\
|
||||
|
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@ -630,19 +630,19 @@
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|||
Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur $[a, +\infty[$ et $0 \leq f(x) \leq g(x)$, alors~:
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||||
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||||
\begin{align*}
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||||
\int_a^{+\infty} g(x)\,\mathrm{d}x \text{ converge } &\implies \int_a^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x \text{ converge aussi} \quad &\color{blue}{(1)} \\
|
||||
\int_a^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x \text{ diverge } &\implies \int_a^{+\infty} g(x)\,\mathrm{d}x \text{ diverge aussi} \quad &\color{blue}{(2)} \\
|
||||
\int_a^{+\infty} g(x)\dif x \text{ converge } &\implies \int_a^{+\infty} f(x)\dif x \text{ converge aussi} \quad &\color{blue}{(1)} \\
|
||||
\int_a^{+\infty} f(x)\dif x \text{ diverge } &\implies \int_a^{+\infty} g(x)\dif x \text{ diverge aussi} \quad &\color{blue}{(2)} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
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||||
\textcolor{blue}{(1)} permet de montrer la convergence de $-\int_a^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x$ par majoration.
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||||
\textcolor{blue}{(1)} permet de montrer la convergence de $-\int_a^{+\infty} f(x)\dif x$ par majoration.
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||||
|
||||
\textcolor{blue}{(2)} permet de montrer la divergence de $-\int_a^{+\infty} g(x)\,\mathrm{d}x$ par minoration.
|
||||
\textcolor{blue}{(2)} permet de montrer la divergence de $-\int_a^{+\infty} g(x)\dif x$ par minoration.
|
||||
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||||
\subsection{Équivalents pour les fonctions positives}
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||||
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||||
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a, +\infty[$ avec $f(x) \geq 0$ et $g(x) \geq 0$.
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||||
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||||
Si $f(x) \sim g(x)$ quand $x \rightarrow +\infty$, alors $\int_a^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x$ converge $\iff \int_a^{+\infty} g(x)\,\mathrm{d}x$ converge.
|
||||
Si $f(x) \sim g(x)$ quand $x \rightarrow +\infty$, alors $\int_a^{+\infty} f(x)\dif x$ converge $\iff \int_a^{+\infty} g(x)\dif x$ converge.
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||||
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||||
On peut aussi dire que $\frac{f(x)}{g(x)} \rightarrow 1$ quand $x \rightarrow +\infty$.
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@ -680,9 +680,9 @@
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\begin{align*}
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||||
S(x) = a_0 + \sum_{n = 1}^{+\infty} a_n \cos{(n\omega x)} + b_n \sin{(n\omega x)} \\
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||||
\text{Avec } \omega &= \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi \quad (T = 2 \text{ est la période}) \\
|
||||
a_0 &= \frac{1}{T}\int_0^T f(x)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\,\mathrm{d}x \\
|
||||
a_n &= \frac{2}{T}\int_0^T f(x)\cos{(n\omega x)}\,\mathrm{d}x = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\cos{(n\omega x)}\,\mathrm{d}x \\
|
||||
b = \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\sin{(n\omega x)}\,\mathrm{d}x
|
||||
a_0 &= \frac{1}{T}\int_0^T f(x)\dif x = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\dif x \\
|
||||
a_n &= \frac{2}{T}\int_0^T f(x)\cos{(n\omega x)}\dif x = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\cos{(n\omega x)}\dif x \\
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b = \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\sin{(n\omega x)}\dif x
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\end{align*}
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\subsection{Propriétés}
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@ -692,15 +692,15 @@
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\item Si $f$ est paire~:
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\begin{align*}
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&\forall n \geq 1 ; b_n = 0 \\
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&a_0 = \frac{2}{T} \int_0^{\frac{T}{2}} f(x) \,\mathrm{d}x \\
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&\forall n \geq 1 ; a_n = \frac{4}{T} \int_0^{\frac{T}{2}} f(x) \cos{(n\omega x)} \,\mathrm{d}x
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&a_0 = \frac{2}{T} \int_0^{\frac{T}{2}} f(x) \dif x \\
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||||
&\forall n \geq 1 ; a_n = \frac{4}{T} \int_0^{\frac{T}{2}} f(x) \cos{(n\omega x)} \dif x
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\end{align*}
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\item Si $f$ est impaire~:
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\begin{align*}
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&a_0 = 0 \\
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&\forall n \geq 1 ; a_n = 0 \\
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&\forall n \geq 1 ; b_n = \frac{4}{T} \int_0^{\frac{T}{2}} f(x) \sin{(n\omega x)} \,\mathrm{d}x
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&\forall n \geq 1 ; b_n = \frac{4}{T} \int_0^{\frac{T}{2}} f(x) \sin{(n\omega x)} \dif x
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\end{align*}
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\end{itemize}
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@ -18,6 +18,7 @@
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amsfonts}
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\everymath{\displaystyle}
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\newcommand*\dif{\mathop{}\!\mathrm{d}}
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\usepackage{booktabs}
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\usepackage{tabularx}
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