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\documentclass[a4paper,french]{article}
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\title{Analyse}
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\author{Alain OSTER --- \href{mailto:alain.oster@intervenants.efrei.fr}{\nolinkurl{alain.oster@intervenants.efrei.fr}}}
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\date{Dernière compilation~: \today{} à \currenttime}
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\usepackage{../cours}
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\begin{document}
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\maketitle
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\tableofcontents
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\clearpage
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\section{Coin par c\oe{}ur}
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\subsection{Trigonométrie}
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\begin{tabularx}{\linewidth}{c|YYYYY}
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\toprule
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x & 0 & $\frac{\pi}{6}$ & $\frac{\pi}{4}$ & $\frac{\pi}{3}$ & $\frac{\pi}{2}$ \\
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\midrule
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$\sin{x}$ & 0 & $\frac{1}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & 1 \\
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\midrule
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$\cos{x}$ & 1 & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{1}{2}$ & 0 \\
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\midrule
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$\frac{\sin{x}}{\cos{x}} = \tan{x}$ & 0 & $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ & 1 & $\sqrt{3}$ & impossible \\
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\bottomrule
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\end{tabularx}
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\subsection{Exponentielle et Logarithme}
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\begin{multicols}{2}
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$e^0 = 1 ; e^1 = e$
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$\ln{0} = \text{impossible~; } \ln{1} = 0 \text{~; } \ln{e} = 1$
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\end{multicols}
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\subsection{Dérivées et Primitives}
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\subsubsection{Usuelles}
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\begin{tabularx}{\linewidth}{YY}
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\toprule
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Primitive --- $f(x)$ & Dérivée --- $f'(x)$ \\
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\toprule
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\textcolor{red}{$a$} & 0 \\
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\midrule
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\textcolor{red}{$ax$} & \textcolor{red}{$a$} \\
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\midrule
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$\frac{1}{2} x^2$ & \textcolor{red}{$x$} \\
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\midrule
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\textcolor{red}{$x^n$} & \textcolor{red}{$nx^{n-1}$} \\
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\midrule
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\textcolor{red}{$\sqrt{x}$} & $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ \\
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\midrule
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$\frac{2}{3} x\sqrt{x}$ & \textcolor{red}{$\sqrt{x}$} \\
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\midrule
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\textcolor{red}{$e^{ax}$} & \textcolor{red}{$ae^{ax}$} \\
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\midrule
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\textcolor{red}{$a^x$} & $a^x \ln{a}$ \\
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\midrule
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\textcolor{red}{$\ln{|x|}$} & \textcolor{red}{$\frac{1}{x}$} \\
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\midrule
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\textcolor{red}{$\cos{x}$} & \textcolor{red}{$-\sin{x}$} \\
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\midrule
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\textcolor{red}{$\sin{x}$} & \textcolor{red}{$\cos{x}$} \\
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\midrule
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\textcolor{red}{$\tan{x}$} & $1 + \tan^2{x} = \frac{1}{\cos^2{x}}$ \\
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\midrule
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$\cot{x}$ & $-1 - \cot^2{x} = \frac{-1}{\sin^2{x}}$ \\
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\midrule
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$\arccos{x}$ & $\frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}$ \\
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\midrule
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|
$\arcsin{x}$ & $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ \\
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\midrule
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|
\textcolor{red}{$\arctan{x}$} & \textcolor{red}{$\frac{1}{1 + x^2}$} \\
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|
\bottomrule
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\end{tabularx}
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\subsubsection{Composées}
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\begin{multicols}{2}
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\begin{tabularx}{\linewidth}{lY}
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\toprule
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\multirow{2}{*}{Linéarité} & $(u + v)' = u' + v'$ \\
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& $(au)' = au'$ \\
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\midrule
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Produit & $(uv)' = u'v + uv'$ \\
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\midrule
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Inverse & $\left(\frac{1}{v}\right)' = - \frac{v'}{v^2}$ \\
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\midrule
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Quotient & $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ \\
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\midrule
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Composée & $(f(u))' = u'f'(u)$ \\
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|
\bottomrule
