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TeX
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\documentclass[a4paper,french,12pt]{article}
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\title{Théorie des graphes --- Exercices}
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\author{}
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\date{Dernière compilation~: \today{} à \currenttime}
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\usepackage{styles}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section{TD1 --- Partie 1}
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\subsection{Exercice 1}
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\paragraph{Graphe simple}
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\begin{tikzpicture}[auto,x=2cm,y=2cm]
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\node(a)[state] at (0,0) {};
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\node(b)[state] at (2,0) {};
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|
\path (a) edge (b);
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\end{tikzpicture}
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\paragraph{Graphe multigraphe}
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\begin{tikzpicture}[auto,x=2cm,y=2cm]
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\node(a)[state] at (0,0) {};
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|
\node(b)[state] at (2,0) {};
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|
\path
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(a) [bend left] edge (b)
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(b) [bend left] edge (a)
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;
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\end{tikzpicture}
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\paragraph{Graphe connexe}
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\begin{tikzpicture}[auto,x=2cm,y=2cm]
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\node(a)[state] at (0,0) {};
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|
\node(b)[state] at (1,1) {};
|
|
\node(c)[state] at (2,0) {};
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|
\path
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|
(a) edge (b)
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|
(b) edge (c)
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(c) edge (a)
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|
;
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|
\end{tikzpicture}
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\paragraph{Graphe non connexe}
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\begin{tikzpicture}[auto,x=2cm,y=2cm]
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\node(a)[state] at (0,0) {};
|
|
\node(b)[state] at (1,1) {};
|
|
\node(c)[state] at (2,0) {};
|
|
\path
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|
(a) edge (b)
|
|
;
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|
\end{tikzpicture}
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\paragraph{Graphe complet}
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\begin{tikzpicture}[auto,x=2cm,y=2cm]
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\node(a)[state] at (0,0) {};
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|
\node(b)[state] at (1,0) {};
|
|
\node(c)[state] at (0,1) {};
|
|
\node(d)[state] at (1,1) {};
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|
\path
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(a) edge (b)
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|
(a) edge (c)
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|
(a) edge (d)
|
|
(b) edge (c)
|
|
(b) edge (d)
|
|
(c) edge (d)
|
|
;
|
|
\end{tikzpicture}
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|
\paragraph{Graphe biparti}
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\begin{tikzpicture}[auto,x=2cm,y=2cm]
|
|
\node(a)[state] at (0,0) {};
|
|
\node(b)[state] at (1,0) {};
|
|
\node(c)[state] at (0,1) {};
|
|
\node(d)[state] at (1,1) {};
|
|
\node(e)[state] at (2,0) {};
|
|
\node(f)[state] at (2,1) {};
|
|
\path
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|
(a) edge (b)
|
|
(a) edge (c)
|
|
(a) edge (d)
|
|
(b) edge (c)
|
|
(b) edge (d)
|
|
(c) edge (d)
|
|
(d) edge (e)
|
|
(d) edge (f)
|
|
(e) edge (f)
|
|
;
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|
\end{tikzpicture}
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\section{TD1 --- Partie 2}
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\subsection{Exercice 1}
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|
Dans le graphe ci-dessous~:
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\includegraphics[width=\linewidth]{./img/td1-ex1.png}
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\begin{enumerate}
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\item Quels sont les successeurs de A, D et E~?
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|
|
A~: B, F \\
|
|
B~: A, C, D, J \\
|
|
E~: D, F
|
|
|
|
\item Quels sont les prédécesseurs de B, C et F~?
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|
|
|
B~: A, C, D \\
|
|
C~: B, D \\
|
|
F~: A, E
|
|
|
|
\item Est-ce qu'il y a des points qui n'ont pas de prédécesseur, ni successeur~?
|
|
Lesquels~?
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|
|
|
G
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|
|
|
\item Quelle est l'extrémité initiale de l'arc $(A,B)$~?
|
|
|
|
A
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|
|
\item Quelle est l'extrémité terminale de l'arc $(B,C)$~?
|
|
|
|
C
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|
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|
\item Est-ce qu'il y a des points qui ont à la fois l'extrémité initiale et terminale~?
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|
Lesquels~?
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|
|
|
A, B, C, D, E, F
|
|
|
|
\item Chercher l'ensemble des successeurs directs $\Gamma^{+1}(x)$ des sommets.
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|
\begin{align*}
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|
\Gamma^{+1}(A) &= \{B, F\} \\
|
|
\Gamma^{+1}(B) &= \{A, C, D, J\} \\
|
|
\Gamma^{+1}(C) &= \{B, E\} \\
|
|
\Gamma^{+1}(D) &= \{B, C, E\} \\
|
|
\Gamma^{+1}(E) &= \{A, D, F\} \\
|
|
\Gamma^{+1}(F) &= \{A\} \\
|
|
\Gamma^{+1}(G) &= \emptyset \\
|
|
\Gamma^{+1}(J) &= \emptyset
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\item Chercher l'ensemble des prédécesseurs directs $\Gamma^{-1}(x)$ des sommets.
