Add tp1

theorie-signal/exercices/Makefile

@@ -1,6 +1,6 @@
 timestamp=$(shell date +%Y-%m-%d_%H:%M)
 
-all: td1
+all: td1 tp1
 
 td1: td1.tex
 	@latexmk -pdf td1.tex
@@ -11,5 +11,14 @@ td1: td1.tex
 		echo "Updated"; \
 	fi
 
+tp1: tp1.tex
+	@latexmk -pdf tp1.tex
+	@if ! cmp --silent build/tp1.pdf tp1_*.pdf; then \
+		touch tp1_tmp.pdf; \
+		rm tp1*.pdf; \
+		cp build/tp1.pdf tp1_${timestamp}.pdf; \
+		echo "Updated"; \
+	fi
+
 clean:
 	@rm -rf build 2>/dev/null

theorie-signal/exercices/tp1.tex

@@ -0,0 +1,63 @@
+\documentclass[a4paper,french,12pt]{article}
+
+\title{
+Théorie du signal --- TP1
+\\ \large Décomposition en Série de Fourier
+}
+\author{}
+\date{Dernière compilation~: \today{} à \currenttime}
+
+\usepackage{../../cours}
+\usepackage{enumitem}
+\usepackage{xfrac}
+\usepackage{tikz}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\section{Partie théorique}
+
+\subsection{Coefficients de Fourier}
+    Donner l'expression de la DSF réelle des signaux suivants $T_0$-périodiques~:
+    \begin{align*}
+        x_1(t) = 1 - \frac{2}{T_0} |t| \quad \forall t \in \left[-\frac{T_0}{2}; \frac{T_0}{2}\right]
+    \end{align*}
+    avec $T_0 = 0.5s$.
+
+    $x_1$ est paire, donc les $b_n$ sont nuls.
+    \begin{align*}
+        a_0 &= \frac{1}{T_0} \int_{-\sfrac{T_0}{2}}^{\sfrac{T_0}{2}} 1 - \frac{2}{T_0}|t| \dif t \\
+            &= \frac{2}{T_0} \int_0^{\sfrac{T_0}{2}} 1 \dif t - \frac{2}{T_0} \int_0^{\sfrac{T_0}{2}} \frac{2}{T_0}|t| \dif t \\
+            &= \frac{2}{T_0} [t]_0^{\sfrac{T_0}{2}} - \frac{4}{T_0^2} \left[\frac{t^2}{2}\right]_0^{\sfrac{T_0}{2}} \\
+            &= 1 - \frac{4T_0^2}{8T_0^2} \\ \\
+        a_0 &= \frac{1}{2}
+    \end{align*}
+
+    \begin{align*}
+        a_n &= \frac{2}{T_0} \int_{(T_0)} \left(1-\frac{2}{T_0}|t|\right)\cos(n\omega_0 t) \dif t \\
+            &= \frac{4}{T_0} \int_0^{\frac{T_0}{2}} 1-\frac{2}{T_0}|t| \dif t \int_0^{\frac{T_0}{2}}\cos(n\omega_0 t) \dif t \\
+            &= \frac{4}{T_0}\left(\frac{T_0}{2} - \frac{2}{T_0}\left[\frac{t^2}{2}\right]_0^{\sfrac{T_0}{2}}\right) \left[\frac{\sin(n\omega_0 t)}{n\omega_0}\right]_0^{\sfrac{T_0}{2}} \\
+            &= \left(\frac{4T_0}{2T_0} - \frac{8T_0^2}{8T_0^2}\right) \frac{\sin(n\omega_0\frac{T_0}{2})}{n\omega_0} \\
+            &= 1 \cdot \frac{\sin(\frac{2\pi n}{2})}{\frac{2\pi n}{T_0}} \\
+            &= \frac{\sin(n\pi)}{\frac{2\pi n}{T_0}} \\
+        a_n &= 0
+    \end{align*}
+
+    \begin{align*}
+        S_x(t) &= a_0 + \sum_{n=0}^{+\infty} a_n\cos(n\omega_0 t) \\
+               &= \frac{1}{2}
+    \end{align*}
+
+    \begin{align*}
+        x_2(t) =
+        \left\{
+        \begin{array}{l}
+            1 \quad \forall t \in \left[-\frac{T_0 r}{2}; \frac{T_0 r}{2}\right] \\
+            0 \quad \text{sinon}
+        \end{array}
+        \right.
+    \end{align*}
+    avec $r$ le rapport cyclique tel que $r < 1$ et $T_0 = 0.5s$.
+
+\end{document}