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\documentclass[a4paper,french,12pt]{article}
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\title{Algèbre non linéaire}
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\author{}
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\date{Dernière compilation~: \today{} à \currenttime}
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\usepackage{../cours}
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\begin{document}
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\maketitle
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\tableofcontents
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\clearpage
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\section{Arithmétique}
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Nous nous intéressons à la division euclidienne, sur nombres entiers strictement positifs.
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\begin{equation*}
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a = bq + r \quad\text{ avec } 0 \leq r < b
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\end{equation*}
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Quand $r = 0$, $a$ est un \emph{multiple} de $b$ et $b$ est un \emph{diviseur} de $a$.
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On notera $b|a$.
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À part 1, tout nombre $n$ a au moins 2 diviseurs, 1 et $n$.
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Certains nombres n'en ont \emph{que} deux.
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Ce sont des nombres \emph{premiers}~:
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$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47\ldots$
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\subsection{Théorême fondamental de l'arithmétique}
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Tout nombre entier se décompose sous forme de produit de puissances de nombres premiers qui est unique.
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\begin{align*}
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10 &= 2 \times 5 \\
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16 &= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \\
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&= 2^4 \\
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54 &= 2 \times 3 \times 3 \times 3 \\
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&= 2 \times 3^3 \\
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54 &= 2 \times 2 \times 13 \times 3 \\
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&= 2^2 \times 13
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\end{align*}
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\subsection{PGCD de $a$ et $b$}
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Le Plus Grand Commun Diviseur se note de manière équivalente~: $\mathrm{pgcd}(a,b)$ ou $a \wedge b$.
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\begin{align*}
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54 &= 2 \times 3 \times 3 \times 3 \\
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52 &= 2 \times 2 \times 13 \\
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&\implies \mathrm{pgcd}(52, 54) = 2
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\end{align*}
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Si le PGCD de deux nombres est égal à 1, ils sont premiers entre eux.
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Deux nombres premiers entre eux ne sont pas forcément individuellement premiers.
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\begin{align*}
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3 \times 7 &= 21 &\text{n'est pas premier} \\
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5 \times 11 &= 55 &\text{n'est pas premier} \\
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\mathrm{pgcd}(21,55) &= 1 &\implies \text{ ils sont premiers entre eux}
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\end{align*}
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Pour calculer le PGCD de deux nombres, on commence par les décomposer séparément.
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C'est cette décomposition qui est lente, d'autant plus quand on ajoute des chiffres aux nombres à décomposer.
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\subsection{Algorithme d'Euclide}
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\begin{center}
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\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{YYY}
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\toprule
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$a$ & $b$ & $r$ \\
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|
\toprule
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|
$a$ & $b$ & $r$ \\
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|
\midrule
|
|
$b$ & $r$ & $r'$ \\
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|
\midrule
|
|
$r$ & $r'$ & $r''$ \\
|
|
\midrule
|
|
$r'$ & $r''$ & $\ldots$ \\
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|
\bottomrule
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|
\end{tabularx}
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|
\end{center}
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|
À chaque ligne, on calcule la division euclidienne de $a$ par $b$.
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|
Les restes calculés dans la colonne $r$ sont décroissants.
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Il suffit donc de s'arrêter quand on obtient 0.
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|
Exemple~:
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\begin{center}
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\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{YYYl}
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\toprule
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$a$ & $b$ & $r$ & \\
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|
\toprule
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|
247 & 134 & 113 & \\
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|
\midrule
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|
134 & 113 & 21 & \\
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|
\midrule
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|
113 & 21 & 8 & \\
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|
\midrule
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|
21 & 8 & 5 & \\
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|
\midrule
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|
8 & 5 & 3 & \\
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|
\midrule
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|
5 & 3 & 2 & \\
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|
\midrule
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|
3 & 2 & $\boxed{1}$ & $\leftarrow$ le PGCD est là \\
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\midrule
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|
2 & 1 & 0 \\
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|
\bottomrule
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|
\end{tabularx}
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|
\end{center}
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|
Le PGCD est le dernier reste, avant 0.