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|
\begin{align*}
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|
\Gamma^{-1}(A) &= \{B, E, F\} \\
|
|
\Gamma^{-1}(B) &= \{A, C, D\} \\
|
|
\Gamma^{-1}(C) &= \{B, D\} \\
|
|
\Gamma^{-1}(D) &= \{B, E\} \\
|
|
\Gamma^{-1}(E) &= \{D\} \\
|
|
\Gamma^{-1}(F) &= \{A, E\} \\
|
|
\Gamma^{-1}(G) &= \emptyset \\
|
|
\Gamma^{-1}(J) &= \{B\}
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\item Chercher l'ensemble des successeurs indirects $\Gamma^{+2}(x)$ des sommets.
|
|
\begin{align*}
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|
\Gamma^{+2}(A) &= \{A, C, D, J\} \\
|
|
\Gamma^{+2}(B) &= \{B, C, E, F\} \\
|
|
\Gamma^{+2}(C) &= \{A, C, D, F, J\} \\
|
|
\Gamma^{+2}(D) &= \{A, B, C, D, E, F, J\} \\
|
|
\Gamma^{+2}(E) &= \{A, B, C, E, F\} \\
|
|
\Gamma^{+2}(F) &= \{B, F\} \\
|
|
\Gamma^{+2}(G) &= \emptyset \\
|
|
\Gamma^{+2}(J) &= \emptyset
|
|
\end{align*}
|
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|
|
\end{enumerate}
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|
\subsection{Exercice 2}
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\includegraphics[width=\linewidth]{./img/td1-ex2.png}
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|
\begin{enumerate}
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|
\item Quels sont les successeurs de B, D, E et F~?
|
|
|
|
B~: C, D \\
|
|
D~: A, B, E \\
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|
E~: G \\
|
|
F~: A, F
|
|
|
|
\item Quels sont les prédécesseurs de A, C, D et G~?
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|
|
|
A~: C, D, F \\
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|
C~: B \\
|
|
D~: B, C \\
|
|
G~: E, G
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|
\item Quels points n'ont ni prédécesseur ni successeur~?
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|
|
Non.
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|
\item Quelle est l'extrémité initiale de l'arc $(D,E)$~?
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|
D
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|
\item Quelle est l'extrémité terminale de l'arc $(C,D)$~?
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|
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|
D
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|
\item Quels points ont à la fois l'extrémité initiale et terminale~?
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|
|
Tous.
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\item Chercher l'ensemble des successeurs directs des sommets~:
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\begin{align*}
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\Gamma^{+1}(A) &= \{B\} \\
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|
\Gamma^{+1}(B) &= \{C,D\} \\
|
|
\Gamma^{+1}(C) &= \{A,D\} \\
|
|
\Gamma^{+1}(D) &= \{A,B,E\} \\
|
|
\Gamma^{+1}(E) &= \{G\} \\
|
|
\Gamma^{+1}(F) &= \{A,F\} \\
|
|
\Gamma^{+1}(G) &= \{G\}
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\item Chercher l'ensemble des prédécesseurs directs des sommets~:
|
|
\begin{align*}
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|
\Gamma^{-1}(A) &= \{C,D,F\} \\
|
|
\Gamma^{-1}(B) &= \{A,D\} \\
|
|
\Gamma^{-1}(C) &= \{B\} \\
|
|
\Gamma^{-1}(D) &= \{B,C\} \\
|
|
\Gamma^{-1}(E) &= \{D\} \\
|
|
\Gamma^{-1}(F) &= \{F\} \\
|
|
\Gamma^{-1}(G) &= \{G\}
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\item Chercher l'ensemble des successeurs indirects $\Gamma^{+2}(x)$ des sommets~:
|
|
\begin{align*}
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|
\Gamma^{+2}(A) &= \{C,D\} \\
|
|
\Gamma^{+2}(B) &= \{A,B,D,E\} \\
|
|
\Gamma^{+2}(C) &= \{A,B,E\} \\
|
|
\Gamma^{+2}(D) &= \{B,C,D,G\} \\
|
|
\Gamma^{+2}(E) &= \{G\} \\
|
|
\Gamma^{+2}(F) &= \{B,F\} \\
|
|
\Gamma^{+2}(G) &= \{G\}
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\item Chercher l'ensemble des successeurs indirects $\Gamma^{+3}(x)$ des sommets~:
|
|
\begin{align*}
|
|
\Gamma^{+2}(A) &= \{A,B,D,E\} \\
|
|
\Gamma^{+2}(B) &= \{A,B,C,D,E,G\} \\
|
|
\Gamma^{+2}(C) &= \{B,C,D,G\} \\
|
|
\Gamma^{+2}(D) &= \{A,B,C,D,E,G\} \\
|
|
\Gamma^{+2}(E) &= \{G\} \\
|
|
\Gamma^{+2}(F) &= \{A,C,D,F\} \\
|
|
\Gamma^{+2}(G) &= \{G\}
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\end{enumerate}
|
|
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|
\end{document}
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