efrei/theorie-signal/exercices/tp1.tex

\documentclass[a4paper,french,12pt]{article}

\title{
Théorie du signal --- TP1
\\ \large Décomposition en Série de Fourier
}
\author{}
\date{Dernière compilation~: \today{} à \currenttime}

\usepackage{../../cours}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{xfrac}
\usepackage{tikz}

\begin{document}

\maketitle

\section{Partie théorique}

\subsection{Coefficients de Fourier}
    Donner l'expression de la DSF réelle des signaux suivants $T_0$-périodiques~:
    \begin{align*}
        x_1(t) = 1 - \frac{2}{T_0} |t| \quad \forall t \in \left[-\frac{T_0}{2}; \frac{T_0}{2}\right]
    \end{align*}
    avec $T_0 = 0.5s$.

    $x_1$ est paire, donc les $b_n$ sont nuls.
    \begin{align*}
        a_0 &= \frac{1}{T_0} \int_{-\sfrac{T_0}{2}}^{\sfrac{T_0}{2}} 1 - \frac{2}{T_0}|t| \dif t \\
            &= \frac{2}{T_0} \int_0^{\sfrac{T_0}{2}} 1 \dif t - \frac{2}{T_0} \int_0^{\sfrac{T_0}{2}} \frac{2}{T_0}|t| \dif t \\
            &= \frac{2}{T_0} [t]_0^{\sfrac{T_0}{2}} - \frac{4}{T_0^2} \left[\frac{t^2}{2}\right]_0^{\sfrac{T_0}{2}} \\
            &= 1 - \frac{4T_0^2}{8T_0^2} \\ \\
        a_0 &= \frac{1}{2}
    \end{align*}

    \begin{align*}
        a_n &= \frac{2}{T_0} \int_{(T_0)} \left(1-\frac{2}{T_0}|t|\right)\cos(n\omega_0 t) \dif t \\
        \text{IPP avec }
            &\left\{
        \begin{array}{l}
            u = 1 - \frac{2}{T_0}|t| \quad\implies
            u' = -\frac{2}{T_0} \\ \\
            v' = \cos(n\omega_0 t) \quad\implies
            v = \frac{\sin(n\omega_0 t)}{n\omega_0}
            \\
        \end{array}
        \right.\\
        a_n &= \frac{4}{T_0}\left[
            1 - \frac{2}{T_0}|t|
            \frac{\sin(n\omega_0 t)}{n\omega_0}
        \right]_0^{T_0/2}
        - \int_0^{\sfrac{T_0}{2}} -\frac{2}{T_0}\frac{\sin(n\omega_0 t)}{n\omega_0} \dif t
    \end{align*}

    \begin{align*}
        S_x(t) &= a_0 + \sum_{n=0}^{+\infty} a_n\cos(n\omega_0 t) \\
    \end{align*}

    \begin{align*}
        x_2(t) =
        \left\{
        \begin{array}{l}
            1 \quad \forall t \in \left[-\frac{T_0 r}{2}; \frac{T_0 r}{2}\right] \\
            0 \quad \text{sinon}
        \end{array}
        \right.
    \end{align*}
    avec $r$ le rapport cyclique tel que $r < 1$ et $T_0 = 0.5s$.

\end{document}