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\documentclass[a4paper,french,12pt]{article}
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\title{Analyse}
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\author{Alain OSTER --- \href{mailto:alain.oster@intervenants.efrei.fr}{\nolinkurl{alain.oster@intervenants.efrei.fr}}}
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\date{Dernière compilation~: \today{} à \currenttime}
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\usepackage{../cours}
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\begin{document}
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\maketitle
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\tableofcontents
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\clearpage
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\section{Rappel sur les dérivées}
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\subsection{Définition}
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Soit une fonction $f$ définie au voisinage d'un réel $a$.
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On dit que $f$ est dérivable en $a$ s'il existe un réel $l$ (appelé nombre dérivé de $f$ en $a$), tel que l'on ait une des deux propriétés suivantes~:
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = l$
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\item $\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = l$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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Alors $f'(a) = l$.
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\subsection{Interprétation graphique}
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\begin{multicols}{2}
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\includegraphics[width=0.4\textwidth]{./img/rappel-deriv-int-graph.png}
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Au point $A = (a, y_a = f(a))$, la droite $\Delta$ est la tangente de $f(x)$ en $A$.
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\begin{displaymath}
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\Delta : y = px + m
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\end{displaymath}
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La dérivée donne la pente de la droite $\Delta$.
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\begin{displaymath}
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p = f'(a)
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\end{displaymath}
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\end{multicols}
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Ainsi~:
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\begin{itemize}
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\item si $f'(a) < 0$ alors $f$ est décroissante
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\item si $f'(a) > 0$ alors $f$ est croissante
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\item si $f'(a) = 0$ alors $f$ passe par un extremum (max, min, ou point d'inflexion)
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\end{itemize}
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\subsection{Dérivées usuelles}
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\begin{tabularx}{\linewidth}{YYY}
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\toprule
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Fonction & Dérivée & Dérivabilité \\
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\toprule
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$x^n$ avec $n\in\mathbb{Z}$ & $nx^{n-1}$ & $\mathbb{R}^*$ \\
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\midrule
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$x^\alpha$ avec $\alpha\in\mathbb{R}$ & $\alpha x^{\alpha - 1}$ & $\mathbb{R}_+^*$ \\
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\midrule
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$\sqrt{x}$ & $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ & $\mathbb{R}^*$ \\
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\midrule
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$e^{\alpha x}$ avec $\alpha\in\mathbb{C}$ & $\alpha e^{\alpha x}$ & $\mathbb{R}$ \\
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\midrule
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$a^x$ avec $a\in\mathbb{R}_+^*$ & $a^x \ln{a}$ & $\mathbb{R}$ \\
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\midrule
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$\ln{|x|}$ & $\frac{1}{x}$ & $\mathbb{R}^*$ \\
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\midrule
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$\cos{x}$ & $-\sin{x}$ & $\mathbb{R}$ \\
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\midrule
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|
$\sin{x}$ & $\cos{x}$ & $\mathbb{R}$ \\
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\midrule
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$\tan{x}$ & $1 + \tan^2{x} = \frac{1}{\cos^2{x}}$ & $\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2} + k \pi\middle|k\in\mathbb{Z}\right\}$ \\
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\midrule
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$\cot{x}$ & $-1 - \cot^2{x} = \frac{-1}{\sin^2{x}}$ & $\mathbb{R}\setminus\pi\mathbb{Z}$ \\
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\midrule
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$\arcsin{x}$ & $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ & $]-1; 1[$ \\
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\midrule
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$\arccos{x}$ & $\frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}$ & $]-1; 1[$ \\
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|
\midrule
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|
$\arctan{x}$ & $\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$ & $\mathbb{R}$ \\
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|
\bottomrule
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\end{tabularx}
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\subsection{Propriétés}
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Soit $a$ un réel et $u$, $v$, $f$ des fonctions dérivables.
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\begin{tabularx}{\linewidth}{lXl}
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\toprule
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\multirow{2}{*}{\textbf{Linéarité}} & \textcolor{red}{$(u + v)' = u' + v'$} & \\
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& \textcolor{red}{$(au)' = au'$} & \\
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\midrule
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\textbf{Produit} & \textcolor{red}{$(uv)' = u'v + uv'$} & \\
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\midrule
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\textbf{Inverse} & \makecell{\textcolor{red}{$\left(\frac{1}{v}\right)' = - \frac{v'}{v^2}$} \\ pour $v \neq 0$} & (équivaut à $(v^{-1})'$ avec la formule usuelle) \\
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\midrule
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\textbf{Quotient} & \makecell{\textcolor{red}{$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$} \\ pour $v \neq 0$} & (on retrouve l'inverse pour $u = 1$) \\
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\midrule
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\textbf{Composée} & \textcolor{red}{$(f(u))' = u'f'(u)$} & \makecell{(si $u$ était une constante, la dérivée serait nulle) \\ ($f'(u) = \frac{df}{du}$ est la dérivée de $f$ par rapport à $u$)} \\
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\midrule
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\textbf{Réciproque} & \multicolumn{2}{l}{\textcolor{red}{$(f^{-1})' = \frac{1}{f' \text{ à } f^{-1}}$} ou bien \textcolor{red}{$f^{-1}(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$}} \\
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\bottomrule
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\end{tabularx}
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\subsubsection{Exemples pour la composée}
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$f(x) = {(3x + 5)}^4$
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\begin{align*}
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f'(x) &= (3x + 5)' \cdot 4{(3x + 5)}^3 & u &= 3x + 5 \\
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&= 3 \cdot 4{(3x + 5)}^3 & u' &= 3 \\
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&= 12{(3x + 5)}^3 & (u^4)' &= 4u^3 \\
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\end{align*}
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$f(x) = \cos(5x + 7)$
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\begin{align*}
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f'(x) &= (5x + 7) \cdot (-\sin(5x + 7)) & u &= 5x + 7 \\
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&= -5\sin(5x + 7) & u' &= 5 \\
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& & \cos(u)' &= -\sin(u) \\
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\end{align*}
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\section{Techniques d'intégration}
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\subsection{Primitives}
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Si $f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$, $F(x)$ est une primitive de $f(x)$ si et seulement si $F$ est dérivable sur $I$ et $F'(x) = f(x)$.
