Add inverse

algebre-non-lineaire/main.tex

@@ -331,4 +331,42 @@
             \bottomrule
         \end{tabularx}
 
+        \paragraph{Inverse}
+
+            \begin{equation*}
+                \overline{a} \text{ est inversible dans } \frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}} \iff \mathrm{pgcd}(a,n) = 1
+            \end{equation*}
+
+            Ils sont donc premiers entre eux.
+            En utilisant Bezout~:
+            \begin{align*}
+                \exists \, (u,v) \in \mathbb{Z} \, / \, au+nv = 1
+                &\implies a[n] \times u[n] + n[n] \times v[n] = 1[n] \\
+                &\implies a[n] \times u[n] = 1 \quad \text{ car } n[n] = 0 \\
+                &\implies \overline{a} \otimes \overline{u[n]} = \overline{1} \\\\
+                \overline{u[n]} \text{ est l'inverse de } \overline{a} \text{ dans } \frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}
+                \left\{
+                \begin{array}{l}
+                    \text{Si $u$ est positif, } u[n] = u \\
+                    \text{Si $u$ est négatif, } u[n] = u+n \\
+                \end{array}
+                \right.
+            \end{align*}
+
+            Exemple~:
+
+            $\overline{7}$ est-il inversible dans $\frac{\mathbb{Z}}{15\mathbb{Z}}$~?
+            \hfill
+            \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{YYY}
+                \toprule
+                r & u & q \\
+                \midrule
+                15 & 0 &  \\
+                7 & 1 & 2 \\
+                1 & -2 & 7 \\
+                0 & & \\
+            \end{tabularx}
+
+            $u=-2$, $u+n = 13$ donc l'inverse de $\overline{7}$ est $\overline{13}$.
+
 \end{document}