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TeX
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\documentclass[a4paper,french]{article}
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\title{Mathématiques pour l'informatique}
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\author{}
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\date{Dernière compilation~: \today{} à \currenttime}
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\usepackage{../cours}
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\begin{document}
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\maketitle
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\tableofcontents
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\clearpage
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\section{Automates finis}
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Automate = fonction qui dépend d'un état et d'un changement d'état.
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Par exemple ON / OFF, la machine est en état d'arrêt ou en état de marche.
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Autre exemple~: téléphone.
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\begin{tabular}{l|ll}
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\toprule
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Mode & Évènement & Nouvel état \\
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\midrule
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avion & appel émis & avion \\
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avion & bouton téléphonie & téléphonie \\
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\midrule
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téléphonie & bouton décrocher & communication \\
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\midrule
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communication & bouton raccrocher & téléphonie \\
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\bottomrule
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\end{tabular}
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L'automate est sous un état, il a des entrées qui le font peut-être passer d'un état à un autre ou effectuer des actions.
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Il faut en plus de cela définir un état initial (quel état avoir quand l'automate est mis en marche~?) et final (quel état avoir pour éteindre l'automate proprement~?)
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Un nouvel état peut dépendre de l'état précédent ou pas.
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On peut très bien trouver une action qui mette l'automate dans un état Y sans se soucier d'un autre état X dans lequel se trouve l'automate à un moment donné.
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\subsection{Automates accepteurs}
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Valide une suite d'entrée en fonction de certains critères.
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Le changement d'état est interne à l'automate, et c'est une fois que toutes les entrées ont été analysées que la sortie se fait connaître.
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Exemple~: déterminer si une suite de chiffres en entrée constitue un mois de l'année.
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\subsection{Définitions}
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\begin{itemize}
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\item \textbf{Alphabet}~:
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Ensemble des éléments en entrée de l'automate.
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\item \textbf{Mot}~:
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Suite d'éléments issus de l'alphabet.
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Cas particulier~: le mot vide, noté $\epsilon$.
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On a du coup $x = x\epsilon = \epsilon x$.
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\item \textbf{Langage}~:
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Ensemble de tous les mots pouvants être construits sur un alphabet donné.
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On note $A^*$ tous les mots y compris le mot vide.
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On note $A^+$ tous les mots sauf le mot vide.
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On appelle \emph{langage reconnu} l'ensemble des mots que l'automate a validé.
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\end{itemize}
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\subsection{Reconnaissance de mot}
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\begin{itemize}
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\item Principe
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\item ...
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\end{itemize}
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\subsection{Automate déterministe}
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À un état donné, il n'y a qu'une seule transition possible.
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\subsubsection{Automate complet}
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Pour tout état, il y a toujours une transition sortante pour chaque symbole de l'alphabet.
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Cela veut dire qu'à tout état il y a toujours une action à faire pour tout symbole reçu.
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Un automate complet est forcément également déterministe.
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\subsubsection{Rendre un automate complet}
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On crée un état ``poubelle'' qui va accueillir les transitions manquantes sur chaque état.
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\subsection{Automate non déterministe}
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À un état donné, il y a plusieurs transitions possibles.
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Un automate non déterministe est plus difficile à mettre en \oe{}uvre en algorithmique qu'un automate déterministe.
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En effet, il faudra en plus des pointeurs d'état et de symbole courant maintenir une pile des opérations possibles.
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\subsection{Accessibilité}
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\begin{itemize}
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\item Un automate accessible ne contient que des états qui peuvent être atteints.
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\item Un automate coaccessible ne contient que des états pouvant mener à un état terminal.
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\item Un automate émondé est à la fois accessible et coaccessible.
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\end{itemize}
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\subsection{Automate standard}
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Un automate standard ne contient qu'un seul état initial.
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Aucune transition n'arrive sur cet état initial.
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\subsection{Déterminisation d'un automate}
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Pour passer d'un automate non déterministe vers un automate déterministe, on va dérouler toutes les étapes de l'automate de départ en partant des états initiaux.
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S'il y a plusieurs états initiaux, on crée un nouvel état initial qu'on note comme l'ensemble des états initiaux de l'automate de départ.
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Ensuite, pour chaque transition possible on recopie les transitions en partant du nouvel état courant vers un ensemble d'états de l'automate de départ.
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Cela nous fait créer de nouveaux états, qu'on utilise comme état courant pour trouver les nouveaux états qu'on peut rejoindre.
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\begin{enumerate}
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\item Création de l'état initial~: ensemble de tous les états initiaux de l'automate non déterministe de départ.
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\item Repérage des lignes dans le tableau de transitions concernant les états initiaux déterminés précédemment.
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\item Pour chaque transition de chacune de ces lignes, identification des états cibles, et renseignement des ensembles d'états cibles dans le nouveau tableau de transitions.
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\item Retour à l'étape de repérage des états déterminés précédemment.
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\item Identification des ensembles contenant au moins un état terminal dans l'automate de départ.
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\end{enumerate}
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\end{document}
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