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Avec $F(x)$ une primitive de $f(x)$ sur un intervalle $I$, $G(x)$ une primitive de $g(x)$ sur un intervalle $J$, et $k$ un nombre réel~:
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\begin{itemize}
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\item $F(x) + G(x)$ est une primitive de $f(x) + g(x)$ sur $I \cap J$
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\item $kF(x)$ est une primitive de $kf(x)$ sur $I$
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\end{itemize}
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\subsubsection{Primitives usuelles}
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\begin{tabularx}{\linewidth}{YYY}
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\toprule
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Fonction & Primitive & Intervalle \\
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\toprule
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$a$ ($a$ est une constante) & $ax + C$ & $\mathbb{R}$ \\
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\midrule
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$x$ & $\frac{1}{2}x^2 + C$ & $\mathbb{R}$ \\
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\midrule
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$x^n$ ($n\in\mathbb{N}^*$) & $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ & $\mathbb{R}$ \\
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\midrule
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|
$x^k$ ($k\in\mathbb{Z}$ et $k \neq -1$) & $\frac{x^{k+1}}{k+1} + C$ & $]{-\infty}; 0[$ ou $]0;+\infty[$ \\
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\midrule
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|
$x^a$ ($a\in\mathbb{R}$ et $k \neq -1$) & $\frac{x^{a+1}}{a+1} + C$ & $]0;+\infty[$ \\
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\midrule
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|
$\frac{1}{x^2}$ ($=x^{-2}$) & $-\frac{1}{x} + C$ ($=\frac{x^{-1}}{-1} + C$) & $]{-\infty}; 0[$ ou $]0;+\infty[$ \\
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\midrule
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|
$\frac{1}{\sqrt{x}}$ ($=x^{-\frac{1}{2}}$) & $2\sqrt{x} + C$ ($=\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C$) & $]0;+\infty[$ \\
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\midrule
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|
$\frac{1}{x}$ & $\ln{x} + C$ & $]0;+\infty[$ \\
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\midrule
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$e^x$ & $e^x + C$ & $\mathbb{R}$ \\
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\midrule
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|
$\cos{x}$ & $\sin{x} + C$ & $\mathbb{R}$ \\
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\midrule
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|
$\sin{x}$ & $-\cos{x} + C$ & $\mathbb{R}$ \\
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|
\midrule
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|
$\frac{1}{1 + x^2}$ & $\arctan{x} + C$ & $\mathbb{R}$ \\
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|
\bottomrule
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\end{tabularx}
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\subsubsection{Primitives de fonctions composées\label{subsubsec:primitives-composees}}
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\begin{tabularx}{\linewidth}{YY}
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\toprule
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Fonction & Primitive \\
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\toprule
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$u'u^n$ ($n\in\mathbb{N}$) & $\frac{u^{n+1}}{n+1} + C$ \\
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\midrule
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$u'u^a$ ($a\in\mathbb{R}$, $a \neq -1$) & $\frac{u^{a+1}}{a+1} + C$ \\
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\midrule
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|
$\frac{u'}{u^2}$ & $\frac{u^{-1}}{-1} + C$ \\
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\midrule
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$\frac{u'}{\sqrt{u}}$ & $2\sqrt{u} + C$ \\
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\midrule
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$u'\cos{u}$ & $\sin{u} + C$ \\
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\midrule
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|
$u'\sin{u}$ & $-\cos{u} + C$ \\
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\midrule
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$\frac{u'}{u}$ & $\ln{|u|} + C$ \\
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\midrule
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|
$u'e^u$ & $e^u + C$ \\
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\midrule
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|
$\frac{u'}{1 + u^2}$ & $\arctan{u} + C$ \\
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\bottomrule
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\end{tabularx}
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\subsection{Intégrales}
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Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et $a$ et $b$ sont deux réels de $I$, l'intégrale de $a$ à $b$ de la fonction $f$ se note $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$.
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On a alors \textcolor{red}{$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$}.
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\subsubsection{Intégration par identification}
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Il s'agit d'essayer de reconnaître une des formes de primitives composées (voir~\ref{subsubsec:primitives-composees}), pour éviter de calculer des expressions complexes à la main.
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\subsubsection{Intégration par parties}
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\paragraph{Formule}
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Si $u$ et $v$ sont dérivables sur $I$ et $u'$ et $v'$ sont continues sur $I$, alors pour tous réels $a$ et $b$ de $I$~:
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\begin{equation*}
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\textcolor{red}{\int_a^b uv'\,\mathrm{d}x = [uv]_a^b - \int_a^b u'v\,\mathrm{d}x}
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\end{equation*}
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\paragraph{Mnémotechnique}
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Il s'agit donc de trouver quelle expression attribuer à $u$ et quelle expression attribuer à $v'$.
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Un moyen mnémotechnique est~:
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\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
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\multirow{6}{*}{dérivation} & ALPES & \multirow{6}{*}{intégration} \\
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& A~: $\arctan$ & \\
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& L~: $\ln$ & \\
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& P~: polynômes & \\
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& E~: $e$ & \\
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& S~: $\sin \text{ et } \cos$ & \\
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\end{tabularx}
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\section{Equations différentielles}
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\section{Intégrales généralisées}
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\section{Séries de Fourier}
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\end{document}
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