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analyse/main.tex
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@ -65,55 +65,6 @@
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\end{itemize}
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\subsection{Propriétés}
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Soit $a$ un réel et $u$, $v$, $f$ des fonctions dérivables.
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\begin{tabularx}{\linewidth}{lXl}
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\toprule
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\multirow{2}{*}{\textbf{Linéarité}} & \textcolor{red}{$(u + v)' = u' + v'$} & \\
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& \textcolor{red}{$(au)' = au'$} & \\
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\midrule
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\textbf{Produit} & \textcolor{red}{$(uv)' = u'v + uv'$} & \\
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\midrule
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\textbf{Inverse} & \makecell{\textcolor{red}{$\left(\frac{1}{v}\right)' = - \frac{v'}{v^2}$} \\ pour $v \neq 0$} & (équivaut à $(v^{-1})'$ avec la formule usuelle) \\
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\midrule
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\textbf{Quotient} & \makecell{\textcolor{red}{$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$} \\ pour $v \neq 0$} & (on retrouve l'inverse pour $u = 1$) \\
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\midrule
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\textbf{Composée} & \textcolor{red}{$(f(u))' = u'f'(u)$} & \makecell{(si $u$ était une constante, la dérivée serait nulle) \\ ($f'(u) = \frac{df}{du}$ est la dérivée de $f$ par rapport à $u$)} \\
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\midrule
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\textbf{Réciproque} & \multicolumn{2}{l}{\textcolor{red}{$(f^{-1})' = \frac{1}{f' à f^{-1}}$} ou bien \textcolor{red}{$f^{-1}(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$}} \\
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\bottomrule
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\end{tabularx}
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\subsection{Exemples pour la composée}
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$f(x) = {(3x + 5)}^4$
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\begin{align*}
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f'(x) &= (3x + 5)' \cdot 4{(3x + 5)}^3 & u &= 3x + 5 \\
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&= 3 \cdot 4{(3x + 5)}^3 & u' &= 3 \\
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&= 12{(3x + 5)}^3 & (u^4)' &= 4u^3 \\
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\end{align*}
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$f(x) = \cos(5x + 7)$
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\begin{align*}
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f'(x) &= (5x + 7) \cdot (-\sin(5x + 7)) & u &= 5x + 7 \\
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&= -5\sin(5x + 7) & u' &= 5 \\
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& & \cos(u)' &= -\sin(u) \\
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\end{align*}
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\subsection{Autre notation}
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\begin{displaymath}
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f'(x) = \frac{df}{dx}(x)
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\end{displaymath}
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Avec cette notation, $(f(u))' = u'f'(u)$ devient $\frac{df(u)}{dx} = \frac{du}{dx} \cdot \frac{df}{du}$.
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\subsection{Dérivées usuelles}
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\begin{tabularx}{\linewidth}{YYY}
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@ -138,7 +89,7 @@
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\midrule
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$\tan{x}$ & $1 + \tan^2{x} = \frac{1}{\cos^2{x}}$ & $\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2} + k \pi\middle|k\in\mathbb{Z}\right\}$ \\
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\midrule
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$\cot{x}$ & $-1 - \cot^2{x} = \frac{-1}{\sin^2{x}}$ & $\mathbb{R}\setminus \pi\mathbb{Z}$ \\
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$\cot{x}$ & $-1 - \cot^2{x} = \frac{-1}{\sin^2{x}}$ & $\mathbb{R}\setminus\pi\mathbb{Z}$ \\
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\midrule
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$\arcsin{x}$ & $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ & $]-1; 1[$ \\
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\midrule
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@ -148,8 +99,92 @@
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\bottomrule
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\end{tabularx}
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\subsection{Propriétés}
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Soit $a$ un réel et $u$, $v$, $f$ des fonctions dérivables.
