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@@ -1020,8 +1020,9 @@
             \forall\, p \text{ premier } > 3, (\mathbb{F}_p^*, \otimes) \text{ est un groupe cyclique}
         \end{equation*}
 
-    \subsection{Application}
+    \subsection{Génération des clés}
 
+        Ici encore, $e$ sera la clé publique et $d$ la clé privée.
         Dans $\mathbb{F}_p^*$, on calcule modulo $p$.
         Pour choisir des clés pour ElGamal~:
 
@@ -1037,4 +1038,91 @@
 
         \end{itemize}
 
+        Exemple dans $(\mathbb{F}_{11}^*)$ (on note sans les ``barres'')~:
+
+        \begin{center}
+        \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{cXc}
+            \toprule
+            élément & puissances                    & taille de la ``famille'' \\
+            \midrule
+            1       & 1                             & 1 \\
+            \midrule
+            10      & 10, 1                         & 1 \\
+            \midrule
+            2       & 2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6, 1 & 10 \\
+            \midrule
+            3       & 3, 9, 5, 4, 1                 & 5 \\
+            \midrule
+            4       & 4, 5, 9, 3, 1                 & 5 \\
+            \bottomrule
+        \end{tabularx}
+        \end{center}
+
+        Domaine public~: $(\mathbb{F}_{11}^*), g = 2$
+
+        \begin{align*}
+            \boxed{d=7} \quad &e = g^d[p] = 2^7[11] = 7 \\
+            \boxed{d=5} \quad &e = g^d[p] = 2^5[11] = 10 \\
+        \end{align*}
+
+    \subsection{Chiffrement}
+
+        Pour envoyer un message à A qui a publié $\boxed{p, g, e_A}$~:
+
+        Soit $x$ le message à chiffrer.
+
+        \begin{itemize}
+
+            \item L'émetteur du message choisit en secret une clé privée jetable $k$ tel que $(1<k<p-1)$.
+
+            \item Il calcule deux valeurs~:
+                \begin{align*}
+                    \left\{
+                    \begin{array}{l}
+                        r = g^k[p] \\
+                        y = x\cdot e_A^k[p] \\
+                    \end{array}
+                    \right.
+                \end{align*}
+
+            \item Le message chiffré est $(r, y)$.
+
+        \end{itemize}
+
+    \subsection{Déchiffrement}
+
+        A reçoit $(r, y)$.
+        Il connaît $d_A$ mais pas $k$.
+
+        \begin{equation*}
+            x = y \otimes (r^{d_A})^{-1}[p]
+        \end{equation*}
+
+    \subsection{Démonstration}
+
+        \begin{align*}
+            r^{d_A}[p] &= (g^k[p])^{d_A}[p] \\
+                       &= g^{(kd_A)}[p] \\
+            (r^{d_A}[p])^{-1} &= (g^{(kd_A)}[p])^{-1} \\ \\
+            y &= x \otimes e_A^k[p] \quad \text{or}\quad e_A = g^{d_A}[p] \\
+            y &= x \otimes (g^{d_A}[p])^k[p] \\
+              &= x \otimes (g^{kd_A}[p]) \\ \\
+            x &= y \otimes (r^{d_A})^{-1}[p] \\
+              &= x \otimes (g^{kd_A}[p]) \otimes (g^{(kd_A)}[p])^{-1} \\
+              &= x \otimes 1 \\
+              &= x
+        \end{align*}
+
+    \subsection{Échange de clés}
+
+        \begin{tabularx}{\linewidth}{YYYY}
+            \toprule
+            A & \multicolumn{2}{c}{$p,g,e_A$} & B \\
+            \textcolor{red}{connu de A seul} & \multicolumn{2}{c}{\textcolor{green}{public}} & \textcolor{blue}{connu de B seul} \\
+            \midrule
+            \textcolor{red}{$d_A$} & $\rightarrow e_A = g^{\textcolor{red}{d_A}}$ & $r = g^{\textcolor{blue}{k}}\leftarrow$ & \textcolor{blue}{$k$} \\
+            & \multicolumn{2}{c}{C} & \\
+            \bottomrule
+        \end{tabularx}
+
 \end{document}