From a411f659fb7f0c0f0b4c8969556c4ce0c7bec14f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "flyingscorpio@arch-desktop" <tfranken@protonmail.com>
Date: Fri, 22 Oct 2021 23:47:25 +0200
Subject: [PATCH] Add Fourier to coin par coeur, make it fit

---
 analyse/main.tex | 69 +++++++++++++++++++++++++++---------------------
 1 file changed, 39 insertions(+), 30 deletions(-)

diff --git a/analyse/main.tex b/analyse/main.tex
index 7bbb801..928c383 100644
--- a/analyse/main.tex
+++ b/analyse/main.tex
@@ -15,8 +15,7 @@
 \section{Coin par c\oe{}ur}
 
     \paragraph{Trigonométrie}
-
-        \begin{tabularx}{\linewidth}{c|YYYYY}
+        \begin{tabular}{c|ccccc}
             \toprule
             x & 0 & $\frac{\pi}{6}$ & $\frac{\pi}{4}$ & $\frac{\pi}{3}$ & $\frac{\pi}{2}$ \\
             \midrule
@@ -26,18 +25,15 @@
             \midrule
             $\frac{\sin{x}}{\cos{x}} = \tan{x}$ & 0 & $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ & 1 & $\sqrt{3}$ & impossible \\
             \bottomrule
-        \end{tabularx}
+        \end{tabular}
 
     \paragraph{Exponentielle et Logarithme}
 
-        \begin{multicols}{2}
-
+            \hfill
             $e^0 = 1 ; e^1 = e$
-
+            \hfill
             $\ln{0} = \text{impossible~; } \ln{1} = 0 \text{~; } \ln{e} = 1$
 
-        \end{multicols}
-
     \paragraph{Dérivées et Primitives}
 
         \begin{multicols}{2}
@@ -126,7 +122,7 @@
     \paragraph{Intégrales}
         $\int_a^b f(x)\dif x = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$
 
-        \begin{tabularx}{\linewidth}{YYY}
+        \begin{tabularx}{\linewidth}{YY}
             \toprule
             Intégration par parties~: & Intégration par changement de variables~: \\
             \midrule
@@ -156,12 +152,12 @@
 
         \begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
             \toprule
-            \multicolumn{2}{l}{Second membre du type $e^{\alpha x}P(x)$} \\
+            \multicolumn{2}{c}{Second membre du type $e^{\alpha x}P(x)$} \\
             $\alpha$ non racine & $y_1 = e^{\alpha x} Q(x)$ \\
             $\alpha$ racine simple & $y_1 = x e^{\alpha x} Q(x)$ \\
             $\alpha$ racine double & $y_1 = x^2 e^{\alpha x} Q(x)$ \\
             \midrule
-            \multicolumn{2}{l}{Second membre du type $e^{\alpha x}(P_1(x)\cos(\beta x) + P_2(x)\sin(\beta x))$} \\
+            \multicolumn{2}{c}{Second membre du type $e^{\alpha x}(P_1(x)\cos(\beta x) + P_2(x)\sin(\beta x))$} \\
             $\alpha + i\beta$ non racine & $y_1 = e^{\alpha x}(Q_1(x)\cos(\beta x) + Q_2(x)\sin(\beta x))$ \\
             $\alpha + i\beta$ racine & $y_1 = x e^{\alpha x}(Q_1(x)\cos(\beta x) + Q_2(x)\sin(\beta x))$ \\
             \bottomrule
@@ -170,28 +166,41 @@
     \paragraph{Intégrales généralisées}
 
         Intégrales de référence~:
-
-            \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
-                \toprule
-                Intégrale                                                          & converge si        & diverge si \\
-                \toprule
-                $\int_a^{+\infty}\frac{1}{x^{\alpha}}\dif x$                       & $\alpha > 1$       & $\alpha \leq 1$ \\
-                \midrule
-                $\int_a^{+\infty}e^{-\alpha x}\dif x$                       & $\alpha > 0$       & $\alpha \leq 0$ \\
-                \midrule
-                $\int_a^{+\infty}x^n e^{-\alpha x}\dif x$                   & $\alpha > 0$       & $\alpha \leq 0$ \\
-                \midrule
-                $\int_a^{+\infty}\frac{1}{x^{\alpha}(\ln x)^{\beta}}\dif x$ & $(\alpha > 1)$ ou $(\alpha = 1 \text{ et }\beta > 1)$ & $(\alpha < 1)$ ou $(\alpha = 1 \text{ et }\beta \leq 1)$ \\
-                \bottomrule
-            \end{tabularx}
+        \begin{tabular}{lll}
+            \toprule
+            Intégrale                                                          & converge si        & diverge si \\
+            \toprule
+            $\int_a^{+\infty}\frac{1}{x^{\alpha}}\dif x$                       & $\alpha > 1$       & $\alpha \leq 1$ \\
+            $\int_a^{+\infty}e^{-\alpha x}\dif x$                       & $\alpha > 0$       & $\alpha \leq 0$ \\
+            $\int_a^{+\infty}x^n e^{-\alpha x}\dif x$                   & $\alpha > 0$       & $\alpha \leq 0$ \\
+            $\int_a^{+\infty}\frac{1}{x^{\alpha}(\ln x)^{\beta}}\dif x$ & $(\alpha > 1)$ ou $(\alpha = 1 \text{ et }\beta > 1)$ & $(\alpha < 1)$ ou $(\alpha = 1 \text{ et }\beta \leq 1)$ \\
+            \bottomrule
+        \end{tabular}
 
         Majoration, minoration~:
+        \begin{tabular}{lll}
+            $0 \leq f(x) \leq g(x)$ & $\int_a^{+\infty}g(x)\dif x$ converge $\implies \int_a^{+\infty}f(x)\dif x$ converge aussi \\
+                                    & $\int_a^{+\infty}f(x)\dif x$ diverge $\implies \int_a^{+\infty}g(x)\dif x$ diverge aussi \\
+        \end{tabular}
 
-            Si $0 \leq f(x) \leq g(x)$~:
-            \begin{align*}
-                \int_a^{+\infty}g(x)\dif x \text{ converge } &\implies \int_a^{+\infty}f(x)\dif x \text{ converge aussi} \\
-                \int_a^{+\infty}f(x)\dif x \text{ diverge } &\implies \int_a^{+\infty}g(x)\dif x \text{ diverge aussi}
-            \end{align*}
+    \paragraph{Séries de Fourier}
+        $S_f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_n\cos{\frac{2\pi nx}{T}} + b_n\sin{\frac{2\pi nx}{T}}\right)$
+
+        avec
+        \hfill
+        $a_0 = \frac{1}{T} \int_{-L}^L f(x) \dif x$
+        \hfill
+        $a_n = \frac{2}{T} \int_{-L}^L f(x) \cos{\frac{2\pi nx}{T}} \dif x$
+        \hfill
+        $b_n = \frac{2}{T} \int_{-L}^L f(x) \sin{\frac{2\pi nx}{T}} \dif x$
+
+        $f$ paire $\implies b_n = 0$
+        \qquad
+        $f$ impaire $\implies a_0$ et $a_n = 0$
+        \hfill
+        $\cos(n\pi) = (-1)^n$
+        \qquad
+        $\sin(n\pi) = 0$
 
 \clearpage
 \section{Rappel sur les dérivées}