Add Z/nZ
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@ -197,9 +197,138 @@
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On a donc~:
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\begin{align*}
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a \times u + b \times v &= 1 \\
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a \times u + b \times v &= \mathrm{pgcd}(a,b) \\
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247 \times 51 + 134 \times (-94) &= 1 \\
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12597 - 12596 &= 1
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\end{align*}
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\subsection{L'ensemble $\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}$}
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$\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$
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Choisissons $n \geq 2$.
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$r$ est le reste de la division euclidienne de $a$ par $n$.
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On peut regrouper les nombres qui ont le même reste quand ils sont divisés par $n$.
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Par exemple, pour $n=11$~:
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\begin{align*}
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a &= 5 &r = 5 \\
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a &= 14 &r =3 \\
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a &= 16 &r = 5 \\
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a &= 27 &r = 5
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\end{align*}
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Il y a 11 restes possibles (de 0 à 10), donc 11 ``familles'' de nombres.
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Famille pour $r=5 : \{5, 16, 27, \ldots\}$.
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On note cette famille $\overline{5}$.
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\begin{equation*}
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\frac{\mathbb{Z}}{11\mathbb{Z}} = \{
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\overline{0},
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\overline{1},
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\overline{2},
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\overline{3},
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\overline{4},
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\overline{5},
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\overline{6},
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\overline{7},
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\overline{8},
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\overline{9},
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\overline{10}
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\}
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\end{equation*}
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$\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}$ possède $n$ éléments, de $\overline{0}$ à $\overline{n - 1}$.
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Calculs dans $\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}$~: modulo $n$.
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Addition~: $\oplus$~:
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\begin{equation*}
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\overline{a}\oplus\overline{b} = \overline{(a + b)[n]}
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\end{equation*}
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Multiplication~: $\otimes$~:
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\begin{equation*}
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\overline{a}\otimes\overline{b} = \overline{(a \times b)[n]}
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\end{equation*}
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Au sens formel, la soustraction et la division n'existent pas.
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La soustraction n'est que l'addition avec son opposé.
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La division n'est que la multiplication avec son inverse.
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Pour $n=14$~: $\left(\frac{\mathbb{Z}}{14\mathbb{Z}}, \oplus, \otimes\right)$
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\begin{align*}
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\overline{1} \oplus \overline{8} &= \overline{9} \\
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\overline{5} \oplus \overline{11} &= \textcolor{red}{\overline{16}} = \overline{16[14]} = \overline{2} &\quad \text{ on ne note pas } \overline{16} \text{ car on n'a que jusqu'à } \overline{13} \\
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\overline{3} \oplus \overline{11} &= \overline{0} &\quad \overline{3} \text{ et } \overline{11} \text{ sont opposés } \\
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\text{quel est l'opposé de } \overline{6} \text{~? C'est } \overline{8} : \\
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\overline{6} \oplus \overline{8} &= \overline{0} \\
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\\
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\overline{0} \otimes \overline{12} &= \overline{0} \\
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\overline{3} \otimes \overline{3} &= \overline{9} \\
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\overline{7} \otimes \overline{3} &= \overline{7} \\
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\overline{6} \otimes \overline{7} &= \overline{42[14]} = \overline{0} \\
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\overline{13} \otimes \overline{13} &= \overline{1} & \overline{13} \text{ est l'inverse de } \overline{13} \\
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\overline{3} \otimes \overline{5} &= \overline{1} & \overline{3} \text{ est l'inverse de } \overline{5} \\
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& & \overline{5} \text{ est l'inverse de } \overline{3} \\
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\overline{6} \text{ et } \overline{7} \text{ n'ont pas d'inverse dans } \frac{\mathbb{Z}}{14\mathbb{Z}}
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\end{align*}
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Comment savoir si un élément a un inverse~?
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\begin{equation*}
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\text{dans } \frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}, \overline{a} \text{ est inversible } \implies \mathrm{pgcd}(a,n) = 1
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\end{equation*}
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Exemples~:
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Pour $n=7$~: \hfill
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\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{YYY}
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\toprule
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Élément & PGCD & Inverse~? \\
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\toprule
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$\overline{0}$ & 0 & non \\
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\midrule
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$\overline{1}$ & 1 & oui \\
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\midrule
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$\overline{2}$ & 1 & oui \\
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\midrule
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$\overline{3}$ & 1 & oui \\
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\midrule
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$\overline{4}$ & 1 & oui \\
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\midrule
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$\overline{5}$ & 1 & oui \\
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\midrule
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||||
$\overline{6}$ & 1 & oui \\
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||||
\bottomrule
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\end{tabularx}
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Pour $n=10$~: \hfill
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\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{YYY}
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\toprule
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Élément & PGCD & Inverse~? \\
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\toprule
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$\overline{0}$ & 0 & jamais \\
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\midrule
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$\overline{1}$ & 1 & toujours \\
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\midrule
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$\overline{2}$ & 2 & non \\
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\midrule
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$\overline{3}$ & 1 & oui \\
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\midrule
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$\overline{4}$ & 2 & non \\
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\midrule
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$\overline{5}$ & 5 & non \\
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\midrule
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$\overline{6}$ & 2 & non \\
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\midrule
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$\overline{7}$ & 1 & oui \\
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\midrule
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$\overline{8}$ & 2 & non \\
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\midrule
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||||
$\overline{9}$ & 1 & toujours \\
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\bottomrule
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\end{tabularx}
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\end{document}
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