diff --git a/theorie-signal/main.tex b/theorie-signal/main.tex index 7f0f6a1..3e52bf2 100644 --- a/theorie-signal/main.tex +++ b/theorie-signal/main.tex @@ -296,7 +296,7 @@ \begin{align*} x(t) &= \sum_{n=0}^{+\infty} [a_n\cos(n\omega_0 t) + b_n\sin(n\omega_0 t)] \\ - &= a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} [a_n\cos(n\omega_0 t) + b_n\sin(n\omega_0 t)] + x(t) &= a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} [a_n\cos(n\omega_0 t) + b_n\sin(n\omega_0 t)] \end{align*} \begin{itemize} @@ -323,10 +323,9 @@ À savoir~: $e^{j\theta} = \cos(\theta) + j\sin(\theta)$ \begin{align*} - %TODO: remplace par la bonne formule - x(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{jn\omega_0 t} \\ - x(t) = \sum_{n=-\infty}^{-1} c_n e^{jn\omega_0 t} + c_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} c_n e^{jn\omega_0 t} \\ - x(t) = c_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} [c_n e^{jn\omega_0 t} + c_{-n} e^{-jn\omega_0 t}] \\ + x(t) &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{jn\omega_0 t} \\ + x(t) &= \sum_{n=-\infty}^{-1} c_n e^{jn\omega_0 t} + c_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} c_n e^{jn\omega_0 t} \\ + x(t) &= c_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} [c_n e^{jn\omega_0 t} + c_{-n} e^{-jn\omega_0 t}] \\ \end{align*} \begin{itemize} @@ -365,7 +364,7 @@ S_x(f) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_n|^2 = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_{-n}|^2 = \frac{1}{4} \sum_{n=O}^{+\infty} {\left(\sqrt{a_n^2 + b_n^2}\right)}^2 \end{equation*} - Son unité est le W/Hz. + Son unité est le [W/Hz]. On dit que c'est un spectre de raie. \subsubsection{Propriétés} @@ -390,7 +389,7 @@ \subsubsection{Théorême de Parseval} - % TODO: continue here + Soit $x(t)$ un signal $T_0$-périodique tel que $x(t)$ peut être décomposé en une série de Fourier, alors~: \begin{equation*} \frac{1}{T_0} \int_{(T_0)} |x(t)|^2 \dif t = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_n|^2 = a_0^2 + \frac{1}{4} \sum_{n=1}^{+\infty} (a_n^2 + b_n^2) @@ -406,16 +405,186 @@ La DSF ne s'applique que les signaux périodiques. Pour travailler sur un signal non périodique, il faut passer par la transformée de Fourier. - $x(t) \rightarrow^{TF} X(f)$ + $x(t) \xrightarrow{TF} X(f)$ \begin{equation*} - X(f) = \int_{\mathbb{R}} e^{j2\pi ft} df + X(f) = \int_{\mathbb{R}} x(t) e^{-j2\pi ft} \dif t \end{equation*} \subsubsection{Transformée inverse} + \begin{align*} + x(t) \xrightarrow{TF} X(f) \\ + X(t) \xrightarrow{TF^{-1}} x(f) + \end{align*} + + \begin{equation*} + x(t) = \int_{\mathbb{R}} X(f) e^{j2\pi ft} \dif f + \end{equation*} \subsubsection{Passage de la DSF à la TF} + \begin{equation*} + x(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{jn\omega_0 t} \quad \text{avec } n\omega_0 = 2\pi nf_0 + \end{equation*} + + $\implies$ la variable est $nf_0$. + + On va considérer qu'un signal \emph{non périodique} est en fait $T_0$-périodique avec $T_0 \to \infty$. + + $\implies$ $nf_0$ devient une \emph{variable continue} $f \in \mathbb{R}$. + + La formule de DSF précédente devient~: + + \begin{equation*} + x(t) = \int_{\mathbb{R}} c_n e^{j2\pi ft} \dif ? + \end{equation*} + \begin{align*} + nf_0 = f \implies f_0 \dif n = \dif f \implies \dif n = \frac{1}{f_0} \dif f \\ \\ + \implies \boxed{x(t) = \int_{\mathbb{R}} c_n e^{j2\pi ft} T_0 \dif f} \\ + c_n = \frac{1}{T_0} \int_{\mathbb{R}} x(t) e^{-j2\pi