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analyse/main.tex

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+\documentclass{article}
+
+\usepackage{amsmath}
+
+\everymath{\displaystyle}
+\begin{document}
+
+\section{Rappel sur les dérivées}
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+    \subsection{Définition}
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+        Soit une fonction $f$ définie au voisinage d'un réel $a$.
+        On dit que $f$ est dérivable en $a$ s'il existe un réel $l$ (appelé nombre dérivé de $f$ en $a$), tel que l'on ait une des deux propriétés suivantes~:
+
+        \begin{enumerate}
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+            \item $\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = l$
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+            \item $\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = l$
+
+        \end{enumerate}
+
+        Alors $f'(a) = l$.
+
+    \subsection{Interprétation graphique}
+
+        Au point $A = (a, y_a = f(a))$, la droite $\Delta$ est la tangente de $f(x)$ en $A$.
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+        $\Delta : y = px + m$.
+
+        La dérivée donne la pente de la droite $\Delta$~: $p = f'(a)$
+
+        Ainsi~:
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+        \begin{itemize}
+
+            \item si $f'(a) < 0$ alors $f$ est décroissante.
+
+            \item si $f'(a) > 0$ alors $f$ est croissante.
+
+            \item si $f'(a) = 0$ alors $f$ passe par un extremum (maximum, minimum, ou point d'inflexion).
+
+        \end{itemize}
+
+    \subsection{Propriétés}
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+        Soit $a$ un réel et $u$, $v$, $f$ des fonctions dérivables.
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+        \subsubsection{Linéarité}
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+            $(u + v)' = u' + v'$ \\
+            $(au)' = au'$
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+        \subsubsection{Produit}
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+            $(uv)' = u'v + uv'$
+
+        \subsubsection{Inverse}
+
+            $\left(\frac{1}{v}\right)' = - \frac{v'}{v^2}$ pour $v \neq 0$, équivaut à $(v^{-1})'$ avec la formule usuelle.
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+        \subsubsection{Quotient}
+
+            $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ pour $v \neq 0$ (on retrouve l'inverse pour $u = 1$).
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+        \subsubsection{Composée}
+
+            $(f(u))' = u'f'(u)$ (si $u$ était une constante, la dérivée serait nulle).
+
+            ($f'(u) = \frac{df}{du}$ est la dérivée de $f$ par rapport à $u$).
+
+        \subsubsection{Réciproque}
+
+            $(f^{-1})' = \frac{1}{f' \to f^{-1}}$
+            ou bien
+            $f^{-1}(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$
+
+\section{Techniques d'intégration}
+
+\section{Equations différentielles}
+
+\section{Intégrales généralisées}
+
+\section{Séries de Fourier}
+
+\end{document}