Start ElGamal

algebre-non-lineaire/main.tex

@@ -986,4 +986,55 @@
         \end{tikzpicture}
         \end{center}
 
+\section{ElGamal}
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+    \subsection{Groupe cyclique}
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+        On utilise plusieurs puissances dans un \emph{groupe cyclique}.
+        On travaille dans $\frac{\mathbb{Z}}{p\mathbb{Z}}$ avec $p$ premier.
+        Tous les éléments sauf $\overline{0}$ sont alors inversibles.
+        Si on se limite aux éléments inversibles, on a l'ensemble $(\mathbb{F}_p^*, \otimes)$.
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+        Par exemple, pour $p=7\,: \frac{\mathbb{Z}}{7\mathbb{Z}}$ sauf $\overline{0}$~: $\{\overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4}, \overline{5}, \overline{6}\}$.
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+        Il y a au moinss un élément qui génère tous les autres par $\otimes$.
+        On peut multiplier l'élément par lui-même (modulo $p$) autant de fois que l'on veut, on va finir par retomber au point de départ (une fois arrivé sur $\overline{1}$).
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+        \begin{center}
+        \begin{tabular}{l|l}
+            \toprule
+            $\overline{1}$ & $\overline{1}, \overline{1}, \overline{1}, \overline{1} \ldots$ \\
+            \midrule
+            $\overline{2}$ & $\overline{2}, \overline{4}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{1} \ldots$ \\
+            \midrule
+            $\overline{3}$ & $\overline{3}, \overline{2}, \overline{6}, \overline{4}, \overline{5}, \overline{1} \ldots$ \\
+            \bottomrule
+        \end{tabular}
+        \end{center}
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+        Dans cet exemple, un tel générateur est $\overline{3}$.
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+        Un tel groupe s'appelle un \emph{groupe cyclique}.
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+        \begin{equation*}
+            \forall\, p \text{ premier } > 3, (\mathbb{F}_p^*, \otimes) \text{ est un groupe cyclique}
+        \end{equation*}
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+    \subsection{Application}
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+        Dans $\mathbb{F}_p^*$, on calcule modulo $p$.
+        Pour choisir des clés pour ElGamal~:
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+        \begin{itemize}
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+            \item On choisit un nombre premier $p$ pour calculer dans $\mathbb{F}_p^*$.
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+            \item On trouve un générateur $g$~: un élément qui génère les autres par $\otimes$.
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+            \item On choisit $d$ entier, tel que $1<d<p-1$.
+
+            \item On calcule $e = g^d[p]$.
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+        \end{itemize}
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 \end{document}