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Add Fourier to coin par coeur, make it fit

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69
analyse/main.tex
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@ -15,8 +15,7 @@
\section{Coin par c\oe{}ur}
\paragraph{Trigonométrie}
\begin{tabularx}{\linewidth}{c|YYYYY}
\begin{tabular}{c|ccccc}
\toprule
x & 0 & $\frac{\pi}{6}$ & $\frac{\pi}{4}$ & $\frac{\pi}{3}$ & $\frac{\pi}{2}$ \\
\midrule
@ -26,18 +25,15 @@
\midrule
$\frac{\sin{x}}{\cos{x}} = \tan{x}$ & 0 & $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ & 1 & $\sqrt{3}$ & impossible \\
\bottomrule
\end{tabularx}
\end{tabular}
\paragraph{Exponentielle et Logarithme}
\begin{multicols}{2}
\hfill
$e^0 = 1 ; e^1 = e$
\hfill
$\ln{0} = \text{impossible~; } \ln{1} = 0 \text{~; } \ln{e} = 1$
\end{multicols}
\paragraph{Dérivées et Primitives}
\begin{multicols}{2}
@ -126,7 +122,7 @@
\paragraph{Intégrales}
$\int_a^b f(x)\dif x = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$
\begin{tabularx}{\linewidth}{YYY}
\begin{tabularx}{\linewidth}{YY}
\toprule
Intégration par parties~: & Intégration par changement de variables~: \\
\midrule
@ -156,12 +152,12 @@
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\toprule
\multicolumn{2}{l}{Second membre du type $e^{\alpha x}P(x)$} \\
\multicolumn{2}{c}{Second membre du type $e^{\alpha x}P(x)$} \\
$\alpha$ non racine & $y_1 = e^{\alpha x} Q(x)$ \\
$\alpha$ racine simple & $y_1 = x e^{\alpha x} Q(x)$ \\
$\alpha$ racine double & $y_1 = x^2 e^{\alpha x} Q(x)$ \\
\midrule
\multicolumn{2}{l}{Second membre du type $e^{\alpha x}(P_1(x)\cos(\beta x) + P_2(x)\sin(\beta x))$} \\
\multicolumn{2}{c}{Second membre du type $e^{\alpha x}(P_1(x)\cos(\beta x) + P_2(x)\sin(\beta x))$} \\
$\alpha + i\beta$ non racine & $y_1 = e^{\alpha x}(Q_1(x)\cos(\beta x) + Q_2(x)\sin(\beta x))$ \\
$\alpha + i\beta$ racine & $y_1 = x e^{\alpha x}(Q_1(x)\cos(\beta x) + Q_2(x)\sin(\beta x))$ \\
\bottomrule
@ -170,28 +166,41 @@
\paragraph{Intégrales généralisées}
Intégrales de référence~:
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\toprule
Intégrale & converge si & diverge si \\
\toprule
$\int_a^{+\infty}\frac{1}{x^{\alpha}}\dif x$ & $\alpha > 1$ & $\alpha \leq 1$ \\
\midrule
$\int_a^{+\infty}e^{-\alpha x}\dif x$ & $\alpha > 0$ & $\alpha \leq 0$ \\
\midrule
$\int_a^{+\infty}x^n e^{-\alpha x}\dif x$ & $\alpha > 0$ & $\alpha \leq 0$ \\
\midrule
$\int_a^{+\infty}\frac{1}{x^{\alpha}(\ln x)^{\beta}}\dif x$ & $(\alpha > 1)$ ou $(\alpha = 1 \text{ et }\beta > 1)$ & $(\alpha < 1)$ ou $(\alpha = 1 \text{ et }\beta \leq 1)$ \\
\bottomrule
\end{tabularx}
\begin{tabular}{lll}
\toprule
Intégrale & converge si & diverge si \\
\toprule
$\int_a^{+\infty}\frac{1}{x^{\alpha}}\dif x$ & $\alpha > 1$ & $\alpha \leq 1$ \\
$\int_a^{+\infty}e^{-\alpha x}\dif x$ & $\alpha > 0$ & $\alpha \leq 0$ \\
$\int_a^{+\infty}x^n e^{-\alpha x}\dif x$ & $\alpha > 0$ & $\alpha \leq 0$ \\
$\int_a^{+\infty}\frac{1}{x^{\alpha}(\ln x)^{\beta}}\dif x$ & $(\alpha > 1)$ ou $(\alpha = 1 \text{ et }\beta > 1)$ & $(\alpha < 1)$ ou $(\alpha = 1 \text{ et }\beta \leq 1)$ \\
\bottomrule
\end{tabular}
Majoration, minoration~:
\begin{tabular}{lll}
$0 \leq f(x) \leq g(x)$ & $\int_a^{+\infty}g(x)\dif x$ converge $\implies \int_a^{+\infty}f(x)\dif x$ converge aussi \\
& $\int_a^{+\infty}f(x)\dif x$ diverge $\implies \int_a^{+\infty}g(x)\dif x$ diverge aussi \\
\end{tabular}
Si $0 \leq f(x) \leq g(x)$~:
\begin{align*}
\int_a^{+\infty}g(x)\dif x \text{ converge } &\implies \int_a^{+\infty}f(x)\dif x \text{ converge aussi} \\
\int_a^{+\infty}f(x)\dif x \text{ diverge } &\implies \int_a^{+\infty}g(x)\dif x \text{ diverge aussi}
\end{align*}
\paragraph{Séries de Fourier}
$S_f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_n\cos{\frac{2\pi nx}{T}} + b_n\sin{\frac{2\pi nx}{T}}\right)$
avec
\hfill
$a_0 = \frac{1}{T} \int_{-L}^L f(x) \dif x$
\hfill
$a_n = \frac{2}{T} \int_{-L}^L f(x) \cos{\frac{2\pi nx}{T}} \dif x$
\hfill
$b_n = \frac{2}{T} \int_{-L}^L f(x) \sin{\frac{2\pi nx}{T}} \dif x$
$f$ paire $\implies b_n = 0$
\qquad
$f$ impaire $\implies a_0$ et $a_n = 0$
\hfill
$\cos(n\pi) = (-1)^n$
\qquad
$\sin(n\pi) = 0$
\clearpage
\section{Rappel sur les dérivées}