Update cours théorie du signal
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@ -296,7 +296,7 @@
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\begin{align*}
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x(t) &= \sum_{n=0}^{+\infty} [a_n\cos(n\omega_0 t) + b_n\sin(n\omega_0 t)] \\
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&= a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} [a_n\cos(n\omega_0 t) + b_n\sin(n\omega_0 t)]
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x(t) &= a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} [a_n\cos(n\omega_0 t) + b_n\sin(n\omega_0 t)]
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\end{align*}
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\begin{itemize}
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@ -323,10 +323,9 @@
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À savoir~: $e^{j\theta} = \cos(\theta) + j\sin(\theta)$
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\begin{align*}
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%TODO: remplace par la bonne formule
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x(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{jn\omega_0 t} \\
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x(t) = \sum_{n=-\infty}^{-1} c_n e^{jn\omega_0 t} + c_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} c_n e^{jn\omega_0 t} \\
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x(t) = c_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} [c_n e^{jn\omega_0 t} + c_{-n} e^{-jn\omega_0 t}] \\
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x(t) &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{jn\omega_0 t} \\
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x(t) &= \sum_{n=-\infty}^{-1} c_n e^{jn\omega_0 t} + c_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} c_n e^{jn\omega_0 t} \\
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x(t) &= c_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} [c_n e^{jn\omega_0 t} + c_{-n} e^{-jn\omega_0 t}] \\
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\end{align*}
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\begin{itemize}
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@ -365,7 +364,7 @@
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S_x(f) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_n|^2 = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_{-n}|^2 = \frac{1}{4} \sum_{n=O}^{+\infty} {\left(\sqrt{a_n^2 + b_n^2}\right)}^2
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\end{equation*}
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Son unité est le W/Hz.
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Son unité est le [W/Hz].
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On dit que c'est un spectre de raie.
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\subsubsection{Propriétés}
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@ -390,7 +389,7 @@
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\subsubsection{Théorême de Parseval}
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% TODO: continue here
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Soit $x(t)$ un signal $T_0$-périodique tel que $x(t)$ peut être décomposé en une série de Fourier, alors~:
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\begin{equation*}
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\frac{1}{T_0} \int_{(T_0)} |x(t)|^2 \dif t = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_n|^2 = a_0^2 + \frac{1}{4} \sum_{n=1}^{+\infty} (a_n^2 + b_n^2)
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@ -406,16 +405,186 @@
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La DSF ne s'applique que les signaux périodiques.
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Pour travailler sur un signal non périodique, il faut passer par la transformée de Fourier.
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$x(t) \rightarrow^{TF} X(f)$
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$x(t) \xrightarrow{TF} X(f)$
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\begin{equation*}
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X(f) = \int_{\mathbb{R}} e^{j2\pi ft} df
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X(f) = \int_{\mathbb{R}} x(t) e^{-j2\pi ft} \dif t
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\end{equation*}
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\subsubsection{Transformée inverse}
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\begin{align*}
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x(t) \xrightarrow{TF} X(f) \\
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X(t) \xrightarrow{TF^{-1}} x(f)
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\end{align*}
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\begin{equation*}
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x(t) = \int_{\mathbb{R}} X(f) e^{j2\pi ft} \dif f
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\end{equation*}
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\subsubsection{Passage de la DSF à la TF}
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\begin{equation*}
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x(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{jn\omega_0 t} \quad \text{avec } n\omega_0 = 2\pi nf_0
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\end{equation*}
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$\implies$ la variable est $nf_0$.
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On va considérer qu'un signal \emph{non périodique} est en fait $T_0$-périodique avec $T_0 \to \infty$.
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$\implies$ $nf_0$ devient une \emph{variable continue} $f \in \mathbb{R}$.
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La formule de DSF précédente devient~:
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\begin{equation*}
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x(t) = \int_{\mathbb{R}} c_n e^{j2\pi ft} \dif ?
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\end{equation*}
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\begin{align*}
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nf_0 = f \implies f_0 \dif n = \dif f \implies \dif n = \frac{1}{f_0} \dif f \\ \\
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\implies \boxed{x(t) = \int_{\mathbb{R}} c_n e^{j2\pi ft} T_0 \dif f} \\
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c_n = \frac{1}{T_0} \int_{\mathbb{R}} x(t) e^{-j2\pi ft} \dif t
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\end{align*}
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D'où~:
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\begin{align*}
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x(t) &= \int_{\mathbb{R}}
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\frac{1}{T_0} \int_{\mathbb{R}} x(t) e^{-j2\pi ft} \dif t \;
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e^{j2\pi ft} T_0 \dif f \\
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\implies
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x(t) &= \int_{\mathbb{R}}
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\int_{\mathbb{R}} x(t) e^{-j2\pi ft} \dif t \;
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e^{j2\pi ft} \dif f \\
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&= \int_{\mathbb{R}}
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X(f)
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e^{j2\pi ft} \dif f \\
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\end{align*}
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\subsubsection{Représentation sectrale~: Densité Spectrale d'Énergie (DSE)}
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Notée $S_x(f) = |X(f)|^2$, c'est l'amplitude portée par chaque fréquence $f \in \mathbb{R}$.
