efrei/analyse/main.tex

\documentclass[a4paper,french]{article}

\title{Analyse}
\author{}
\date{Dernière compilation~: \today{} à \currenttime}

\usepackage{../cours}

\begin{document}

\maketitle
\tableofcontents

\clearpage
\section{Coin par c\oe{}ur}

    \subsection{Trigonométrie}

        \begin{tabularx}{\linewidth}{c|YYYYY}
            \toprule
            x & 0 & $\frac{\pi}{6}$ & $\frac{\pi}{4}$ & $\frac{\pi}{3}$ & $\frac{\pi}{2}$ \\
            \midrule
            $\sin{x}$ & 0 & $\frac{1}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & 1 \\
            \midrule
            $\cos{x}$ & 1 & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{1}{2}$ & 0 \\
            \midrule
            $\frac{\sin{x}}{\cos{x}} = \tan{x}$ & 0 & $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ & 1 & $\sqrt{3}$ & impossible \\
            \bottomrule
        \end{tabularx}

    \subsection{Exponentielle et Logarithme}

        \begin{multicols}{2}

            $e^0 = 1 ; e^1 = e$

            $\ln{0} = \text{impossible~; } \ln{1} = 0 \text{~; } \ln{e} = 1$

        \end{multicols}

    \subsection{Dérivées et Primitives}

        \subsubsection{Usuelles}

            \begin{tabularx}{\linewidth}{YY}
                \toprule
                Primitive --- $f(x)$                      & Dérivée --- $f'(x)$                     \\
                \toprule
                \textcolor{red}{$a$}                      & 0                                       \\
                \midrule
                \textcolor{red}{$ax$}                     & \textcolor{red}{$a$}                    \\
                \midrule
                $\frac{1}{2} x^2$                         & \textcolor{red}{$x$}                    \\
                \midrule
                \textcolor{red}{$x^n$}                    & \textcolor{red}{$nx^{n-1}$}             \\
                \midrule
                \textcolor{red}{$\sqrt{x}$}               & $\frac{1}{2\sqrt{x}}$                   \\
                \midrule
                $\frac{2}{3} x\sqrt{x}$                   & \textcolor{red}{$\sqrt{x}$}             \\
                \midrule
                \textcolor{red}{$e^{ax}$}                 & \textcolor{red}{$ae^{ax}$}              \\
                \midrule
                \textcolor{red}{$a^x$}                    & $a^x \ln{a}$                            \\
                \midrule
                \textcolor{red}{$\ln{|x|}$}               & \textcolor{red}{$\frac{1}{x}$}          \\
                \midrule
                \textcolor{red}{$-\frac{1}{x}$}               & \textcolor{red}{$\frac{1}{x^2}$}          \\
                \midrule
                \textcolor{red}{$\cos{x}$}                & \textcolor{red}{$-\sin{x}$}             \\
                \midrule
                \textcolor{red}{$\sin{x}$}                & \textcolor{red}{$\cos{x}$}              \\
                \midrule
                \textcolor{red}{$\tan{x}$}                & $1 + \tan^2{x} = \frac{1}{\cos^2{x}}$   \\
                \midrule
                $\cot{x}$                                 & $-1 - \cot^2{x} = \frac{-1}{\sin^2{x}}$ \\
                \midrule
                $\arccos{x}$                              & $\frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}$             \\
                \midrule
                $\arcsin{x}$                              & $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$              \\
                \midrule
                \textcolor{red}{$\arctan{x}$}             & \textcolor{red}{$\frac{1}{1 + x^2}$}    \\
                \bottomrule
            \end{tabularx}

        \subsubsection{Composées}

            \begin{multicols}{2}

                \begin{tabularx}{\linewidth}{lY}
                    \toprule
                    \multirow{2}{*}{Linéarité} & $(u + v)' = u' + v'$ \\
                                               & $(au)' = au'$ \\
                    \midrule
                    Produit                    & $(uv)' = u'v + uv'$ \\
                    \midrule
                    Inverse                    & $\left(\frac{1}{v}\right)' = - \frac{v'}{v^2}$ \\
                    \midrule
                    Quotient                   & $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ \\
                    \midrule
                    Composée                   & $(f(u))' = u'f'(u)$ \\
                    \bottomrule
                \end{tabularx}