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\end{tabularx}
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\begin{tabularx}{\linewidth}{YY}
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\toprule
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Fonction & Primitive \\
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\toprule
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$u'u^n$ & $\frac{u^{n+1}}{n+1}$ \\
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\midrule
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$\frac{u'}{u^2}$ & $-\frac{1}{u}$ \\
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\midrule
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$\frac{u'}{\sqrt{u}}$ & $2\sqrt{u}$ \\
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\midrule
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$u'\cos{u}$ & $\sin{u}$ \\
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\midrule
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$u'\sin{u}$ & $-\cos{u}$ \\
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\midrule
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$\frac{u'}{u}$ & $\ln{|u|}$ \\
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\midrule
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|
$u'e^u$ & $e^u$ \\
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\midrule
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|
$\frac{u'}{1 + u^2}$ & $\arctan{u}$ \\
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\bottomrule
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\end{tabularx}
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\end{multicols}
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\subsection{Intégrales}
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\begin{equation*}
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\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)
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\end{equation*}
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\subsubsection{Intégration par parties}
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\begin{equation*}
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\int_a^b uv'\,\mathrm{d}x = [uv]_a^b - \int_a^b u'v\,\mathrm{d}x
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\end{equation*}
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\subsubsection{Intégration par changement de variables}
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\begin{equation*}
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\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{u(a)}^{u(b)} f(u)\,\frac{\mathrm{d}u}{u}
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\end{equation*}
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\subsection{Équations différentielles}
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\begin{tabularx}{\linewidth}{YYc}
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\toprule
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Type d'E.D. & Solutions & \\
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\toprule
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$y' = ay$ & $\lambda e^{ax}$ & $a, \lambda \in \mathbb{R}$ \\
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\midrule
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$y' = ay + b$ & $-\frac{b}{a} + \lambda e^{ax}$ & $a, b, \lambda \in \mathbb{R}$ \\
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\midrule
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|
$y' = ay + f$ & $y_0 + \lambda e^{ax}$ & \makecell{$y_0$ solution particulière de $y' = ay + f$ \\ $f$ une fonction et $a, \lambda \in \mathbb{R}$} \\
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\bottomrule
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\end{tabularx}
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\clearpage
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\section{Rappel sur les dérivées}
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\subsection{Définition}
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Soit une fonction $f$ définie au voisinage d'un réel $a$.
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On dit que $f$ est dérivable en $a$ s'il existe un réel $l$ (appelé nombre dérivé de $f$ en $a$), tel que l'on ait une des deux propriétés suivantes~:
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = l$
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\item $\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = l$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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Alors $f'(a) = l$.
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\subsection{Interprétation graphique}
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\begin{multicols}{2}
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\includegraphics[width=0.4\textwidth]{./img/rappel-deriv-int-graph.png}
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Au point $A = (a, y_a = f(a))$, la droite $\Delta$ est la tangente de $f(x)$ en $A$.
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\begin{displaymath}
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\Delta : y = px + m
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\end{displaymath}
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La dérivée donne la pente de la droite $\Delta$.
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\begin{displaymath}
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p = f'(a)
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\end{displaymath}
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\end{multicols}
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Ainsi~:
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\begin{itemize}
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\item si $f'(a) < 0$ alors $f$ est décroissante
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\item si $f'(a) > 0$ alors $f$ est croissante
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\item si $f'(a) = 0$ alors $f$ passe par un extremum (max, min, ou point d'inflexion)
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\end{itemize}
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\clearpage
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\section{Techniques d'intégration}
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\subsection{Intégration par identification}
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Il s'agit d'essayer de reconnaître une des formes de primitives composées, pour éviter de calculer des expressions complexes à la main.
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\subsection{Intégration par parties}
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\paragraph{Mnémotechnique}
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Il s'agit de trouver quelle expression attribuer à $u$ et quelle expression attribuer à $v'$.
