\documentclass[a4paper,french]{article} \title{Analyse} \author{Alain OSTER --- \href{mailto:alain.oster@intervenants.efrei.fr}{\nolinkurl{alain.oster@intervenants.efrei.fr}}} \date{Dernière compilation~: \today{} à \currenttime} \usepackage{../cours} \begin{document} \maketitle \tableofcontents \clearpage \section{Coin par c\oe{}ur} \subsection{Trigonométrie} \begin{tabularx}{\linewidth}{c|YYYYY} \toprule x & 0 & $\frac{\pi}{6}$ & $\frac{\pi}{4}$ & $\frac{\pi}{3}$ & $\frac{\pi}{2}$ \\ \midrule $\sin{x}$ & 0 & $\frac{1}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & 1 \\ \midrule $\cos{x}$ & 1 & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{1}{2}$ & 0 \\ \midrule $\frac{\sin{x}}{\cos{x}} = \tan{x}$ & 0 & $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ & 1 & $\sqrt{3}$ & impossible \\ \bottomrule \end{tabularx} \subsection{Exponentielle et Logarithme} \begin{multicols}{2} $e^0 = 1 ; e^1 = e$ $\ln{0} = \text{impossible~; } \ln{1} = 0 \text{~; } \ln{e} = 1$ \end{multicols} \subsection{Dérivées et Primitives} \subsubsection{Usuelles} \begin{tabularx}{\linewidth}{YY} \toprule Primitive --- $f(x)$ & Dérivée --- $f'(x)$ \\ \toprule \textcolor{red}{$a$} & 0 \\ \midrule \textcolor{red}{$ax$} & \textcolor{red}{$a$} \\ \midrule $\frac{1}{2} x^2$ & \textcolor{red}{$x$} \\ \midrule \textcolor{red}{$x^n$} & \textcolor{red}{$nx^{n-1}$} \\ \midrule \textcolor{red}{$\sqrt{x}$} & $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ \\ \midrule $\frac{2}{3} x\sqrt{x}$ & \textcolor{red}{$\sqrt{x}$} \\ \midrule \textcolor{red}{$e^{ax}$} & \textcolor{red}{$ae^{ax}$} \\ \midrule \textcolor{red}{$a^x$} & $a^x \ln{a}$ \\ \midrule \textcolor{red}{$\ln{|x|}$} & \textcolor{red}{$\frac{1}{x}$} \\ \midrule \textcolor{red}{$\cos{x}$} & \textcolor{red}{$-\sin{x}$} \\ \midrule \textcolor{red}{$\sin{x}$} & \textcolor{red}{$\cos{x}$} \\ \midrule \textcolor{red}{$\tan{x}$} & $1 + \tan^2{x} = \frac{1}{\cos^2{x}}$ \\ \midrule $\cot{x}$ & $-1 - \cot^2{x} = \frac{-1}{\sin^2{x}}$ \\ \midrule $\arccos{x}$ & $\frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}$ \\ \midrule $\arcsin{x}$ & $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ \\ \midrule \textcolor{red}{$\arctan{x}$} & \textcolor{red}{$\frac{1}{1 + x^2}$} \\ \bottomrule \end{tabularx} \subsubsection{Composées} \begin{multicols}{2} \begin{tabularx}{\linewidth}{lY} \toprule \multirow{2}{*}{Linéarité} & $(u + v)' = u' + v'$ \\ & $(au)' = au'$ \\ \midrule Produit & $(uv)' = u'v + uv'$ \\ \midrule Inverse & $\left(\frac{1}{v}\right)' = - \frac{v'}{v^2}$ \\ \midrule Quotient & $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ \\ \midrule Composée & $(f(u))' = u'f'(u)$ \\ \bottomrule \end{tabularx} \begin{tabularx}{\linewidth}{YY} \toprule Fonction & Primitive \\ \toprule $u'u^n$ & $\frac{u^{n+1}}{n+1}$ \\ \midrule $\frac{u'}{u^2}$ & $-\frac{1}{u}$ \\ \midrule $\frac{u'}{\sqrt{u}}$ & $2\sqrt{u}$ \\ \midrule $u'\cos{u}$ & $\sin{u}$ \\ \midrule $u'\sin{u}$ & $-\cos{u}$ \\ \midrule $\frac{u'}{u}$ & $\ln{|u|}$ \\ \midrule $u'e^u$ & $e^u$ \\ \midrule $\frac{u'}{1 + u^2}$ & $\arctan{u}$ \\ \bottomrule \end{tabularx} \end{multicols} \subsection{Intégrales} \begin{equation*} \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) \end{equation*} \subsubsection{Intégration par parties} \begin{equation*} \int_a^b uv'\,\mathrm{d}x = [uv]_a^b - \int_a^b u'v\,\mathrm{d}x \end{equation*} \subsubsection{Intégration par changement de variables} \begin{equation*} \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{u(a)}^{u(b)} f(u)\,\frac{\mathrm{d}u}{u} \end{equation*} \subsection{Équations différentielles} \begin{tabularx}{\linewidth}{YYc} \toprule Type d'E.D. & Solutions & \\ \toprule $y' = ay$ & $\lambda e^{ax}$ & $a, \lambda \in \mathbb{R}$ \\ \midrule $y' = ay + b$ & $-\frac{b}{a} + \lambda e^{ax}$ & $a, b, \lambda \in \mathbb{R}$ \\ \midrule $y' = ay + f$ & $y_0 + \lambda e^{ax}$ & \makecell{$y_0$ solution particulière de $y' = ay + f$ \\ $f$ une fonction et $a, \lambda \in \mathbb{R}$} \\ \bottomrule \end{tabularx} \clearpage \section{Rappel sur les dérivées} \subsection{Définition} Soit une fonction $f$ définie au voisinage d'un réel $a$. On dit que $f$ est dérivable en $a$ s'il existe un réel $l$ (appelé nombre dérivé de $f$ en $a$), tel que l'on ait une des deux propriétés