Write ex3 theorie du signal

theorie-signal/exercices/td1.tex

@@ -119,4 +119,65 @@ Théorie du signal --- TD1
         \end{tikzpicture}
         \end{center}
 
+\section{Signal porte}
+
+    Soit le signal $x(t)$, de largeur $T>0$ tel que~:
+    \begin{align*}
+        x(t) = A\Pi_r(t) =
+        \left\{
+        \begin{array}{ll}
+            A \quad \forall\, t \in [-\frac{T}{2};\frac{T}{2}] \\
+            0 \text{ sinon} \\
+        \end{array}
+        \right.
+    \end{align*}
+
+    \subsection{Calculer $X(f)$, la TF de $x(t)$. Représenter la DSE de $x(t)$}
+        \begin{equation*}
+            X(f) = \int_{\mathbb{R}} x(t) e^{-j2\pi ft} \dif t
+        \end{equation*}
+        \begin{align*}
+            X(f) &= \int_{-T/2}^{T/2} A e^{-j2\pi ft} \dif t \\
+                 &= A \left[\frac{e^{-j2\pi ft}}{-j2\pi f}\right]_{-T/2}^{T/2} \\
+                 &= A \left(\frac{-e^{-j\pi fT} - e^{j\pi fT}}{-j2\pi f}\right) \\
+                 &= A \left(\frac{e^{j\pi fT} - e^{-j\pi fT}}{-j2\pi f}\right) \\
+                 &= A \frac{\sin(\pi fT)}{\pi f \color{red}{T}}\color{red}{T} \\
+            X(f) &= \boxed{AT \text{sinc}(fT)}
+        \end{align*}
+
+        \paragraph{DSE}
+
+            \begin{align*}
+                S_x(f) &= |X(f)|^2 \\
+                       &= A^2T^2\text{sinc}^2(fT)
+            \end{align*}
+
+            \begin{align*}
+                \text{Rappel~: } &\text{sinc}(0) = 1 \\
+                                 &\text{sinc}(fT) = \frac{\sin(\pi fT)}{\pi fT}
+            \end{align*}
+
+            \begin{center}
+            \begin{tikzpicture}
+                %TODO plot this
+                \draw[help lines, dashed] (-7,-2) grid (7,2);
+                \draw[-latex] (-7,0) -- (7,0) node[below]{$t$};
+                \draw[-latex] (0,-2) -- (0,2) node[left]{$x(t)$};
+
+            \end{tikzpicture}
+            \end{center}
+
+    \subsection{Que vaut $\int_{\mathbb{R}} S_x(f) \dif f$~?}
+
+        Calculer l'intégrale dans le domaine fréquentiel serait compliqué.
+        Mais d'après le théorême de Parseval~:
+
+        \begin{align*}
+            E = \int_{\mathbb{R}} S_x(f) \dif f
+            &= \int_{\mathbb{R}} |x(t)|^2 \dif t \\
+            &= \int_{-\pi/2}^{\pi/2} A^2 \dif t \\
+            &= A^2 [t]_{-T/2}^{T/2} \\
+            &= A^2 T
+        \end{align*}
+
 \end{document}