                \begin{tabularx}{\linewidth}{YY}
                    \toprule
                    Fonction & Primitive \\
                    \toprule
                    $u'u^n$ & $\frac{u^{n+1}}{n+1}$ \\
                    \midrule
                    $\frac{u'}{u^2}$ & $-\frac{1}{u}$ \\
                    \midrule
                    $\frac{u'}{\sqrt{u}}$ & $2\sqrt{u}$ \\
                    \midrule
                    $u'\cos{u}$ & $\sin{u}$ \\
                    \midrule
                    $u'\sin{u}$ & $-\cos{u}$ \\
                    \midrule
                    $\frac{u'}{u}$ & $\ln{|u|}$ \\
                    \midrule
                    $u'e^u$ & $e^u$ \\
                    \midrule
                    $\frac{u'}{1 + u^2}$ & $\arctan{u}$ \\
                    \bottomrule
                \end{tabularx}

            \end{multicols}

    \subsection{Intégrales}

        \begin{equation*}
            \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)
        \end{equation*}

        \subsubsection{Intégration par parties}

            \begin{equation*}
                \int_a^b uv'\,\mathrm{d}x = [uv]_a^b - \int_a^b u'v\,\mathrm{d}x
            \end{equation*}

        \subsubsection{Intégration par changement de variables}

            \begin{equation*}
                \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{u(a)}^{u(b)} f(u)\,\frac{\mathrm{d}u}{u}
            \end{equation*}

    \subsection{Équations différentielles}

        \begin{tabularx}{\linewidth}{lllc}
            \toprule
            \multicolumn{2}{l}{Type d'E.D.} & Solutions & \\
            \toprule
            \multicolumn{2}{l}{$ay' + by = 0$} & $\lambda e^{rx} \quad \text{ avec } r = \frac{-b}{a}$ & $a, b, \lambda\in\mathbb{R}$ \\
            \midrule
            \multicolumn{2}{l}{$ay' + by = f(x)$} & $y_0 + \lambda e^{rx} \quad \text{ avec } r = \frac{-b}{a}$ & \makecell{$y_0$ solution particulière de $ay' + by = f(x)$ \\ $f$ une fonction et $a, b, \lambda\in\mathbb{R}$} \\
            \midrule
            \multirow{3}{*}{$ay'' + by' + cy = 0$} & $\Delta > 0$ & $\lambda e^{r_1 x} + \mu e^{r_2 x}$ & \multirow{3}{*}{$\lambda, \mu \in \mathbb{R}$} \\
            \cline{2-3}
                                                   & $\Delta = 0$ & $(\lambda + \mu x) e^{r_0 x}$       & \\
            \cline{2-3}
                                                   & $\Delta < 0$ & $e^{\alpha x}(\lambda\cos{(\beta x)} + \mu\sin{(\beta x)})$ & \\
            \bottomrule
        \end{tabularx}

\clearpage
\section{Rappel sur les dérivées}

    \subsection{Définition}

        Soit une fonction $f$ définie au voisinage d'un réel $a$.
        On dit que $f$ est dérivable en $a$ s'il existe un réel $l$ (appelé nombre dérivé de $f$ en $a$), tel que l'on ait une des deux propriétés suivantes~:

        \begin{multicols}{2}

            \begin{enumerate}

                \item $\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = l$

                \item $\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = l$

            \end{enumerate}

        \end{multicols}

        Alors $f'(a) = l$.

    \subsection{Interprétation graphique}

        \begin{multicols}{2}

            \includegraphics[width=0.4\textwidth]{./img/rappel-deriv-int-graph.png}

            Au point $A = (a, y_a = f(a))$, la droite $\Delta$ est la tangente de $f(x)$ en $A$.

            \begin{displaymath}
                \Delta : y = px + m
            \end{displaymath}

            La dérivée donne la pente de la droite $\Delta$.

            \begin{displaymath}
                p = f'(a)
            \end{displaymath}

        \end{multicols}

        Ainsi~:

        \begin{itemize}

            \item si $f'(a) < 0$ alors $f$ est décroissante

            \item si $f'(a) > 0$ alors $f$ est croissante

            \item si $f'(a) = 0$ alors $f$ passe par un extremum (max, min, ou point d'inflexion)

        \end{itemize}

\clearpage
\section{Techniques d'intégration}

    \subsection{Intégration par identification}

        Il s'agit d'essayer de reconnaître une des formes de primitives composées, pour éviter de calculer des expressions complexes à la main.

