efrei/analyse/main.tex

\documentclass[a4paper,french,12pt]{article}

\title{Analyse}
\author{Alain OSTER --- \href{mailto:alain.oster@intervenants.efrei.fr}{\nolinkurl{alain.oster@intervenants.efrei.fr}}}
\date{Dernière compilation~: \today{} à \currenttime}

\usepackage{../cours}

\begin{document}

\maketitle
\tableofcontents

\section{Rappel sur les dérivées}

    \subsection{Définition}

        Soit une fonction $f$ définie au voisinage d'un réel $a$.
        On dit que $f$ est dérivable en $a$ s'il existe un réel $l$ (appelé nombre dérivé de $f$ en $a$), tel que l'on ait une des deux propriétés suivantes~:

        \begin{enumerate}

            \item $\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = l$

            \item $\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = l$

        \end{enumerate}

        Alors $f'(a) = l$.

    \subsection{Interprétation graphique}

        Au point $A = (a, y_a = f(a))$, la droite $\Delta$ est la tangente de $f(x)$ en $A$.

        $\Delta : y = px + m$.

        La dérivée donne la pente de la droite $\Delta$~: $p = f'(a)$

        Ainsi~:

        \begin{itemize}

            \item si $f'(a) < 0$ alors $f$ est décroissante.

            \item si $f'(a) > 0$ alors $f$ est croissante.

            \item si $f'(a) = 0$ alors $f$ passe par un extremum (maximum, minimum, ou point d'inflexion).

        \end{itemize}

    \subsection{Propriétés}

        Soit $a$ un réel et $u$, $v$, $f$ des fonctions dérivables.

        \begin{tabularx}{\linewidth}{lXl}

            \toprule
            \multirow{2}{*}{\textbf{Linéarité}} & \textcolor{red}{$(u + v)' = u' + v'$} & \\
                                                & \textcolor{red}{$(au)' = au'$}        & \\
            \midrule
            \textbf{Produit} & \textcolor{red}{$(uv)' = u'v + uv'$} & \\
            \midrule
            \textbf{Inverse} & \makecell{\textcolor{red}{$\left(\frac{1}{v}\right)' = - \frac{v'}{v^2}$} \\ pour $v \neq 0$} & (équivaut à $(v^{-1})'$ avec la formule usuelle) \\
            \midrule
            \textbf{Quotient} & \makecell{\textcolor{red}{$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$} \\ pour $v \neq 0$} & (on retrouve l'inverse pour $u = 1$) \\
            \midrule
            \textbf{Composée} & \textcolor{red}{$(f(u))' = u'f'(u)$} & \makecell{(si $u$ était une constante, la dérivée serait nulle) \\ ($f'(u) = \frac{df}{du}$ est la dérivée de $f$ par rapport à $u$)} \\
            \midrule
            \textbf{Réciproque} & \multicolumn{2}{l}{\textcolor{red}{$(f^{-1})' = \frac{1}{f' à f^{-1}}$} ou bien \textcolor{red}{$f^{-1}(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$}} \\
            \bottomrule

        \end{tabularx}

    \subsection{Exemples pour la composée}

        $f(x) = {(3x + 5)}^4$

        \begin{align*}
            f'(x) &= (3x + 5)' \cdot 4{(3x + 5)}^3  & u &= 3x + 5 \\
                  &= 3 \cdot 4{(3x + 5)}^3          & u' &= 3 \\
                  &= 12{(3x + 5)}^3                 & (u^4)' &= 4u^3 \\
        \end{align*}

        $f(x) = \cos(5x + 7)$

        \begin{align*}
            f'(x) &= (5x + 7) \cdot (-\sin(5x + 7)) & u &= 5x + 7 \\
                  &= -5\sin(5x + 7)                 & u' &= 5 \\
                  &                                 & \cos(u)' &= -\sin(u) \\
        \end{align*}

    \subsection{Autre notation}

        \begin{displaymath}
            f'(x) = \frac{df}{dx}(x)
        \end{displaymath}

        Avec cette notation, $(f(u))' = u'f'(u)$ devient $\frac{df(u)}{dx} = \frac{du}{dx} \cdot \frac{df}{du}$.

\section{Techniques d'intégration}

\section{Equations différentielles}

\section{Intégrales généralisées}

\section{Séries de Fourier}

\end{document}