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78
theorie-graphes/main.tex
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Une fermeture transitive est un ``raccourci'' entre deux sommets.
Si un arc ou une arrête existe entre $x$ et $y$, la fermeture transitive de $x$ et $y$ est $(x,y)$.
\section{Représentation et algorithmes généraux}
On définit des matrices pour qu'une machine puisse avoir une représentation du graphe.
\subsection{Matrices d'incidence et d'adjacence}
\subsubsection{Matrice d'adjacence}
On code à 1 quand les sommets sont reliés.
\begin{tabular}{cccccccc}
& & \multicolumn{6}{c}{sommets} \\
& & A & B & C & D & E & F \\
\multirow{6}{*}{sommets} & A & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
& B & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
& C & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
& D & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
& E & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
& F & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{tabular}
\paragraph{Exemple}
\begin{multicols}{2}
Non orienté~:
\begin{tikzpicture}
\node (a)[state] at (0,0) {A};
\node (b)[state] at (2,0) {B};
\path
(a) edge [loop above] (a)
(a) edge (b)
;
\end{tikzpicture}
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix}
\end{align*}
\columnbreak
Orienté~:
\begin{tikzpicture}[->]
\node (a)[state] at (0,0) {A};
\node (b)[state] at (2,0) {B};
\path
(a) edge [loop above] (a)
(a) edge (b)
;
\end{tikzpicture}
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}
\end{align*}
\end{multicols}
\subsubsection{Matrice d'incidence}
\begin{tabular}{cccccccccccc}
& & \multicolumn{10}{c}{nombre d'arcs} \\
& & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
\multirow{6}{*}{sommets} & A & -1 & 1 & & & & \\
& B & & & & & & \\
& C & & & & & & \\
& D & & & & & & \\
& E & & & & & & \\
& F & & & & & & \\
\end{tabular}
\end{document}