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Un moyen mnémotechnique est~:
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\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
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\multirow{6}{*}{dérivation} & ALPES & \multirow{6}{*}{intégration} \\
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& A~: $\arctan$ & \\
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& L~: $\ln$ & \\
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& P~: polynômes & \\
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& E~: $e$ & \\
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& S~: $\sin \text{ et } \cos$ & \\
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\end{tabularx}
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\paragraph{Exemple}
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\begin{align*}
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I = \int_0^1 xe^{2x}\,\mathrm{d}x \\
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u &= x & u' &= 1 \\
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v' &= e^{2x} & v &= \frac{1}{2} e^{2x} \\
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\end{align*}
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La formule $\int_0^1 uv'\,\mathrm{d}x = [uv]_0^1 - \int_0^1 u'v\,\mathrm{d}x$ devient~:
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\begin{align*}
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I &= [\frac{x}{2} e^{2x}]_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{2} e^{2x}\,\mathrm{d}x \\
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&= [\frac{x}{2} e^{2x}]_0^1 - \frac{1}{2} [\frac{1}{2} e^{2x}]_0^1 \\
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&= [\frac{x}{2} e^{2x}]_0^1 - \frac{1}{4} [e^{2x}]_0^1 \\
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&= \frac{e^2}{2} - \frac{1}{4} (e^2 - e^0) \\
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&= \frac{e^2}{2} - \frac{e^2 - 1}{4} \\
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&= \frac{e^2 + 1}{4} \\
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\end{align*}
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\subsection{Intégration par changement de variables}
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\paragraph{Exemple}
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\begin{align*}
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\int_0^{\ln{\sqrt{3}}} \frac{1}{e^x + e^{-x}}\,\mathrm{d}x\text{,\quad on pose }u=e^x
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\end{align*}
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\begin{align*}
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&= \int_{e^0}^{e^{\ln{\sqrt{3}}}} \frac{1}{u + \frac{1}{u}}\,\frac{\mathrm{d}u}{u} \\\\
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&= \int_1^{\sqrt{3}} \frac{1}{u^2 + 1}\,\mathrm{d}u
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= [\arctan{u}]_1^{\sqrt{3}}
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= \arctan{\sqrt{3}} - \arctan{1}
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= \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12}
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\end{align*}
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\clearpage
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\section{Équations différentielles}
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\subsection{Équation de type $y' + ay = f$}
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Pour une équation de type $y' + ay = f$ ($f$ étant une fonction), la résolution se fait en 3 étapes.
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\subsubsection{Solution homogène ($y_h$)}
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On commence par résoudre l'équation homogène en enlevant la partie fonction ($f$).
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\begin{equation*}
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y' + ay = 0
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\end{equation*}
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Cela nous donne la première forme~: $y' = -ay$, dont on connaît la solution~:
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\begin{equation*}
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y_h = \lambda e^{-ax}, \lambda \in \mathbb{R}
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\end{equation*}
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\subsubsection{Solution particulière ($y_0$)}
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On essaie ensuite de trouve une solution particulière de l'équation de départ.
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Pour cela, on va passer par une fonction $y_0$ de même ordre que la fonction $f$~:
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\begin{itemize}
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\item Pour $f$ polynôme, un polynôme de même ordre~:
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\begin{align*}
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x &\rightarrow ax +b \\
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x^2 &\rightarrow ax^2 + bx + c \\
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x^3 &\rightarrow ax^3 + bx^2 + cx + d \\
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\dots
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\end{align*}
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\item Pour $f$ trigonométrique, $a\cos{x} + b\sin{x}$
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\item Pour $f$ exponentielle, $P(x)e^x$, avec $P$ de même ordre que le polynôme produit de $e$ dans $f$ si ce $e$ est différent de celui trouvé dans la solution homogène.
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Si l'exponentielle est identique, $P$ doit être de l'ordre du polynôme + 1.
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\end{itemize}
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On applique alors l'équation de départ à $y_0$~:
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\begin{equation*}
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y_0' + ay_0 = f
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\end{equation*}
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Et on la résoud pour trouver $a, b, c, \dots$.
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Cela nous donne $y_0$, solution particulière.
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\subsubsection{Solution générale ($y$)}
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On applique maintenant la formule~:
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\begin{align*}
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y &= y_0 + y_h \\
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&= y_0 + \lambda e^{-ax}, \lambda \in \mathbb{R} \\
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\end{align*}
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\clearpage
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\section{Intégrales généralisées}
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\clearpage
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\section{Séries de Fourier}
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\end{document}
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