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L'unité est le [J/Hz].
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Notons que $|X(0)|^2 = E$.
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\paragraph{Égalité de Parseval}
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\begin{equation*}
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\int_{\mathbb{R}} |x(t)|^2 \dif t = \int_{\mathbb{R}} S_x(f) \dif f
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\end{equation*}
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\paragraph{Représentation spectrale}
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Symétrie hermitienne~:
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$\overline{x(t)} = x(-t)$
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\begin{itemize}
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\item Dans le cas général~:
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\begin{equation*}
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\overline{x(t)} \xrightarrow{TF} \overline{X(f)}
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\end{equation*}
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\item Si $\overline{x(t)} = x(-t)$~:
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\begin{equation*}
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X(f) = \overline{X(f)}
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\end{equation*}
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\item Si $X(-f) = \overline{X(f)}$
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\begin{equation*}
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S_x(f) = |X(f)|^2 = X(f)X(-f) = S_x(-f)
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\end{equation*}
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\hfill car $|X(f)|^2 = X(f)\overline{X(f)}$
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\end{itemize}
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\subsubsection{Signaux pairs}
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Si $x(t)$ est un signal pair alors~:
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\begin{equation*}
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e^{-j2\pi ft} = \cos(2\pi ft)
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\quad
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\text{et}
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\quad
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X(f) = 2\int_0^{\infty} x(t) \cos(2\pi ft) \dif t
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\end{equation*}
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\subsubsection{Signaux impairs}
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Si $x(t)$ est un signal impair alors~:
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\begin{equation*}
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e^{-j2\pi ft} = -j\sin(2\pi ft)
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\quad
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||||
\text{et}
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\quad
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X(f) = -2j\int_0^{\infty} x(t) \sin(2\pi ft) \dif t
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\end{equation*}
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\subsubsection{Propriétés}
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\begin{itemize}
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\item Linéarité~:
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\begin{equation*}
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\alpha x(t) = \beta y(t) \xrightarrow{TF} \alpha X(f) + \beta Y(f)
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\end{equation*}
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\item Retard~:
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\begin{equation*}
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x_1(t) = x(t - t_0) \xrightarrow{TF} X(f) e^{-j2\pi t_0 f}
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\end{equation*}
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\item Translation fréquentielle (utilisée en modulation)~:
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\begin{equation*}
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x(t)e^{-j2\pi f_0 t} \xrightarrow{TF} X(f - f_0)
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\end{equation*}
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\item Produit de fonctions / produit de convolution~:
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\begin{align*}
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x(t)y(t) &\xrightarrow{TF} (X*Y)(f) \\
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(x*y)(t) &\xrightarrow{TF} X(f)Y(f)
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\end{align*}
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\end{itemize}
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\subsubsection{Transformées de Fourier particulières}
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\paragraph{Impulsion de Dirac $\delta(t)$}
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\begin{align*}
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TF\{\delta(t)\} &= \int_{\mathbb{R}} \delta(t) e^{-j2\pi ft} \dif t \\
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&= \left.e^{-j2\pi ft}\right|_{t=0} \\
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&= 1 \\
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\implies TF\{1\} = \delta{f}
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\end{align*}
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L'impulsion de Dirac est composée de toutes les fréquences dans $\mathbb{R}$.
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Toutes ces fréquences sont d'énergie unitaire.
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\paragraph{Exponentielle complexe}
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\begin{equation*}
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TF\{e^{j2\pi f_0 t}\} = \delta(f - f_0)
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\end{equation*}
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\paragraph{Cosinus}
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\begin{equation*}
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TF\{\cos(2\pi f_0 t)\} = \frac{\delta(f - f_0) + \delta(f + f_0)}{2}
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\end{equation*}
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\paragraph{Sinus}
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\begin{equation*}
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TF\{\sin(2\pi f_0 t)\} = \frac{\delta(f - f_0) - \delta(f + f_0)}{2j}
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\end{equation*}
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Les fonctions sinus et cosinus ont le même spectre.
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\begin{equation*}
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|S(f)|^2 = \frac{1}{4}|\delta(f - f_0) \pm \delta(f + f_0)|^2
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\end{equation*}
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\subsection{Représentation d'un signal dans le domaine fréquentiel}
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\end{document}
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