ft} \dif t + \end{align*} + + D'où~: + \begin{align*} + x(t) &= \int_{\mathbb{R}} + \frac{1}{T_0} \int_{\mathbb{R}} x(t) e^{-j2\pi ft} \dif t \; + e^{j2\pi ft} T_0 \dif f \\ + \implies + x(t) &= \int_{\mathbb{R}} + \int_{\mathbb{R}} x(t) e^{-j2\pi ft} \dif t \; + e^{j2\pi ft} \dif f \\ + &= \int_{\mathbb{R}} + X(f) + e^{j2\pi ft} \dif f \\ + \end{align*} + + \subsubsection{Représentation sectrale~: Densité Spectrale d'Énergie (DSE)} + + Notée $S_x(f) = |X(f)|^2$, c'est l'amplitude portée par chaque fréquence $f \in \mathbb{R}$. + + L'unité est le [J/Hz]. + Notons que $|X(0)|^2 = E$. + + \paragraph{Égalité de Parseval} + + \begin{equation*} + \int_{\mathbb{R}} |x(t)|^2 \dif t = \int_{\mathbb{R}} S_x(f) \dif f + \end{equation*} + + \paragraph{Représentation spectrale} + + Symétrie hermitienne~: + $\overline{x(t)} = x(-t)$ + + \begin{itemize} + + \item Dans le cas général~: + \begin{equation*} + \overline{x(t)} \xrightarrow{TF} \overline{X(f)} + \end{equation*} + + \item Si $\overline{x(t)} = x(-t)$~: + \begin{equation*} + X(f) = \overline{X(f)} + \end{equation*} + + \item Si $X(-f) = \overline{X(f)}$ + \begin{equation*} + S_x(f) = |X(f)|^2 = X(f)X(-f) = S_x(-f) + \end{equation*} + \hfill car $|X(f)|^2 = X(f)\overline{X(f)}$ + + \end{itemize} + + \subsubsection{Signaux pairs} + + Si $x(t)$ est un signal pair alors~: + + \begin{equation*} + e^{-j2\pi ft} = \cos(2\pi ft) + \quad + \text{et} + \quad + X(f) = 2\int_0^{\infty} x(t) \cos(2\pi ft) \dif t + \end{equation*} + + \subsubsection{Signaux impairs} + + Si $x(t)$ est un signal impair alors~: + + \begin{equation*} + e^{-j2\pi ft} = -j\sin(2\pi ft) + \quad + \text{et} + \quad + X(f) = -2j\int_0^{\infty} x(t) \sin(2\pi ft) \dif t + \end{equation*} + + \subsubsection{Propriétés} + + \begin{itemize} + + \item Linéarité~: + \begin{equation*} + \alpha x(t) = \beta y(t) \xrightarrow{TF} \alpha X(f) + \beta Y(f) + \end{equation*} + + \item Retard~: + \begin{equation*} + x_1(t) = x(t - t_0) \xrightarrow{TF} X(f) e^{-j2\pi t_0 f} + \end{equation*} + + \item Translation fréquentielle (utilisée en modulation)~: + \begin{equation*} + x(t)e^{-j2\pi f_0 t} \xrightarrow{TF} X(f - f_0) + \end{equation*} + + \item Produit de fonctions / produit de convolution~: + \begin{align*} + x(t)y(t) &\xrightarrow{TF} (X*Y)(f) \\ + (x*y)(t) &\xrightarrow{TF} X(f)Y(f) + \end{align*} + + \end{itemize} + + \subsubsection{Transformées de Fourier particulières} + + \paragraph{Impulsion de Dirac $\delta(t)$} + + \begin{align*} + TF\{\delta(t)\} &= \int_{\mathbb{R}} \delta(t) e^{-j2\pi ft} \dif t \\ + &= \left.e^{-j2\pi ft}\right|_{t=0} \\ + &= 1 \\ + \implies TF\{1\} = \delta{f} + \end{align*} + + L'impulsion de Dirac est composée de toutes les fréquences dans $\mathbb{R}$. + Toutes ces fréquences sont d'énergie unitaire. + + \paragraph{Exponentielle complexe} + + \begin{equation*} + TF\{e^{j2\pi f_0 t}\} = \delta(f - f_0) + \end{equation*} + + \paragraph{Cosinus} + + \begin{equation*} + TF\{\cos(2\pi f_0 t)\} = \frac{\delta(f - f_0) + \delta(f + f_0)}{2} + \end{equation*} + + \paragraph{Sinus} + + \begin{equation*} + TF\{\sin(2\pi f_0 t)\} = \frac{\delta(f - f_0) - \delta(f + f_0)}{2j} + \end{equation*} + + Les fonctions sinus et cosinus ont le même spectre. + + \begin{equation*} + |S(f)|^2 = \frac{1}{4}|\delta(f - f_0) \pm \delta(f + f_0)|^2 + \end{equation*} + \subsection{Représentation d'un signal dans le domaine fréquentiel} \end{document}