    \subsection{Intégration par parties}

        \paragraph{Mnémotechnique}

            Il s'agit de trouver quelle expression attribuer à $u$ et quelle expression attribuer à $v'$.
            Un moyen mnémotechnique est~:

            \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
                \multirow{6}{*}{dérivation} & ALPES & \multirow{6}{*}{intégration} \\
                                            & A~: $\arctan$ & \\
                                            & L~: $\ln$ & \\
                                            & P~: polynômes & \\
                                            & E~: $e$ & \\
                                            & S~: $\sin \text{ et } \cos$ & \\
            \end{tabularx}

        \paragraph{Exemple}

            \begin{align*}
                I = \int_0^1 xe^{2x}\,\mathrm{d}x \\
                u &= x          & u' &= 1 \\
                v' &= e^{2x}    & v &= \frac{1}{2} e^{2x} \\
            \end{align*}

            La formule $\int_0^1 uv'\,\mathrm{d}x = [uv]_0^1 - \int_0^1 u'v\,\mathrm{d}x$ devient~:

            \begin{align*}
                I &= [\frac{x}{2} e^{2x}]_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{2} e^{2x}\,\mathrm{d}x \\
                  &= [\frac{x}{2} e^{2x}]_0^1 - \frac{1}{2} [\frac{1}{2} e^{2x}]_0^1 \\
                  &= [\frac{x}{2} e^{2x}]_0^1 - \frac{1}{4} [e^{2x}]_0^1 \\
                  &= \frac{e^2}{2} - \frac{1}{4} (e^2 - e^0) \\
                  &= \frac{e^2}{2} - \frac{e^2 - 1}{4} \\
                  &= \frac{e^2 + 1}{4} \\
            \end{align*}

    \subsection{Intégration par changement de variables}

        \paragraph{Exemple}

            \begin{align*}
                \int_0^{\ln{\sqrt{3}}} \frac{1}{e^x + e^{-x}}\,\mathrm{d}x\text{,\quad on pose }u&=e^x \\
                u' &= e^x = \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \\
                \mathrm{d}x &= \frac{\mathrm{d}u}{e^x} = \frac{\mathrm{d}u}{u}
            \end{align*}

            Cela nous donne~:

            \begin{align*}
                \int_{e^0}^{e^{\ln{\sqrt{3}}}} \frac{1}{u + \frac{1}{u}}\,\frac{\mathrm{d}u}{u} \\
                &= \int_1^{\sqrt{3}} \frac{1}{u^2 + 1}\,\mathrm{d}u \\
                &= [\arctan{u}]_1^{\sqrt{3}} \\
                &= \arctan{\sqrt{3}} - \arctan{1} \\
                &= \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12} \\
            \end{align*}

\clearpage
\section{Équations différentielles}

    On étudie ici les équations différentielles \emph{linéaires} et à \emph{coefficients constants}.

    \subsection{Équations différentielles du 1\up{er} ordre}

        Elles sont de la forme $\textcolor{red}{ay' + by = h(x)} \quad (E)$ \quad où $a, b \in \mathbb{R}^*$ et où $y = y(x)$ est la fonction recherchée.

        $(E)$ est linéaire car $y$ intervient de manière linéaire~: il n'y a pas de terme du type $y^3, y^2, \sin{y}$, etc\ldots

        Résoudre une telle équation différentielle se fait en 3 étapes.

        \subsubsection{Trouver la solution homogène ($y_0$)}

            On commence par résoudre l'équation homogène (c'est à dire sans la fonction $h(x)$) associée~:

            \begin{equation*}
                ay_0' + by_0 = 0 \quad (E_0)
            \end{equation*}

            Cela nous donne une équation caractéristique~:

            \begin{align*}
                ar + b &= 0 \\
                r &= -\frac{b}{a}
            \end{align*}

            La solution de $(E_0)$ est alors $\textcolor{red}{y_0 = \lambda e^{rx}} \quad \text{ où } \lambda\in\mathbb{R}$.

