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22
theorie-signal/exercices/td1.tex
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@ -16,7 +16,9 @@ Théorie du signal --- TD1
\maketitle \maketitle
\section{Signal carré} \section{I}
\subsection{Signal carré}
Soit le signal carré $x(t)$, $T_0$-périodique tel que~: Soit le signal carré $x(t)$, $T_0$-périodique tel que~:
\begin{align*} \begin{align*}
@ -29,7 +31,7 @@ Théorie du signal --- TD1
\right. \right.
\end{align*} \end{align*}
\subsection{Tracer le signal $x(t)$} \subsubsection{Tracer le signal $x(t)$}
\begin{center} \begin{center}
\begin{tikzpicture} \begin{tikzpicture}
@ -50,7 +52,7 @@ Théorie du signal --- TD1
\end{tikzpicture} \end{tikzpicture}
\end{center} \end{center}
\subsection{Calculer les coefficients de Fourier réels $a_0, a_n, b_n$ du signal $x(t)$} \subsubsection{Calculer les coefficients de Fourier réels $a_0, a_n, b_n$ du signal $x(t)$}
$x$ est impaire donc $a_0 = a_n = 0$. $x$ est impaire donc $a_0 = a_n = 0$.
@ -78,7 +80,7 @@ Théorie du signal --- TD1
\end{tabularx} \end{tabularx}
\subsection{Tracer la DSP du signal $x(t)$} \subsubsection{Tracer la DSP du signal $x(t)$}
\begin{align*} \begin{align*}
|c_n|^2 = |-j\frac{1}{2}b_n|^2 = \frac{1}{4}b_n^2 = \frac{1}{4}(\frac{2}{n\pi})^2(1 - (-1)^n)^2 |c_n|^2 = |-j\frac{1}{2}b_n|^2 = \frac{1}{4}b_n^2 = \frac{1}{4}(\frac{2}{n\pi})^2(1 - (-1)^n)^2
@ -93,14 +95,14 @@ Théorie du signal --- TD1
\right. \right.
\end{align*} \end{align*}
\section{Signal en dent de scie} \subsection{Signal en dent de scie}
Soit le signal $x(t)$, $T_0$-périodique tel que~: Soit le signal $x(t)$, $T_0$-périodique tel que~:
\begin{align*} \begin{align*}
x(t) = A \times \frac{1}{T_0}t \quad \forall\, t \in [0;T_0] \\ x(t) = A \times \frac{1}{T_0}t \quad \forall\, t \in [0;T_0] \\
\end{align*} \end{align*}
\subsection{Tracer le signal $x(t)$} \subsubsection{Tracer le signal $x(t)$}
\begin{center} \begin{center}
\begin{tikzpicture} \begin{tikzpicture}
@ -119,7 +121,7 @@ Théorie du signal --- TD1
\end{tikzpicture} \end{tikzpicture}
\end{center} \end{center}
\section{Signal porte} \subsection{Signal porte}
Soit le signal $x(t)$, de largeur $T>0$ tel que~: Soit le signal $x(t)$, de largeur $T>0$ tel que~:
\begin{align*} \begin{align*}
@ -132,7 +134,7 @@ Théorie du signal --- TD1
\right. \right.
\end{align*} \end{align*}
\subsection{Calculer $X(f)$, la TF de $x(t)$. Représenter la DSE de $x(t)$} \subsubsection{Calculer $X(f)$, la TF de $x(t)$. Représenter la DSE de $x(t)$}
\begin{equation*} \begin{equation*}
X(f) = \int_{\mathbb{R}} x(t) e^{-j2\pi ft} \dif t X(f) = \int_{\mathbb{R}} x(t) e^{-j2\pi ft} \dif t
\end{equation*} \end{equation*}
@ -167,7 +169,7 @@ Théorie du signal --- TD1
\end{tikzpicture} \end{tikzpicture}
\end{center} \end{center}
\subsection{Que vaut $\int_{\mathbb{R}} S_x(f) \dif f$~?} \subsubsection{Que vaut $\int_{\mathbb{R}} S_x(f) \dif f$~?}
Calculer l'intégrale dans le domaine fréquentiel serait compliqué. Calculer l'intégrale dans le domaine fréquentiel serait compliqué.
Mais d'après le théorême de Parseval~: Mais d'après le théorême de Parseval~:
@ -180,4 +182,6 @@ Théorie du signal --- TD1
&= A^2 T &= A^2 T
\end{align*} \end{align*}
\section{II}
\end{document} \end{document}