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\documentclass[a4paper,french,12pt]{article}
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\title{Probabilités et statistiques --- TD1}
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\author{}
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\date{Dernière compilation~: \today{} à \currenttime}
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\usepackage{styles}
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\usepackage{xfrac}
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\usepackage{tikz}
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\usetikzlibrary{shapes.multipart}
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\usetikzlibrary{automata, arrows.meta, positioning}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section{}
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\begin{enumerate}
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\item Quelle est la médiane de la série statistique suivante~?
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1, 2, 4, 6, 4
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Comme cette liste est impaire, il s'agit de la valeur 4.
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\item Le tableau suivant donne la répartition du nombre de points marqués par chaque lanceur lors d'une saison de Quidditch.
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\begin{tabularx}{\linewidth}{lYYYYY}
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\toprule
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\textbf{Lanceur} & Fred & George & Olivier & Angelina & Harry \\
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\midrule
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\textbf{Nombre de points marqués} & 11 & 12 & 7 & 3 &~? \\
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\bottomrule
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\end{tabularx}
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Sachant que l'équipe a marqué en moyenne 8 points, combien Harry en a-t-il marqués~?
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\begin{align*}
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\frac{11 + 12 + 7 + 3 + x}{5} = 8
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\iff
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\frac{33 + x}{5} = 8
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\implies
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x = 5 \times 8 - 33 = 7
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\end{align*}
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\item Anna a participé à 4 parties de golf puis à une dernière partie où elle a obtenu le score le plus faible de 80.
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[scale=0.7, transform shape]
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\draw [thick] (80,0) -- (100,0);
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\foreach \i in {80,81,...,100}{
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\draw [thick] (\i,-0.3) -- (\i,0.3);
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}
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\foreach \i in {80,85,90,95,100}{
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\node at (\i,-0.7) {\Large \i};
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}
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\node [draw,circle,violet,fill] at (80,0.8) {};
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\foreach \i in {90,92,94,96}{
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\node [draw,circle,teal,fill] at (\i,0.8) {};
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}
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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Quel est l'effet de cette dernière partie sur la moyenne et la médiane des scores de ses précédentes parties~?
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Interprétez les résultats.
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Médiane avant la dernière partie~:
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\begin{equation*}
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\frac{92 + 94}{2} = 93
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\end{equation*}
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Moyenne avant la dernière partie~:
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\begin{equation*}
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\frac{90 + 92 + 94 + 96}{4} = \frac{372}{4} = 93
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\end{equation*}
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Médiane après la dernière partie~:
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\begin{equation*}
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92
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\end{equation*}
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Moyenne après la dernière partie~:
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\begin{equation*}
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\frac{80 + 90 + 92 + 94 + 96}{5} = \frac{452}{5} = 90.4
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\end{equation*}
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On peut donc dire que la moyenne est plus affectée par un score extrême que la médiane.
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\end{enumerate}
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\section{}
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Calculer la moyenne, la médiane et le mode des ensembles suivants~:
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\begin{enumerate}
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\item $\{3,5,2,6,5,9,5,2,8,6\}$
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Moyenne~:
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\begin{equation*}
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\sum_{i=1}^{n}x_i = \frac{51}{10} = 5.1
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\end{equation*}
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Médiane~:
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Pour un ensemble de $n$ éléments, si $n$ est impair, la médiane est la valeur situé à l'indice $\text{floor div}(n) + 1$.
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Si $n$ est pair, la médiane est la moyenne des valeurs situées à $\frac{n}{2}$ et $\frac{n}{2} + 1$.
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\begin{equation*}
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m = \frac{5+5}{2} = 5
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\end{equation*}
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Mode (valeur la plus fréquente)~: 5
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\item $\{1.28,2.16,0.75,1.44,2.05,0.65,1.26,1.73,1.81,0.92\}$
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Moyenne~: $\frac{14.05}{10} = 1.405$
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Médiane~: $\frac{1.28+1.44}{2} = 1.36$
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Mode~:
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Toutes les valeurs n'apparaissent qu'une fois.
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On parle donc de \emph{classe modale}~: $[1.26;1.28]$.
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\end{enumerate}
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\section{}
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Le tableau ci-dessous représente la distribution du quotient intellectuel de 100 étudiants.
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Cette distribution est regroupée en 9 classes de largeur 10.
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\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|YYYYYYYYY|}
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\hline
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Centres de classes & 59.5 & 69.5 & 79.5 & 89.5 & 99.5 & 109.5 & 119.5 & 129.5 & 139.5 \\
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\hline
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Effectif par classe & 1 & 2 & 9 & 22 & 33 & 22 & 8 & 2 & 1 \\
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\hline
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\end{tabularx}
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\begin{enumerate}
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\item Calculer la moyenne et l'écart type de cette distribution.
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Moyenne~:
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\begin{equation*}
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M = \frac{\sum_{i=1}^9 n_i c_i}{n} = 99.3
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\end{equation*}
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Écart type~: \quad ($\overline{x}$ est la moyenne arithmétique)
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\begin{equation*}
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s^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i \overline{x})^2}{n} = \sqrt{9941}
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\end{equation*}
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\end{enumerate}
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\end{document}
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