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\documentclass[a4paper,french,12pt]{article}
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\title{Communications Numériques}
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\author{}
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\date{Dernière compilation~: \today{} à \currenttime}
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\usepackage{styles}
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\usepackage{tikz}
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\usetikzlibrary{shapes}
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\usepackage{circuitikz}
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\DeclareFontFamily{U}{wncy}{}
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\DeclareFontShape{U}{wncy}{m}{n}{<->wncyr10}{}
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\DeclareSymbolFont{mcy}{U}{wncy}{m}{n}
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\DeclareMathSymbol{\Sh}{\mathord}{mcy}{"58}
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\begin{document}
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\maketitle
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\tableofcontents
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\clearpage
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\section{Introduction}
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\subsection{Transmission synchrone / asynchrone}
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\subsubsection{Transmission synchrone}
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À la réception, l'horloge regénérée définit la cadence.
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Les transitions de l'horloge coïncident avec celle des données constituées d'un flux ininterrompu de bits.
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[scale=1, transform shape]
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\foreach \i in {1,2,3,4,6,7,8,9}{\draw [dashed] (\i,-2.7) -- (\i,0.7);}
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\foreach \i in {0,5,10}{\draw [dashed,very thick] (\i,-3) -- (\i,0.7);}
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\node at (-1.5,0) {\parbox{2cm}{\centering Horloge regénérée}};
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\draw [-latex] (0,0) -- (11,0);
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\node at (-1.5,-2) {\parbox{2cm}{\centering Données synchrones}};
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\draw [-latex] (0,-2) -- (11,-2);
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\foreach \i in {0,1,...,9}{
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\draw [red,very thick] (\i,0.5) -- (\i+0.5,0.5) -- (\i+0.5,0) -- (\i+1,0) -- (\i+1,0.5);
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}
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\draw [red,very thick]
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(0,-2) -- (1,-2) --
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(1,-1.5) -- (3,-1.5) --
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(3,-2) -- (4,-2) --
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(4,-1.5) -- (5,-1.5) --
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(5,-2) -- (7,-2) --
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(7,-1.5) -- (10,-1.5) -- (10,-2)
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;
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\foreach \i in {0,3,5,6}{\node at (\i+0.5,-2.4) {0};}
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\foreach \i in {1,2,4,7,8,9}{\node at (\i+0.5,-2.4) {1};}
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\node at (2.5,-3) {1\up{er} caractère};
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\node at (7.5,-3) {2\up{ème} caractère};
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\subsubsection{Transmission asynchrone}
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À la réception, l'arrivée des données \emph{démarre} l'horloge.
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La transition initiale d'un paquet de données de longueur déterminée définit la transition initiale de l'horloge.
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À la fin du paquet de données, cette horloge s'interrompt.
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[scale=1, transform shape]
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\node (d) at (-1.5,0.5) {Données};
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\draw (0,1) -- (2,1) -- (2,0) node[currarrow,pos=0.5,sloped] {}
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-- (4,0) -- (4,1) -- (5,1) -- (5,0) -- (6,0) -- (6,1) -- (8,1)
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;
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\draw [dashed] (8,1) -- (9,1);
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\draw (9,1) -- (10,1) -- (10,0) node[currarrow,pos=0.5,sloped] {} -- (11,0);
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\node (h) at (-1.5,-1.25) {Horloge};
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\draw (0,-1.5) -- (2,-1.5) -- (2,-1) node[currarrow,pos=0.5,sloped] {};
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\foreach \i in {2,3,...,6}{
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\draw (\i,-1) -- (\i+0.5,-1) -- (\i+0.5,-1.5) -- (\i+1,-1.5);
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}
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\foreach \i in {3,4,5,6}{
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\draw (\i,-1.5) -- (\i,-1);
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}
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\draw (7,-1.5) -- (8,-1.5);
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\draw [dashed] (8,-1.5) -- (9,-1.5);
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\draw (9,-1.5) -- (10,-1.5) -- (10,-1) node[currarrow,pos=0.5,sloped] {};
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\foreach \i in {10,11}{
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\draw (\i,-1) -- (\i+0.5,-1) -- (\i+0.5,-1.5) -- (\i+1,-1.5);
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|
}
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\draw (11,-1.5) -- (11,-1);
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|
\path
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(1.8,0.5) edge [->,>=latex,bend right] (1.8,-1.25)
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|
(9.8,0.5) edge [->,>=latex,bend right] (9.8,-1.25)
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;
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|
\end{tikzpicture}
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\end{center}
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Pour ``réveiller'' le récepteur, l'émetteur émet une trame de \emph{wake up}.
