efrei/analyse/main.tex

\documentclass[a4paper,french]{article}

\title{Analyse}
\author{Alain OSTER --- \href{mailto:alain.oster@intervenants.efrei.fr}{\nolinkurl{alain.oster@intervenants.efrei.fr}}}
\date{Dernière compilation~: \today{} à \currenttime}

\usepackage{../cours}

\begin{document}

\maketitle
\tableofcontents

\clearpage
\section{Coin par c\oe{}ur}

    \subsection{Trigonométrie}

        \begin{tabularx}{\linewidth}{c|YYYYY}
            \toprule
            x & 0 & $\frac{\pi}{6}$ & $\frac{\pi}{4}$ & $\frac{\pi}{3}$ & $\frac{\pi}{2}$ \\
            \midrule
            $\sin{x}$ & 0 & $\frac{1}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & 1 \\
            \midrule
            $\cos{x}$ & 1 & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{1}{2}$ & 0 \\
            \midrule
            $\frac{\sin{x}}{\cos{x}} = \tan{x}$ & 0 & $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ & 1 & $\sqrt{3}$ & impossible \\
            \bottomrule
        \end{tabularx}

    \subsection{Exponentielle et Logarithme}

        \begin{multicols}{2}

            $e^0 = 1 ; e^1 = e$

            $\ln{0} = \text{impossible~; } \ln{1} = 0 \text{~; } \ln{e} = 1$

        \end{multicols}

    \subsection{Dérivées et Primitives}

        \subsubsection{Usuelles}

            \begin{tabularx}{\linewidth}{YY}
                \toprule
                Primitive --- $f(x)$                      & Dérivée --- $f'(x)$                     \\
                \toprule
                \textcolor{red}{$a$}                      & 0                                       \\
                \midrule
                \textcolor{red}{$ax$}                     & \textcolor{red}{$a$}                    \\
                \midrule
                $\frac{1}{2} x^2$                         & \textcolor{red}{$x$}                    \\
                \midrule
                \textcolor{red}{$x^n$}                    & \textcolor{red}{$nx^{n-1}$}             \\
                \midrule
                \textcolor{red}{$\sqrt{x}$}               & $\frac{1}{2\sqrt{x}}$                   \\
                \midrule
                $\frac{2}{3} x\sqrt{x}$                   & \textcolor{red}{$\sqrt{x}$}             \\
                \midrule
                \textcolor{red}{$e^{ax}$}                 & \textcolor{red}{$ae^{ax}$}              \\
                \midrule
                \textcolor{red}{$a^x$}                    & $a^x \ln{a}$                            \\
                \midrule
                \textcolor{red}{$\ln{|x|}$}               & \textcolor{red}{$\frac{1}{x}$}          \\
                \midrule
                \textcolor{red}{$-\frac{1}{x}$}               & \textcolor{red}{$\frac{1}{x^2}$}          \\
                \midrule
                \textcolor{red}{$\cos{x}$}                & \textcolor{red}{$-\sin{x}$}             \\
                \midrule
                \textcolor{red}{$\sin{x}$}                & \textcolor{red}{$\cos{x}$}              \\
                \midrule
                \textcolor{red}{$\tan{x}$}                & $1 + \tan^2{x} = \frac{1}{\cos^2{x}}$   \\
                \midrule
                $\cot{x}$                                 & $-1 - \cot^2{x} = \frac{-1}{\sin^2{x}}$ \\
                \midrule
                $\arccos{x}$                              & $\frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}$             \\
                \midrule
                $\arcsin{x}$                              & $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$              \\
                \midrule
                \textcolor{red}{$\arctan{x}$}             & \textcolor{red}{$\frac{1}{1 + x^2}$}    \\
                \bottomrule
            \end{tabularx}

