Add étapes pour équation différentielle

analyse/main.tex

@@ -147,11 +147,11 @@
             \toprule
             Type d'E.D. & Solutions & \\
             \toprule
-            $y' = ay$ & $ce^{ax}$ & $a, c \in \mathbb{R}$ \\
+            $y' = ay$ & $\lambda e^{ax}$ & $a, \lambda \in \mathbb{R}$ \\
             \midrule
-            $y' = ay + b$ & $-\frac{b}{a} + ce^{ax}$ & $a, b, c \in \mathbb{R}$ \\
+            $y' = ay + b$ & $-\frac{b}{a} + \lambda e^{ax}$ & $a, b, \lambda \in \mathbb{R}$ \\
             \midrule
-            $y' = ay + f$ & $y_0 + ce^{ax}$ & \makecell{$y_0$ solution particulière de $y' = ay + f$ \\ $f$ une fonction et $a, c \in \mathbb{R}$} \\
+            $y' = ay + f$ & $y_0 + \lambda e^{ax}$ & \makecell{$y_0$ solution particulière de $y' = ay + f$ \\ $f$ une fonction et $a, \lambda \in \mathbb{R}$} \\
             \bottomrule
         \end{tabularx}
 
@@ -270,6 +270,65 @@
 \clearpage
 \section{Équations différentielles}
 
+    \subsection{Équation de type $y' + ay = f$}
+
+        Pour une équation de type $y' + ay = f$ ($f$ étant une fonction), la résolution se fait en 3 étapes.
+
+        \subsubsection{Solution homogène ($y_h$)}
+
+            On commence par résoudre l'équation homogène en enlevant la partie fonction ($f$).
+
+            \begin{equation*}
+                y' + ay = 0
+            \end{equation*}
+
+            Cela nous donne la première forme~: $y' = -ay$, dont on connaît la solution~:
+            \begin{equation*}
+                y_h = \lambda e^{-ax}, \lambda \in \mathbb{R}
+            \end{equation*}
+
+        \subsubsection{Solution particulière ($y_0$)}
+
+            On essaie ensuite de trouve une solution particulière de l'équation de départ.
+            Pour cela, on va passer par une fonction $y_0$ de même ordre que la fonction $f$~:
+
+            \begin{itemize}
+
+                \item Pour $f$ polynôme, un polynôme de même ordre~:
+
+                    \begin{align*}
+                        x &\rightarrow ax +b \\
+                        x^2 &\rightarrow ax^2 + bx + c \\
+                        x^3 &\rightarrow ax^3 + bx^2 + cx + d \\
+                        \dots
+                    \end{align*}
+
+                \item Pour $f$ trigonométrique, $a\cos{x} + b\sin{x}$
+
+                \item Pour $f$ exponentielle, $P(x)e^x$, avec $P$ de même ordre que le polynôme produit de $e$ dans $f$ si ce $e$ est différent de celui trouvé dans la solution homogène.
+                    Si l'exponentielle est identique, $P$ doit être de l'ordre du polynôme + 1.
+
+            \end{itemize}
+
+            On applique alors l'équation de départ à $y_0$~:
+
+            \begin{equation*}
+                y_0' + ay_0 = f
+            \end{equation*}
+
+            Et on la résoud pour trouver $a, b, c, \dots$.
+
+            Cela nous donne $y_0$, solution particulière.
+
+        \subsubsection{Solution générale ($y$)}
+
+            On applique maintenant la formule~:
+
+            \begin{align*}
+                y &= y_0 + y_h \\
+                  &= y_0 + \lambda e^{-ax}, \lambda \in \mathbb{R} \\
+            \end{align*}
+
 \clearpage
 \section{Intégrales généralisées}