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\subsection{Identité de Bezout}
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\begin{equation*}
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\forall \; a, b \in \mathbb{N} : \exists\, (u,v) \in \mathbb{Z} \; / \; a \times u + b \times v = \mathrm{pgcd}(a,b)
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\end{equation*}
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\begin{align*}
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\left.
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\begin{array}{ll}
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a &= 247 \\
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|
b &= 134 \\
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|
\end{array}
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|
\right\}
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|
\exists\, (u,v)\; /\; 247u + 134v = \mathrm{pgcd}(247,134) = 1
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\end{align*}
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\subsection{Algorithme d'Euclide étendu}
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\begin{enumerate}
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\item Initialisation~: \\
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Se fait sur deux lignes.
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$u$ étant le coefficient de Bezout de $a$ et $v$ le coefficient de Bezout de $b$, on met leur cases à 1.
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\item Séquence~: \\
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On calcule $q$ avec la division euclidienne.
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Puis, la ligne $i$ = ligne $(i-2) - q \times$ ligne $(i-1)$.
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|
\end{enumerate}
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\begin{center}
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|
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{YYYY}
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|
\toprule
|
|
$r$ & $u$ & $v$ & $q$ \\
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|
\toprule
|
|
$a$ & 1 & 0 & \\
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|
\midrule
|
|
$b$ & 0 & 1 & $q$ \\
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|
\midrule
|
|
$a-q\times b$ & $1 - q \times 0$ & $0 - q \times 1$ & \\
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|
\midrule
|
|
$\vdots$ & & & \\
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|
$\downarrow$ & & & \\
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|
\midrule
|
|
0 & & & \\
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|
\bottomrule
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|
\end{tabularx}
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|
\end{center}
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|
Exemple~:
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|
\begin{center}
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|
\begin{tabularx}{\linewidth}{YYYY}
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|
\toprule
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|
$r$ & $u$ & $v$ & $q$ \\
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|
\toprule
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|
247 & 1 & 0 & \\
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|
\midrule
|
|
134 & 0 & 1 & 1 \\
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\midrule
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|
113 & $1 - (1 \times 0)$ & $0 - (1 \times 1)$ & 1 \\
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& = 1 & = -1 & \\
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|
\midrule
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|
21 & -1 & 2 & 5 \\
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|
\midrule
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|
8 & $ 1 - (5 \times -1)$ & $-1 - (5 \times -2)$ & 2 \\
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|
& $ = 6$ & $= -11$ & \\
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\midrule
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|
5 & -13 & 24 & 1 \\
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\midrule
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|
3 & 19 & -35 & 1 \\
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\midrule
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|
2 & -32 & 59 & 1 \\
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\midrule
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|
1 & 51 & -94 & 2 \\
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|
\bottomrule
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|
0 & -134 & 247 & \\
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|
\bottomrule
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\end{tabularx}
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\end{center}
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On a donc~:
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\begin{align*}
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a \times u + b \times v &= \mathrm{pgcd}(a,b) \\
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247 \times 51 + 134 \times (-94) &= 1 \\
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12597 - 12596 &= 1
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\end{align*}
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\subsection{L'ensemble $\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}$}
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$\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$
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Choisissons $n \geq 2$.
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$r$ est le reste de la division euclidienne de $a$ par $n$.
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|
On peut regrouper les nombres qui ont le même reste quand ils sont divisés par $n$.
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Par exemple, pour $n=11$~:
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\begin{align*}
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a &= 5 &r = 5 \\
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|
a &= 14 &r =3 \\
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a &= 16 &r = 5 \\
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a &= 27 &r = 5
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\end{align*}
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Il y a 11 restes possibles (de 0 à 10), donc 11 ``familles'' de nombres.
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|
Famille pour $r=5 : \{5, 16, 27, \ldots\}$.
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On note cette famille $\overline{5}$.
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\begin{equation*}
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\frac{\mathbb{Z}}{11\mathbb{Z}} = \{
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\overline{0},
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\overline{1},
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|
\overline{2},
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|
\overline{3},
|
|
\overline{4},
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|
\overline{5},
|
|
\overline{6},
|
|
\overline{7},
|
|
\overline{8},
|
|
\overline{9},
|
|
\overline{10}
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\}
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\end{equation*}
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|
$\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}$ possède $n$ éléments, de $\overline{0}$ à $\overline{n - 1}$.
