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136
algebre-non-lineaire/main.tex
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@ -66,4 +66,140 @@
\subsection{Algorithme d'Euclide}
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{YYY}
\toprule
$a$ & $b$ & $r$ \\
\toprule
$a$ & $b$ & $r$ \\
\midrule
$b$ & $r$ & $r'$ \\
\midrule
$r$ & $r'$ & $r''$ \\
\midrule
$r'$ & $r''$ & $\ldots$ \\
\bottomrule
\end{tabularx}
\end{center}
À chaque ligne, on calcule la division euclidienne de $a$ par $b$.
Les restes calculés dans la colonne $r$ sont décroissants.
Il suffit donc de s'arrêter quand on obtient 0.
Exemple~:
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{YYYl}
\toprule
$a$ & $b$ & $r$ & \\
\toprule
247 & 134 & 113 & \\
\midrule
134 & 113 & 21 & \\
\midrule
113 & 21 & 8 & \\
\midrule
21 & 8 & 5 & \\
\midrule
8 & 5 & 3 & \\
\midrule
5 & 3 & 2 & \\
\midrule
3 & 2 & $\boxed{1}$ & $\leftarrow$ le PGCD est là \\
\midrule
2 & 1 & 0 \\
\bottomrule
\end{tabularx}
\end{center}
Le PGCD est le dernier reste, avant 0.
\subsection{Identité de Bezout}
\begin{equation*}
\forall \; a, b \in \mathbb{N} : \exists\, (u,v) \in \mathbb{Z} \; / \; a \times u + b \times v = \mathrm{pgcd}(a,b)
\end{equation*}
\begin{align*}
\left.
\begin{array}{ll}
a &= 247 \\
b &= 134 \\
\end{array}
\right\}
\exists\, (u,v)\; /\; 247u + 134v = \mathrm{pgcd}(247,134) = 1
\end{align*}
\subsection{Algorithme d'Euclide étendu}
\begin{enumerate}
\item Initialisation~: \\
Se fait sur deux lignes.
$u$ étant le coefficient de Bezout de $a$ et $v$ le coefficient de Bezout de $b$, on met leur cases à 1.
\item Séquence~: \\
On calcule $q$ avec la division euclidienne.
Puis, la ligne $i$ = ligne $(i-2) - q \times$ ligne $(i-1)$.
\end{enumerate}
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{YYYY}
\toprule
$r$ & $u$ & $v$ & $q$ \\
\toprule
$a$ & 1 & 0 & \\
\midrule
$b$ & 0 & 1 & $q$ \\
\midrule
$a-q\times b$ & $1 - q \times 0$ & $0 - q \times 1$ & \\
\midrule
$\vdots$ & & & \\
$\downarrow$ & & & \\
\midrule
0 & & & \\
\bottomrule
\end{tabularx}
\end{center}
Exemple~:
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{YYYY}
\toprule
$r$ & $u$ & $v$ & $q$ \\
\toprule
247 & 1 & 0 & \\
\midrule
134 & 0 & 1 & 1 \\
\midrule
113 & $1 - (1 \times 0)$ & $0 - (1 \times 1)$ & 1 \\
& = 1 & = -1 & \\
\midrule
21 & -1 & 2 & 5 \\
\midrule
8 & $ 1 - (5 \times -1)$ & $-1 - (5 \times -2)$ & 2 \\
& $ = 6$ & $= -11$ & \\
\midrule
5 & -13 & 24 & 1 \\
\midrule
3 & 19 & -35 & 1 \\
\midrule
2 & -32 & 59 & 1 \\
\midrule
1 & 51 & -94 & 2 \\
\bottomrule
0 & -134 & 247 & \\
\bottomrule
\end{tabularx}
\end{center}
On a donc~:
\begin{align*}
a \times u + b \times v &= 1 \\
247 \times 51 + 134 \times (-94) &= 1 \\
12597 - 12596 &= 1
\end{align*}
\end{document}