suivantes~: \begin{multicols}{2} \begin{enumerate} \item $\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = l$ \item $\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = l$ \end{enumerate} \end{multicols} Alors $f'(a) = l$. \subsection{Interprétation graphique} \begin{multicols}{2} \includegraphics[width=0.4\textwidth]{./img/rappel-deriv-int-graph.png} Au point $A = (a, y_a = f(a))$, la droite $\Delta$ est la tangente de $f(x)$ en $A$. \begin{displaymath} \Delta : y = px + m \end{displaymath} La dérivée donne la pente de la droite $\Delta$. \begin{displaymath} p = f'(a) \end{displaymath} \end{multicols} Ainsi~: \begin{itemize} \item si $f'(a) < 0$ alors $f$ est décroissante \item si $f'(a) > 0$ alors $f$ est croissante \item si $f'(a) = 0$ alors $f$ passe par un extremum (max, min, ou point d'inflexion) \end{itemize} \clearpage \section{Techniques d'intégration} \subsection{Intégration par identification} Il s'agit d'essayer de reconnaître une des formes de primitives composées, pour éviter de calculer des expressions complexes à la main. \subsection{Intégration par parties} \paragraph{Mnémotechnique} Il s'agit de trouver quelle expression attribuer à $u$ et quelle expression attribuer à $v'$. Un moyen mnémotechnique est~: \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} \multirow{6}{*}{dérivation} & ALPES & \multirow{6}{*}{intégration} \\ & A~: $\arctan$ & \\ & L~: $\ln$ & \\ & P~: polynômes & \\ & E~: $e$ & \\ & S~: $\sin \text{ et } \cos$ & \\ \end{tabularx} \paragraph{Exemple} \begin{align*} I = \int_0^1 xe^{2x}\,\mathrm{d}x \\ u &= x & u' &= 1 \\ v' &= e^{2x} & v &= \frac{1}{2} e^{2x} \\ \end{align*} La formule $\int_0^1 uv'\,\mathrm{d}x = [uv]_0^1 - \int_0^1 u'v\,\mathrm{d}x$ devient~: \begin{align*} I &= [\frac{x}{2} e^{2x}]_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{2} e^{2x}\,\mathrm{d}x \\ &= [\frac{x}{2} e^{2x}]_0^1 - \frac{1}{2} [\frac{1}{2} e^{2x}]_0^1 \\ &= [\frac{x}{2} e^{2x}]_0^1 - \frac{1}{4} [e^{2x}]_0^1 \\ &= \frac{e^2}{2} - \frac{1}{4} (e^2 - e^0) \\ &= \frac{e^2}{2} - \frac{e^2 - 1}{4} \\ &= \frac{e^2 + 1}{4} \\ \end{align*} \subsection{Intégration par changement de variables} \paragraph{Exemple} \begin{align*} \int_0^{\ln{\sqrt{3}}} \frac{1}{e^x + e^{-x}}\,\mathrm{d}x\text{,\quad on pose }u=e^x \end{align*} \begin{align*} &= \int_{e^0}^{e^{\ln{\sqrt{3}}}} \frac{1}{u + \frac{1}{u}}\,\frac{\mathrm{d}u}{u} \\\\ &= \int_1^{\sqrt{3}} \frac{1}{u^2 + 1}\,\mathrm{d}u = [\arctan{u}]_1^{\sqrt{3}} = \arctan{\sqrt{3}} - \arctan{1} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12} \end{align*} \clearpage \section{Équations différentielles} \subsection{Équation de type $y' + ay = f$} Pour une équation de type $y' + ay = f$ ($f$ étant une fonction), la résolution se fait en 3 étapes. \subsubsection{Solution homogène ($y_h$)} On commence par résoudre l'équation homogène en enlevant la partie fonction ($f$). \begin{equation*} y' + ay = 0 \end{equation*} Cela nous donne la première forme~: $y' = -ay$, dont on connaît la solution~: \begin{equation*} y_h = \lambda e^{-ax}, \lambda \in \mathbb{R} \end{equation*} \subsubsection{Solution particulière ($y_0$)} On essaie ensuite de trouve une solution particulière de l'équation de départ. Pour cela, on va passer par une fonction $y_0$ de même ordre que la fonction $f$~: \begin{itemize} \item Pour $f$ polynôme, un polynôme de même ordre~: \begin{align*} x &\rightarrow ax +b \\ x^2 &\rightarrow ax^2 + bx + c \\ x^3 &\rightarrow ax^3 + bx^2 + cx + d \\ \dots \end{align*} \item Pour $f$ trigonométrique, $a\cos{x} + b\sin{x}$ \item Pour $f$ exponentielle, $P(x)e^x$, avec $P$ de même ordre que le polynôme produit de $e$ dans $f$ si ce $e$ est différent de celui trouvé dans la solution homogène. Si l'exponentielle est identique, $P$ doit être de l'ordre du polynôme + 1. \end{itemize} On applique alors l'équation de départ à $y_0$~: \begin{equation*} y_0' + ay_0 = f \end{equation*} Et on la résoud pour trouver $a, b, c, \dots$. Cela nous donne $y_0$, solution particulière. \subsubsection{Solution générale ($y$)} On applique maintenant la formule~: \begin{align*} y &= y_0 + y_h \\ &= y_0 + \lambda e^{-ax}, \lambda \in \mathbb{R} \\ \end{align*} \clearpage \section{Intégrales généralisées} \clearpage \section{Séries de Fourier} \end{document}