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En effet, le récepteur, pour économiser des resources, écoute de temps en temps.
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À la réception d'une trame de \emph{wake up}, elle doit se mettre en place, ce qui peut prendre du temps.
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Elle reçoit donc une trame \emph{sync word}, après laquelle elle s'attend à recevoir le premier bit de charge utile (\emph{payload}).
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Même à fréquence identique, l'horloge d'émission (période de $T$) et l'horloge à la réception (période de $T + \Delta T$) ne sont jamais complètement identiques.
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Ce décalage s'accumule au fil du temps, ce qui est gênant.
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Quand on échantillonne les bits reçus, on va avoir deux cas~:
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\begin{enumerate}
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\item $\Delta T > 0$~: on va perdre des bits à l'échantillonnage.
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\item $\Delta T < 0$~: on va échantillonner plusieurs fois le même bit.
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\end{enumerate}
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Si on envoie peu de bits (8 bits $< \Delta T$), ce problème est négligeable.
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Il faut donc synchroniser les horloges tous les 8 bits.
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\section{Structure générale d'une chaîne de transmission numérique}
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\subsection{Système de transmission en bande de base (\emph{base band})}
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Le signal est directement transmis sur le canal de transmission.
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% TODO: add schéma de système de transmission de bande de base
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[scale=0.8, transform shape]
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\node [ellipse,draw] (source) at (0,0) {Source};
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\node [rectangle,draw] (c) at (3,0) [label=below:Chiffrement] {C};
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\node [rectangle,draw] (r) at (6,0) [label=below:Compression] {R};
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\node [rectangle,draw] (e) at (9,0) [label=below:\parbox{2cm}{\centering Encodage\\Détecteur\\Correcteur\\d'erreurs}] {E};
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\node [rectangle,draw] (b) at (12,0) [label=below:Embrouillage] {B};
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\node [rectangle,draw] (v) at (15,0) [label=right:Codage numérique] {V};
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\node [diamond,draw] (canal) at (15,-3) {canal};
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\node [rectangle,draw] (v1) at (15,-6) [label=right:Décodage numérique] {V--1};
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\node [rectangle,draw] (b1) at (12,-6) [label=below:Désembrouillage] {B--1};
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\node [rectangle,draw] (e1) at (9,-6) {E--1};
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\node [rectangle,draw] (r1) at (6,-6) [label=below:Décompression] {R--1};
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\node [rectangle,draw] (c1) at (3,-6) [label=below:Déchiffrement] {C--1};
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\node [ellipse,draw] (utilisation) at (-1,-6) {Utilisation};
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\draw [-latex] (source) -- (c) node[above, midway]{$\{sk\}$};
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\draw [-latex] (c) -- (r) node[above, midway]{$\{dk\}$};
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\draw [-latex] (r) -- (e) node[above, midway]{$\{ck\}$};
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\draw [-latex] (e) -- (b) node[above, midway]{$\{bk\}$};
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\draw [-latex] (b) -- (v) node[above, midway]{$\{\alpha k\}$};
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\draw [-latex] (v) -- (canal) node[right, midway]{$e(t)$};
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\draw [-latex] (canal) -- (v1) node[right, midway]{$r(t)$};
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\draw [-latex] (v1) -- (b1) node[above, midway]{\{$\alpha k_e$\}};
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\draw [-latex] (b1) -- (e1) node[above, midway]{$\{bk_e\}$};
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\draw [-latex] (e1) -- (r1) node[above, midway]{$\{ck_e\}$};
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\draw [-latex] (r1) -- (c1) node[above, midway]{$\{dk_e\}$};
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\draw [-latex] (c1) -- (utilisation) node[above, midway]{$\{sk_e\}$};
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\subsection{Système de transmission en bande transposée (\emph{broad band})}
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\subsection{Intérêt de la transmission numérique}
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Le passage du signal dans un canal qui est déformant (filtrage) et bruyant est un problème de la transmission analogique.
