159 lines
5.6 KiB
TeX
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\documentclass[a4paper,french,12pt]{article}
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\title{Optimisation et complexité --- Exercices}
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\author{}
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\date{Dernière compilation~: \today{} à \currenttime}
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\usepackage{styles}
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\usepackage{xfrac}
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\usepackage{tikz}
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\usetikzlibrary{shapes.multipart}
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\usetikzlibrary{automata, arrows.meta, positioning}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section{Exercice 1}
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On considère le programme linéaire suivant~:
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\begin{align*}
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\text{Max}Z = 6x_1 + 7x_2 + 8x_3 \\
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\left\{
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\begin{array}{l}
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x_1 + 2x_2 + x_3 \leq 100 \\
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|
3x_1 + 4x_2 + 2x_3 \leq 120 \\
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|
2x_1 + 6x_2 + 4x_3 \leq 20 \\
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|
x_1, x_2, x_3 \geq 0 \\
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\end{array}
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\right.
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\end{align*}
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\begin{enumerate}
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\item Mettre le programme sous la forme standard.
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\begin{align*}
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x_1 + 2x_2 + x_3 + x_4 &= 100 \\
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3x_1 + 4x_2 + 2x_3 + x_5 &= 120 \\
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|
2x_1 + 6x_2 + 4x_3 + x_6 &= 20 \\
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x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 &\geq 0
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\end{align*}
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\item Déterminer la première solution réalisable de base (de départ), en précisant les variables de base hors base, puis tracer le tableau simplexe initial.
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\begin{align*}
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A =
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\begin{pmatrix}
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1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
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3 & 4 & 2 & 0 & 1 & 0 \\
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2 & 6 & 4 & 0 & 0 & 1 \\
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\end{pmatrix}
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\quad
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B =
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\begin{pmatrix}
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100 \\
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120 \\
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20 \\
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\end{pmatrix}
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\quad
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C =
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\begin{pmatrix}
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6 & 7 & 8 & 0 & 0 & 0
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|
\end{pmatrix}
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\end{align*}
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\begin{tabularx}{\linewidth}{|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|}
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\hline
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Max & \multicolumn{2}{|c|}{$C_i$} & 6 & 7 & 8 & 0 & 0 & 0 \\
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\hline
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$C_B$ & B & b & $x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & $x_4$ & $x_5$ & $x_6$ \\
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\hline
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0 & $x_4$ & 100 & 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
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0 & $x_5$ & 120 & 3 & 4 & 2 & 0 & 1 & 0 \\
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|
0 & $x_6$ & 20 & 2 & 6 & 4 & 0 & 0 & 1 \\
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\hline
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|
\multicolumn{2}{|c|}{$Z_i$} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
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\hline
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|
\multicolumn{3}{|c|}{$C_i - Z_i$} & 6 & 7 & 8 & 0 & 0 & 0 \\
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\hline
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\end{tabularx}
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|
\begin{tabularx}{\linewidth}{|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|}
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\hline
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Max & \multicolumn{2}{|c|}{$C_i$} & 6 & 7 & 8 & 0 & 0 & 0 \\
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\hline
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|
$C_B$ & B & b & $x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & $x_4$ & $x_5$ & $x_6$ \\
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\hline
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0 & $x_4$ & 95 & $\sfrac{1}{2}$ & $\sfrac{1}{2}$ & 0 & 1 & 0 & $\sfrac{-1}{4}$ \\
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0 & $x_5$ & 110 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & $\sfrac{-1}{2}$ \\
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|
8 & $x_3$ & 5 & $\sfrac{1}{2}$ & $\sfrac{3}{2}$ & 1 & 0 & 0 & $\sfrac{1}{4}$ \\
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|
\hline
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|
\multicolumn{2}{|c|}{$Z_i$} & 40 & 4 & 12 & 8 & 0 & 0 & 2 \\
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|
\hline
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|
\multicolumn{3}{|c|}{$C_i - Z_i$} & 2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 2 \\
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\hline
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|
\end{tabularx}
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|
\begin{tabularx}{\linewidth}{|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|}
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\hline
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Max & \multicolumn{2}{|c|}{$C_i$} & 6 & 7 & 8 & 0 & 0 & 0 \\
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\hline
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|
$C_B$ & B & b & $x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & $x_4$ & $x_5$ & $x_6$ \\
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\hline
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0 & $x_4$ & 90 & 0 & $\sfrac{1}{4}$ & -1 & 1 & 0 & $\sfrac{-1}{2}$ \\
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0 & $x_5$ & 90 & 0 & -5 & -1 & 0 & 1 & $\sfrac{-3}{4}$ \\
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6 & $x_1$ & 10 & 1 & 3 & 2 & 0 & 0 & $\sfrac{1}{2}$ \\
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\hline
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\multicolumn{2}{|c|}{$Z_i$} & 60 & 6 & 18 & 12 & 0 & 0 & 3 \\
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|
\hline
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|
\multicolumn{3}{|c|}{$C_i - Z_i$} & 0 & -11 & -4 & 0 & 0 & -3 \\
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|
\hline
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\end{tabularx}
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\end{enumerate}
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\section{Exercice 3}
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On considère le programme linéaire suivant~:
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\begin{align*}
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\text{Max}Z = x_1 - x_2 \\
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\left\{
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\begin{array}{l}
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|
2x_1 + x_2 \leq -4 \\
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|
x_1 - x_2 \leq 4 \\
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|
x_1 + x_2 \leq 10 \\
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|
x_1, x_2 \geq 0 \\
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|
\end{array}
|
|
\right.
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\end{align*}
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\begin{itemize}
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\item Résoudre le programme par la méthode du simplexe, et déduire la solution optimale $S_1$.
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\begin{align*}
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\left\{
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\begin{array}{l}
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|
-2x_1 + x_2 + x_3 = 4 \\
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|
x_1 - x_2 + x_4 = 4 \\
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|
x_1 + x_2 + x_5 = 10 \\
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|
x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \geq 0 \\
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|
\end{array}
|
|
\right.
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|
\end{align*}
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|
\begin{tabularx}{\linewidth}{|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|}
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\hline
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Max & \multicolumn{2}{|c|}{$C_i$} & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
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\hline
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$C_B$ & B & b & $x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & $x_4$ & $x_5$ \\
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\hline
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0 & $x_4$ & 4 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
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0 & $x_5$ & 4 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 \\
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0 & $x_6$ & 10 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
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\hline
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|
\multicolumn{2}{|c|}{$Z_i$} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
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\hline
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|
\multicolumn{3}{|c|}{$C_i - Z_i$} & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
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\hline
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\end{tabularx}
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\end{itemize}
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\end{document}
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