        \subsubsection{Composées}

            \begin{multicols}{2}

                \begin{tabularx}{\linewidth}{lY}
                    \toprule
                    \multirow{2}{*}{Linéarité} & $(u + v)' = u' + v'$ \\
                                               & $(au)' = au'$ \\
                    \midrule
                    Produit                    & $(uv)' = u'v + uv'$ \\
                    \midrule
                    Inverse                    & $\left(\frac{1}{v}\right)' = - \frac{v'}{v^2}$ \\
                    \midrule
                    Quotient                   & $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ \\
                    \midrule
                    Composée                   & $(f(u))' = u'f'(u)$ \\
                    \bottomrule
                \end{tabularx}

                \begin{tabularx}{\linewidth}{YY}
                    \toprule
                    Fonction & Primitive \\
                    \toprule
                    $u'u^n$ & $\frac{u^{n+1}}{n+1}$ \\
                    \midrule
                    $\frac{u'}{u^2}$ & $-\frac{1}{u}$ \\
                    \midrule
                    $\frac{u'}{\sqrt{u}}$ & $2\sqrt{u}$ \\
                    \midrule
                    $u'\cos{u}$ & $\sin{u}$ \\
                    \midrule
                    $u'\sin{u}$ & $-\cos{u}$ \\
                    \midrule
                    $\frac{u'}{u}$ & $\ln{|u|}$ \\
                    \midrule
                    $u'e^u$ & $e^u$ \\
                    \midrule
                    $\frac{u'}{1 + u^2}$ & $\arctan{u}$ \\
                    \bottomrule
                \end{tabularx}

            \end{multicols}

    \subsection{Intégrales}

        \begin{equation*}
            \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)
        \end{equation*}

        \subsubsection{Intégration par parties}

            \begin{equation*}
                \int_a^b uv'\,\mathrm{d}x = [uv]_a^b - \int_a^b u'v\,\mathrm{d}x
            \end{equation*}

        \subsubsection{Intégration par changement de variables}

            \begin{equation*}
                \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{u(a)}^{u(b)} f(u)\,\frac{\mathrm{d}u}{u}
            \end{equation*}

    \subsection{Équations différentielles}

        \begin{tabularx}{\linewidth}{YYc}
            \toprule
            Type d'E.D. & Solutions & \\
            \toprule
            $y' = ay$ & $\lambda e^{ax}$ & $a, \lambda \in \mathbb{R}$ \\
            \midrule
            $y' = ay + b$ & $-\frac{b}{a} + \lambda e^{ax}$ & $a, b, \lambda \in \mathbb{R}$ \\
            \midrule
            $y' = ay + f$ & $y_0 + \lambda e^{ax}$ & \makecell{$y_0$ solution particulière de $y' = ay + f$ \\ $f$ une fonction et $a, \lambda \in \mathbb{R}$} \\
            \bottomrule
        \end{tabularx}

\clearpage
\section{Rappel sur les dérivées}

    \subsection{Définition}

        Soit une fonction $f$ définie au voisinage d'un réel $a$.
        On dit que $f$ est dérivable en $a$ s'il existe un réel $l$ (appelé nombre dérivé de $f$ en $a$), tel que l'on ait une des deux propriétés suivantes~:

        \begin{multicols}{2}

            \begin{enumerate}

                \item $\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = l$

                \item $\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = l$

            \end{enumerate}

        \end{multicols}

        Alors $f'(a) = l$.

    \subsection{Interprétation graphique}

        \begin{multicols}{2}

            \includegraphics[width=0.4\textwidth]{./img/rappel-deriv-int-graph.png}

            Au point $A = (a, y_a = f(a))$, la droite $\Delta$ est la tangente de $f(x)$ en $A$.

            \begin{displaymath}
                \Delta : y = px + m
            \end{displaymath}

            La dérivée donne la pente de la droite $\Delta$.

            \begin{displaymath}
                p = f'(a)
            \end{displaymath}

        \end{multicols}

        Ainsi~:

        \begin{itemize}

            \item si $f'(a) < 0$ alors $f$ est décroissante

            \item si $f'(a) > 0$ alors $f$ est croissante

            \item si $f'(a) = 0$ alors $f$ passe par un extremum (max, min, ou point d'inflexion)

        \end{itemize}

\clearpage
\section{Techniques d'intégration}

    \subsection{Intégration par identification}

        Il s'agit d'essayer de reconnaître une des formes de primitives composées, pour éviter de calculer des expressions complexes à la main.