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\begin{equation*}
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r(t) = (e(t) + n(t)) * h(t)
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\end{equation*}
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\begin{itemize}
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\item $n(t)$ est le bruit blanc gaussien.
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\item $h(t)$ est la réponse impulsionnelle du filtre caractérisant le canal de transmission.
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\end{itemize}
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En général, il est impossible de retrouver $e(t)$ à partir de $r(t)$.
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Il faut que $e(t)$ possède des propriétés particulières connues et invariantes dans le temps pour espérer estimer $e(t)$ à partir de $r(t)$.
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Un signal numérique possède ces propriétés~: seulement deux valeurs possibles et des changements de valeurs tous les $nT$.
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Il est alors beaucoup plus simple de regénérer le signal émis d'après le signal reçu.
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\paragraph{Méthode d'estimation}
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\begin{enumerate}
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\item repérer les transitions du signal
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\item à partir de ces transitions, regénérer un signal d'horloge
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\item grâce à cette horloge, venir échantillonner à un instant choisi la valeur du signal
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\item % TODO: finish
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\end{enumerate}
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\subsection{Définitions}
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\paragraph{Débit brut (rate)~: $D$}
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\begin{itemize}
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\item nombre de symboles émis pendant l'unité de temps
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\item coïncide avec la fréquence d'horloge
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\item si les symboles sont binaires, on parle de \emph{débit binaire brut} (bit rate) et l'unité est le bit/s
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\end{itemize}
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\paragraph{Débit moyen ou statistique ou entropique (average, statistic, or entropic rate)}
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\begin{equation*}
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H_m = \sum p_i \log_m\left(\frac{1}{p_i}\right)
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\end{equation*}
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\paragraph{Rapidité de modulation (baud rate)~: $R$}
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C'est l'inverse du temps entre deux transitions du signal qui circule sur la ligne de transmission.
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\begin{itemize}
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\item transition de niveau (bande de base)
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\item transition d'amplitude, de fréquence ou de phase (bande transposée)
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\item l'unité est le BAUD
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\end{itemize}
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\paragraph{Valence}
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\begin{itemize}
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\item nombre $V$ (parfois $M$) d'états significatifs du signal numérique
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\item états~:
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\begin{itemize}
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\item valeur constante (bande de base)
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\item amplitude, fréquence, ou phase (bande transposée)
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\end{itemize}
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\item cas où le signal numérique a des caractéristiques constantes durant toute le durée de l'état (même valeur, même amplitude, fréquence, ou phase)
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\end{itemize}
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\begin{equation*}
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R = \frac{D}{\log_2(V)}
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\end{equation*}
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\paragraph{Polarité (polarity)}
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\begin{itemize}
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\item définition pour les signaux numériques non modulés
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\item signal unipolaire~: toutes les valeurs sont soit positives ou nulles, soit négatives ou nulles
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\item signal antipolaire~: valeurs symétriques deux à deux par rapport à 0, mais sans la valeur 0
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\item % TODO: finish
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\end{itemize}
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\section{Expressions temporelles et spectrales}
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\subsection{Expression spectrale}
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\paragraph{Formule de Bennett}
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\begin{equation*}
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S_{xx}(f) = S_{gg}(f) \left[\frac{\sigma_a^2}{T} + \frac{\overline{a}^2}{T^2} \;\Sh\left(\frac{f}{1/T}\right) \right]
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\end{equation*}
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\paragraph{Propriétés requises}
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\begin{enumerate}
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\item Le spectre ne doit pas avoir de composante continue.
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\item Le spectre doit être décroissant et tendre vers 0 aux basses fréquences.
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\item Le spectre doit avoir un support le plus étroit possible.
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\item Le spectre doit comprendre des raies à la fréquence d'horloge et à ses multiples.
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\item le rythme d'horloge doit pouvoir être conservé à court terme.
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\item Le spectre instantané doit être proche du spectre théorique.
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\item Le signal doit posséder une redondance de manière à pouvoir tester sa vraisemblance.
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\end{enumerate}
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\end{document}
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