        \subsubsection{Trouver la solution particulière ($y_1$)}

            On cherche maintenant une solution particulière de $(E)$ ($ay' + by = h(x)$).
            Pour cela, on va passer par une fonction $y_1$ de même type que la fonction $h(x)$~:

            \begin{itemize}

                \item Pour $h(x) = P_n(x)$, polynôme de degré $n$

                    \begin{equation*}
                        \textcolor{red}{y_1 = Q_n(x)} \text{, polynôme de même degré $n$}
                    \end{equation*}

                    \begin{align*}
                        x &\rightarrow Ax + B \\
                        x^2 &\rightarrow Ax^2 + Bx + C \\
                        x^3 &\rightarrow Ax^3 + Bx^2 + Cx + D \\
                        \dots
                    \end{align*}

                \item Pour $h(x) = P_n(x) e^{\lambda x}$

                    \begin{enumerate}

                        \item si $\lambda \neq r$~:

                            \begin{equation*}
                                \textcolor{red}{y_1(x) = Q_n(x) e^{\lambda x}}
                            \end{equation*}

                        \item si $\lambda = r$~:

                            \begin{equation*}
                                \textcolor{red}{y_1(x) = x Q_n(x) e^{\lambda x}}
                            \end{equation*}

                    \end{enumerate}

                \item Pour $h(x) = \alpha\cos{px} + \beta\sin{px}$

                    \begin{equation*}
                        \textcolor{red}{y_1(x) = A\cos{px} + B\sin{px}}
                    \end{equation*}

            \end{itemize}

            On applique alors l'équation de départ à $y_1$~:

            \begin{equation*}
                Ay_1' + By_1 = h(x)
            \end{equation*}

            Et on la résoud pour trouver $A, B, C, \dots$.

            Cela nous donne $y_1$, solution particulière.

        \subsubsection{Trouver la solution générale ($y$)}

            La solution générale de $(E)$ s'écrit~:

            \begin{equation*}
                y = y_0 + y_1
            \end{equation*}

    \subsection{Équations différentielles du 2\up{nd} ordre}

        Elles sont de la forme $\textcolor{red}{ay'' + by' + cy = g(x)} \quad (E) \quad \text{ où } a, b, c \in \mathbb{R}$

        Là encore, on passe par les 3 mêmes étapes que pour les équations différentielles du 1\up{er} ordre.

        \subsubsection{Trouver la solution homogène ($y_0$)}

            L'équation homogène associée est~:

            \begin{equation*}
                ay'' + by' +cy = 0 \quad (E_0)
            \end{equation*}

            Cela nous donne une équation caractéristique~:

            \begin{align*}
                &ar^2 + br + c = 0 \\
                &\Delta = b^2 - 4ac \quad \text{(le discriminant)}
            \end{align*}

            \begin{itemize}

                \item si $\Delta > 0$, l'équation caractéristique possède deux racines réelles distinctes $
                    \left\{
                    \begin{array}{c}
                        r_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \\
                        r_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \\
                    \end{array}
                    \right.$

                    Les solutions de $(E_0)$ sont alors~:

                    \begin{equation*}
                        \textcolor{red}{y_0 = \lambda e^{r_1 x} + \mu e^{r_2 x}} \quad \text{ où } \lambda, \mu \in \mathbb{R}
                    \end{equation*}

                \item si $\Delta = 0$, l'équation caractéristique possède une racine double $r_0$

                    Les solutions de $(E_0)$ sont alors~:

                    \begin{equation*}
                        \textcolor{red}{y_0 = (\lambda + \mu x) e^{r_0 x}} \quad \text{ où } \lambda, \mu \in \mathbb{R}
                    \end{equation*}

                \item si $\Delta < 0$, l'équation caractéristique possède deux racines complexes $
                    \left\{
                    \begin{array}{c}
                        r_1 = \alpha + i\beta \\
                        r_2 = \alpha - i\beta \\
                    \end{array}
                    \right.$

                    Les solutions de $(E_0)$ sont alors~:

                    \begin{equation*}
                        \textcolor{red}{y_0 = e^{\alpha x}(\lambda\cos{(\beta x)} + \mu\sin{(\beta x)})} \quad \text{ où } \lambda, \mu \in \mathbb{R}
                    \end{equation*}

            \end{itemize}

\clearpage
\section{Intégrales généralisées}

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\section{Séries de Fourier}

\end{document}