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@ -1,7 +1,7 @@
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filename=$(shell basename $(shell pwd))
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timestamp=$(shell date +%Y-%m-%d_%H:%M)
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all: snapshot exercices dm1
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all: snapshot exercices dm1 controle1
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snapshot: main.tex
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@latexmk -pdf main.tex
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@ -30,5 +30,14 @@ dm1: dm1.tex
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echo "Updated"; \
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fi
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controle1: controle1.tex
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@latexmk -pdf controle1.tex
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@if ! cmp --silent build/controle1.pdf controle1_*.pdf; then \
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touch controle1_tmp.pdf; \
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rm controle1*.pdf; \
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cp build/controle1.pdf controle1_${timestamp}.pdf; \
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echo "Updated"; \
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fi
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clean:
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@rm -rf build 2>/dev/null
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112
optimisation-complexite/controle1.tex
Normal file
112
optimisation-complexite/controle1.tex
Normal file
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@ -0,0 +1,112 @@
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\documentclass[a4paper,french,12pt]{article}
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\title{Optimisation et complexité --- Contrôle}
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\author{Tunui Franken}
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\date{\today{} --- \currenttime}
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\usepackage{styles}
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\usepackage{xcolor,colortbl}
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\definecolor{Red}{rgb}{0.89,0.45,0.36}
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\newcolumntype{r}{>{\columncolor{Red}}Y}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section{Exercice 1}
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\subsection{Expliquer le processus de prise de décision dans le cadre d'un problème d'optimisation}
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Le processus de prise de décision est un processus en plusieurs étapes.
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Il faut d'abord identifier le problème et les paramètres.
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Ensuite il faut établir les solutions possibles, et enfin, parmi l'ensemble des solutions, établir la (ou les) solution(s) optimale(s).
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\subsection{Donner la différence entre les deux méthodes de résolution de programme linéaire (méthode graphique et méthode de simplexe)}
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La méthode graphique est la méthode visuelle la plus intuitive, qui consiste à représenter le problème sous forme d'ensemble de droites sur un plan (à deux dimensions) ou un volume (à trois dimensions).
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Cette représentation graphique sous entend qu'on ne peut pas utiliser la méthode graphique quand on a plus de 3 variables.
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La méthode simplexe consiste à itérer sur un tableau pour déterminer successivement la ou les solutions optimales par remplacement de variables.
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Elle a deux avantages~: elle ne se limite pas à un nombre de variables, et elle peut être appréhendée par un ordinateur parce qu'il s'agit d'un algorithme.
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\subsection{Citer les deux méthodes utilisées pour trouver le point qui rend l'objectif optimal}
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Les deux méthodes utilisées sont, comme cité précédemment, la méthode graphique et la méthode simplexe.
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\section{Exercice 2}
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\subsection{Définir les variables}
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Les variables sont~: \texttt{Produit 1}, \texttt{Produit 2}, \texttt{Produit 3} et \texttt{Produit 4}.
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\subsection{Définir les contraintes}
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Les contraintes sont les quantités de ressources disponibles et que l'on ne doit donc pas dépasser.
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Il s'agit donc de la colonne \texttt{Stock}.
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\subsection{Définir la fonction objectif}
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On cherche à maximiser le chiffre d'affaires, donc le \texttt{Bénéfice}.
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La fonction objectif est donc, avec $x_1$ = \texttt{Produit 1}, $x_2$ = \texttt{Produit 2}, $x_3$ = \texttt{Produit 3} et $x_4$ = \texttt{Produit 4}~:
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\begin{align*}
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\text{Max } Z = 7x_1 + 9x_2 + 18x_3 + 17x_4 \\
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\text{avec }
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\left\{
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\begin{array}{l}
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||||
2x_1 + 4x_2 + 5x_3 + 7x_4 \leq 42 \\
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||||
x_1 + x_2 + 2x_3 + 2x_4 \leq 17 \\
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||||
x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 3x_4 \leq 42 \\
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||||
x_1, x_2, x_3, x_4 \geq 0 \\
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||||
\end{array}
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\right.
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\end{align*}
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\subsection{Résoudre mathématiquement votre programme linéaire avec la méthode de simplexe}
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\begin{align*}
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\text{Max } Z = 7x_1 + 9x_2 + 18x_3 + 17x_4 \\
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||||
\text{avec }
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||||
\left\{
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||||
\begin{array}{l}
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||||
2x_1 + 4x_2 + 5x_3 + 7x_4 + x_5 = 42 \\
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||||
x_1 + x_2 + 2x_3 + 2x_4 + x_6 = 17 \\
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||||
x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 3x_4 + x_7 = 42 \\
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||||
x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7 \geq 0 \\
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||||
\end{array}
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||||
\right.
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||||
\end{align*}
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\begin{tabularx}{\linewidth}{|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|}
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\hline
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Max & \multicolumn{2}{|c|}{$C_i$} & 7 & 9 & 18 & 17 & 0 & 0 & 0 \\
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\hline
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$C_B$ & B & b & $x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & $x_4$ & $x_5$ & $x_6$ & $x_7$ \\
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\hline
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0 & $x_5$ & 42 & 2 & 4 & 5 & 7 & 1 & 0 & 0 \\
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0 & $x_6$ & 17 & 1 & 1 & 2 & 2 & 0 & 1 & 0 \\
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0 & $x_7$ & 42 & 1 & 2 & 3 & 3 & 0 & 0 & 1 \\
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\hline
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\multicolumn{2}{|c|}{$Z_i$} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
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\hline
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||||
\multicolumn{3}{|c|}{$C_i - Z_i$} & 7 & 9 & 18 & 17 & 0 & 0 & 0 \\
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\hline
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\end{tabularx}
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\begin{tabularx}{\linewidth}{|Y|Y|Y|Y|Y|r|Y|Y|Y|Y|}
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\hline
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Max & \multicolumn{2}{|c|}{$C_i$} & 7 & 9 & 18 & 17 & 0 & 0 & 0 \\
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\hline
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||||
$C_B$ & B & b & $x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & $x_4$ & $x_5$ & $x_6$ & $x_7$ \\
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\hline
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\rowcolor{Red} 18 & $x_3$ & 8.4 & 0.4 & 0.8 & 1 & 1.4 & 0.2 & 0 & 0 \\
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0 & $x_6$ & 0.2 & 0.2 & -0.6 & 0 & -0.8 & -0.4 & 1 & 0 \\
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0 & $x_7$ & 16.8 & -0.2 & -0.4 & 0 & -1.2 & -0.6 & 0 & 1 \\
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\hline
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\multicolumn{2}{|c|}{$Z_i$} & 151.2 & 7.2 & 14.4 & 18 & 25.2 & 3.6 & 0 & 0 \\
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\hline
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\multicolumn{3}{|c|}{$C_i - Z_i$} & -0.2 & -5.4 & 0 & -8.2 & -3.6 & 0 & 0 \\
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\hline
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\end{tabularx}
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La solution optimale est donc 151.2.
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\end{document}
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