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\begin{tabularx}{\linewidth}{lXl}
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\toprule
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\multirow{2}{*}{\textbf{Linéarité}} & \textcolor{red}{$(u + v)' = u' + v'$} & \\
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& \textcolor{red}{$(au)' = au'$} & \\
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\midrule
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\textbf{Produit} & \textcolor{red}{$(uv)' = u'v + uv'$} & \\
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\midrule
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\textbf{Inverse} & \makecell{\textcolor{red}{$\left(\frac{1}{v}\right)' = - \frac{v'}{v^2}$} \\ pour $v \neq 0$} & (équivaut à $(v^{-1})'$ avec la formule usuelle) \\
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\midrule
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\textbf{Quotient} & \makecell{\textcolor{red}{$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$} \\ pour $v \neq 0$} & (on retrouve l'inverse pour $u = 1$) \\
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\midrule
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\textbf{Composée} & \textcolor{red}{$(f(u))' = u'f'(u)$} & \makecell{(si $u$ était une constante, la dérivée serait nulle) \\ ($f'(u) = \frac{df}{du}$ est la dérivée de $f$ par rapport à $u$)} \\
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\midrule
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\textbf{Réciproque} & \multicolumn{2}{l}{\textcolor{red}{$(f^{-1})' = \frac{1}{f' à f^{-1}}$} ou bien \textcolor{red}{$f^{-1}(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$}} \\
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\bottomrule
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\end{tabularx}
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\subsubsection{Exemples pour la composée}
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$f(x) = {(3x + 5)}^4$
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\begin{align*}
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f'(x) &= (3x + 5)' \cdot 4{(3x + 5)}^3 & u &= 3x + 5 \\
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&= 3 \cdot 4{(3x + 5)}^3 & u' &= 3 \\
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&= 12{(3x + 5)}^3 & (u^4)' &= 4u^3 \\
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\end{align*}
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$f(x) = \cos(5x + 7)$
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\begin{align*}
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f'(x) &= (5x + 7) \cdot (-\sin(5x + 7)) & u &= 5x + 7 \\
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&= -5\sin(5x + 7) & u' &= 5 \\
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& & \cos(u)' &= -\sin(u) \\
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\end{align*}
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\section{Techniques d'intégration}
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\subsection{Primitives usuelles}
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\begin{tabularx}{\linewidth}{YY}
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\toprule
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Fonction & Une primitive \\
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\toprule
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$f(x) = a$ avec $a\in\mathbb{R}$ & $F(x) = ax$ \\
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\midrule
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$f(x) = x^n$ avec $n\in\mathbb{N}^*$ & $F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ \\
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\midrule
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$f(x) = x^n$ avec $n < -1$, $n\in\mathbb{Z}$ & $F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ \\
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\midrule
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$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ & $F(x) = 2\sqrt{x}$ \\
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\midrule
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$f(x) = \frac{1}{x}$ & $F(x) = \ln{x}$ \\
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\midrule
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$f(x) = \frac{1}{x^2}$ & $F(x) = -\frac{1}{x}$ \\
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\midrule
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$f(x) = e^x$ & $F(x) = e^x$ \\
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\midrule
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$f(x) = \cos{x}$ & $F(x) = \sin{x}$ \\
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$f(x) = \sin{x}$ & $F(x) = -\cos{x}$ \\
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\bottomrule
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\end{tabularx}
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\subsection{Propriétés}
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\begin{tabularx}{\linewidth}{YY}
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\toprule
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Fonction & Une primitive \\
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\toprule
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$u'u^n$ avec $n\in\mathbb{Z}\setminus -1$ & $\frac{u^{n+1}}{n+1}$ \\
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\midrule
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$\frac{u'}{\sqrt{u}}$ & $2\sqrt{u}$ \\
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\midrule
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$\frac{u'}{u}$ avec $u(x) > 0$ & $\ln{u}$ \\
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\midrule
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$u'e^u$ & $e^u$ \\
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\midrule
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$u'\cos{u}$ & $\sin{u}$ \\
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\midrule
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$u'\sin{u}$ & $-\cos{u}$ \\
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\bottomrule
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\end{tabularx}
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\section{Equations différentielles}
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\section{Intégrales généralisées}
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