    \subsection{Intégration par parties}

        \paragraph{Mnémotechnique}

            Il s'agit de trouver quelle expression attribuer à $u$ et quelle expression attribuer à $v'$.
            Un moyen mnémotechnique est~:

            \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
                \multirow{6}{*}{dérivation} & ALPES & \multirow{6}{*}{intégration} \\
                                            & A~: $\arctan$ & \\
                                            & L~: $\ln$ & \\
                                            & P~: polynômes & \\
                                            & E~: $e$ & \\
                                            & S~: $\sin \text{ et } \cos$ & \\
            \end{tabularx}

        \paragraph{Exemple}

            \begin{align*}
                I = \int_0^1 xe^{2x}\,\mathrm{d}x \\
                u &= x          & u' &= 1 \\
                v' &= e^{2x}    & v &= \frac{1}{2} e^{2x} \\
            \end{align*}

            La formule $\int_0^1 uv'\,\mathrm{d}x = [uv]_0^1 - \int_0^1 u'v\,\mathrm{d}x$ devient~:

            \begin{align*}
                I &= [\frac{x}{2} e^{2x}]_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{2} e^{2x}\,\mathrm{d}x \\
                  &= [\frac{x}{2} e^{2x}]_0^1 - \frac{1}{2} [\frac{1}{2} e^{2x}]_0^1 \\
                  &= [\frac{x}{2} e^{2x}]_0^1 - \frac{1}{4} [e^{2x}]_0^1 \\
                  &= \frac{e^2}{2} - \frac{1}{4} (e^2 - e^0) \\
                  &= \frac{e^2}{2} - \frac{e^2 - 1}{4} \\
                  &= \frac{e^2 + 1}{4} \\
            \end{align*}

    \subsection{Intégration par changement de variables}

        \paragraph{Exemple}

            \begin{align*}
                \int_0^{\ln{\sqrt{3}}} \frac{1}{e^x + e^{-x}}\,\mathrm{d}x\text{,\quad on pose }u=e^x
            \end{align*}

            \begin{align*}
                &= \int_{e^0}^{e^{\ln{\sqrt{3}}}} \frac{1}{u + \frac{1}{u}}\,\frac{\mathrm{d}u}{u} \\\\
                &= \int_1^{\sqrt{3}} \frac{1}{u^2 + 1}\,\mathrm{d}u
                = [\arctan{u}]_1^{\sqrt{3}}
                = \arctan{\sqrt{3}} - \arctan{1}
                = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12}
            \end{align*}

\clearpage
\section{Équations différentielles}

    \subsection{Équation de type $y' + ay = f$}

        Pour une équation de type $y' + ay = f$ ($f$ étant une fonction), la résolution se fait en 3 étapes.

        \subsubsection{Solution homogène ($y_h$)}

            On commence par résoudre l'équation homogène en enlevant la partie fonction ($f$).

            \begin{equation*}
                y' + ay = 0
            \end{equation*}

            Cela nous donne la première forme~: $y' = -ay$, dont on connaît la solution~:
            \begin{equation*}
                y_h = \lambda e^{-ax}, \lambda \in \mathbb{R}
            \end{equation*}

        \subsubsection{Solution particulière ($y_0$)}

            On essaie ensuite de trouve une solution particulière de l'équation de départ.
            Pour cela, on va passer par une fonction $y_0$ de même ordre que la fonction $f$~:

            \begin{itemize}

                \item Pour $f$ polynôme, un polynôme de même ordre~:

                    \begin{align*}
                        x &\rightarrow ax +b \\
                        x^2 &\rightarrow ax^2 + bx + c \\
                        x^3 &\rightarrow ax^3 + bx^2 + cx + d \\
                        \dots
                    \end{align*}

                \item Pour $f$ trigonométrique, $a\cos{x} + b\sin{x}$

                \item Pour $f$ exponentielle, $P(x)e^x$, avec $P$ de même ordre que le polynôme produit de $e$ dans $f$ si ce $e$ est différent de celui trouvé dans la solution homogène.
                    Si l'exponentielle est identique, $P$ doit être de l'ordre du polynôme + 1.

            \end{itemize}

            On applique alors l'équation de départ à $y_0$~:

            \begin{equation*}
                y_0' + ay_0 = f
            \end{equation*}

            Et on la résoud pour trouver $a, b, c, \dots$.

            Cela nous donne $y_0$, solution particulière.

        \subsubsection{Solution générale ($y$)}

            On applique maintenant la formule~:

            \begin{align*}
                y &= y_0 + y_h \\
                  &= y_0 + \lambda e^{-ax}, \lambda \in \mathbb{R} \\
            \end{align*}

\clearpage
\section{Intégrales généralisées}

\clearpage
\section{Séries de Fourier}

\end{document}