diff --git a/optimisation-complexite/Makefile b/optimisation-complexite/Makefile index ee21b27..ff5f3c6 100644 --- a/optimisation-complexite/Makefile +++ b/optimisation-complexite/Makefile @@ -1,7 +1,7 @@ filename=$(shell basename $(shell pwd)) timestamp=$(shell date +%Y-%m-%d_%H:%M) -all: snapshot exercices dm1 +all: snapshot exercices dm1 controle1 snapshot: main.tex @latexmk -pdf main.tex @@ -30,5 +30,14 @@ dm1: dm1.tex echo "Updated"; \ fi +controle1: controle1.tex + @latexmk -pdf controle1.tex + @if ! cmp --silent build/controle1.pdf controle1_*.pdf; then \ + touch controle1_tmp.pdf; \ + rm controle1*.pdf; \ + cp build/controle1.pdf controle1_${timestamp}.pdf; \ + echo "Updated"; \ + fi + clean: @rm -rf build 2>/dev/null diff --git a/optimisation-complexite/controle1.tex b/optimisation-complexite/controle1.tex new file mode 100644 index 0000000..364d1f9 --- /dev/null +++ b/optimisation-complexite/controle1.tex @@ -0,0 +1,112 @@ +\documentclass[a4paper,french,12pt]{article} + +\title{Optimisation et complexité --- Contrôle} +\author{Tunui Franken} +\date{\today{} --- \currenttime} + +\usepackage{styles} +\usepackage{xcolor,colortbl} +\definecolor{Red}{rgb}{0.89,0.45,0.36} +\newcolumntype{r}{>{\columncolor{Red}}Y} + +\begin{document} + +\maketitle + +\section{Exercice 1} + + \subsection{Expliquer le processus de prise de décision dans le cadre d'un problème d'optimisation} + + Le processus de prise de décision est un processus en plusieurs étapes. + Il faut d'abord identifier le problème et les paramètres. + Ensuite il faut établir les solutions possibles, et enfin, parmi l'ensemble des solutions, établir la (ou les) solution(s) optimale(s). + + \subsection{Donner la différence entre les deux méthodes de résolution de programme linéaire (méthode graphique et méthode de simplexe)} + + La méthode graphique est la méthode visuelle la plus intuitive, qui consiste à représenter le problème sous forme d'ensemble de droites sur un plan (à deux dimensions) ou un volume (à trois dimensions). + Cette représentation graphique sous entend qu'on ne peut pas utiliser la méthode graphique quand on a plus de 3 variables. + + La méthode simplexe consiste à itérer sur un tableau pour déterminer successivement la ou les solutions optimales par remplacement de variables. + Elle a deux avantages~: elle ne se limite pas à un nombre de variables, et elle peut être appréhendée par un ordinateur parce qu'il s'agit d'un algorithme. + + \subsection{Citer les deux méthodes utilisées pour trouver le point qui rend l'objectif optimal} + + Les deux méthodes utilisées sont, comme cité précédemment, la méthode graphique et la méthode simplexe. + +\section{Exercice 2} + + \subsection{Définir les variables} + + Les variables sont~: \texttt{Produit 1}, \texttt{Produit 2}, \texttt{Produit 3} et \texttt{Produit 4}. + + \subsection{Définir les contraintes} + + Les contraintes sont les quantités de ressources disponibles et que l'on ne doit donc pas dépasser. + Il s'agit donc de la colonne \texttt{Stock}. + + \subsection{Définir la fonction objectif} + + On cherche à maximiser le chiffre d'affaires, donc le \texttt{Bénéfice}. + La fonction objectif est donc, avec $x_1$ = \texttt{Produit 1}, $x_2$ = \texttt{Produit 2}, $x_3$ = \texttt{Produit 3} et $x_4$ = \texttt{Produit 4}~: + \begin{align*} + \text{Max } Z = 7x_1 + 9x_2 + 18x_3 + 17x_4 \\ + \text{avec } + \left\{ + \begin{array}{l} + 2x_1 + 4x_2 + 5x_3 + 7x_4 \leq 42 \\ + x_1 + x_2 + 2x_3 + 2x_4 \leq 17 \\ + x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 3x_4 \leq 42 \\ + x_1, x_2, x_3, x_4 \geq 0 \\ + \end{array} + \right. + \end{align*} + + \subsection{Résoudre mathématiquement votre programme linéaire avec la méthode de simplexe} + \begin{align*} + \text{Max } Z = 7x_1 + 9x_2 + 18x_3 + 17x_4 \\ + \text{avec } + \left\{ + \begin{array}{l} + 2x_1 + 4x_2 + 5x_3 + 7x_4 + x_5 = 42 \\ + x_1 + x_2 + 2x_3 + 2x_4 + x_6 = 17 \\ + x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 3x_4 + x_7 = 42 \\ + x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7 \geq 0 \\ + \end{array} + \right. + \end{align*} + + \begin{tabularx}{\linewidth}{|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|} + \hline + Max & \multicolumn{2}{|c|}{$C_i$} & 7 & 9 & 18 & 17 & 0 & 0 & 0 \\ + \hline + $C_B$ & B & b & $x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & $x_4$ & $x_5$ & $x_6$ & $x_7$ \\ + \hline + 0 & $x_5$ & 42 & 2 & 4 & 5 & 7 & 1 & 0 & 0 \\ + 0 & $x_6$ & 17 & 1 & 1 & 2 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ + 0 & $x_7$ & 42 & 1 & 2 & 3 & 3 & 0 & 0 & 1 \\ + \hline + \multicolumn{2}{|c|}{$Z_i$} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ + \hline + \multicolumn{3}{|c|}{$C_i - Z_i$} & 7 & 9 & 18 & 17 & 0 & 0 & 0 \\ + \hline + \end{tabularx} + + \begin{tabularx}{\linewidth}{|Y|Y|Y|Y|Y|r|Y|Y|Y|Y|} + \hline + Max & \multicolumn{2}{|c|}{$C_i$} & 7 & 9 & 18 & 17 & 0 & 0 & 0 \\ + \hline + $C_B$ & B & b & $x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & $x_4$ & $x_5$ & $x_6$ & $x_7$ \\ + \hline + \rowcolor{Red} 18 & $x_3$ & 8.4 & 0.4 & 0.8 & 1 & 1.4 & 0.2 & 0 & 0 \\ + 0 & $x_6$ & 0.2 & 0.2 & -0.6 & 0 & -0.8 & -0.4 & 1 & 0 \\ + 0 & $x_7$ & 16.8 & -0.2 & -0.4 & 0 & -1.2 & -0.6 & 0 & 1 \\ + \hline + \multicolumn{2}{|c|}{$Z_i$} & 151.2 & 7.2 & 14.4 & 18 & 25.2 & 3.6 & 0 & 0 \\ + \hline + \multicolumn{3}{|c|}{$C_i - Z_i$} & -0.2 & -5.4 & 0 & -8.2 & -3.6 & 0 & 0 \\ + \hline + \end{tabularx} + + La solution optimale est donc 151.2. + +\end{document}