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Calculs dans $\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}$~: modulo $n$.
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Addition~: $\oplus$~:
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\begin{equation*}
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\overline{a}\oplus\overline{b} = \overline{(a + b)[n]}
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\end{equation*}
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Multiplication~: $\otimes$~:
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\begin{equation*}
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\overline{a}\otimes\overline{b} = \overline{(a \times b)[n]}
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\end{equation*}
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Au sens formel, la soustraction et la division n'existent pas.
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La soustraction n'est que l'addition avec son opposé.
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La division n'est que la multiplication avec son inverse.
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Pour $n=14$~: $\left(\frac{\mathbb{Z}}{14\mathbb{Z}}, \oplus, \otimes\right)$
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\begin{align*}
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\overline{1} \oplus \overline{8} &= \overline{9} \\
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\overline{5} \oplus \overline{11} &= \textcolor{red}{\overline{16}} = \overline{16[14]} = \overline{2} &\quad \text{ on ne note pas } \overline{16} \text{ car on n'a que jusqu'à } \overline{13} \\
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\overline{3} \oplus \overline{11} &= \overline{0} &\quad \overline{3} \text{ et } \overline{11} \text{ sont opposés } \\
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\text{quel est l'opposé de } \overline{6} \text{~? C'est } \overline{8} : \\
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\overline{6} \oplus \overline{8} &= \overline{0} \\
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\\
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\overline{0} \otimes \overline{12} &= \overline{0} \\
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\overline{3} \otimes \overline{3} &= \overline{9} \\
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\overline{7} \otimes \overline{3} &= \overline{7} \\
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\overline{6} \otimes \overline{7} &= \overline{42[14]} = \overline{0} \\
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\overline{13} \otimes \overline{13} &= \overline{1} & \overline{13} \text{ est l'inverse de } \overline{13} \\
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|
\overline{3} \otimes \overline{5} &= \overline{1} & \overline{3} \text{ est l'inverse de } \overline{5} \\
|
|
& & \overline{5} \text{ est l'inverse de } \overline{3} \\
|
|
\overline{6} \text{ et } \overline{7} \text{ n'ont pas d'inverse dans } \frac{\mathbb{Z}}{14\mathbb{Z}}
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|
\end{align*}
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Comment savoir si un élément a un inverse~?
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\begin{equation*}
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\text{dans } \frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}, \overline{a} \text{ est inversible } \implies \mathrm{pgcd}(a,n) = 1
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\end{equation*}
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Exemples~:
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Pour $n=7$~: \hfill
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\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{YYY}
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\toprule
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Élément & PGCD & Inverse~? \\
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|
\toprule
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|
$\overline{0}$ & 0 & non \\
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\midrule
|
|
$\overline{1}$ & 1 & oui \\
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|
\midrule
|
|
$\overline{2}$ & 1 & oui \\
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|
\midrule
|
|
$\overline{3}$ & 1 & oui \\
|
|
\midrule
|
|
$\overline{4}$ & 1 & oui \\
|
|
\midrule
|
|
$\overline{5}$ & 1 & oui \\
|
|
\midrule
|
|
$\overline{6}$ & 1 & oui \\
|
|
\bottomrule
|
|
\end{tabularx}
|
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|
|
Pour $n=10$~: \hfill
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\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{YYY}
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|
\toprule
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|
Élément & PGCD & Inverse~? \\
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\toprule
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|
$\overline{0}$ & 0 & jamais \\
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\midrule
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$\overline{1}$ & 1 & toujours \\
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\midrule
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$\overline{2}$ & 2 & non \\
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\midrule
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|
$\overline{3}$ & 1 & oui \\
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\midrule
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|
$\overline{4}$ & 2 & non \\
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\midrule
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|
$\overline{5}$ & 5 & non \\
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|
\midrule
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|
$\overline{6}$ & 2 & non \\
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|
\midrule
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|
$\overline{7}$ & 1 & oui \\
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|
\midrule
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|
$\overline{8}$ & 2 & non \\
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|
\midrule
|
|
$\overline{9}$ & 1 & toujours \\
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|
\bottomrule
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|
\end{tabularx}
|
|
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\end{document}
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