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\documentclass[a4paper,french,12pt]{article}
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\title{Théorie du signal}
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\author{}
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\date{Dernière compilation~: \today{} à \currenttime}
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\usepackage{styles}
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\usepackage{tikz}
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\usetikzlibrary{shapes.multipart}
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\DeclareFontFamily{U}{wncy}{}
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\DeclareFontShape{U}{wncy}{m}{n}{<->wncyr10}{}
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\DeclareSymbolFont{mcy}{U}{wncy}{m}{n}
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\DeclareMathSymbol{\Sh}{\mathord}{mcy}{"58}
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\begin{document}
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\maketitle
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\tableofcontents
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\clearpage
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\section{Présentation}
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Un signal est la représentation d'une information ou d'un message.
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Dans ce cours, tous les signaux seront \emph{déterministes}~: ils peuvent être représentés par une fonction mathématique.
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Si la fréquence d'un signal est nulle, la fonction associée vaudra une constante.
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La variation du signal en fonction du temps est donc dûe à la fréquence.
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$f = 0 \implies$ fonction constante.
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Pour rendre exploitable un signal, on applique des opérations (\emph{traitement du signal})~:
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\begin{itemize}
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\item Amplification
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\item Filtrage
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\item Modulation
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\item Numérisation
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\end{itemize}
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La nature d'un signal peut être électrique, acoustique, optique\ldots
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Un signal peut évoluer en fonction du temps ou de l'espace (vidéo).
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Ici nous ne prendrons en compte que les signaux à une dimension.
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Le bruit est tout ce qui n'est pas porteur d'information.
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\section{Classification des signaux}
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\subsection{Déterministe vs.\ Aléatoire}
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\subsubsection{Déterministe}
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Décrit par une fonction mathématique $x(t)$.
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Il est donc \emph{prédictif}~: sa valeur est connue pour toute valeur de $t$.
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\subsubsection{Aléatoire}
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Décrit par des propriétés statistiques (probabilité, espérance mathématique, variance\ldots).
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Il n'est donc pas \emph{prédictif}~: on ne peut pas connaître sa valeur à un instant $t$.
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\subsection{Puissance moyenne finie vs.\ Énergie finie}
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\subsubsection{Signaux à énergie finie}
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\begin{equation*}
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E = \int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 \dif t < \infty
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\end{equation*}
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Ils sont à \emph{puissance moyenne nulle}.
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On y trouve les signaux continus à \emph{support borné}.
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\subsubsection{Signaux à puissance moyenne finie}
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\begin{equation*}
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P = \lim\limits_{T_0 \to \infty} \int_{-T_0/2}^{+T_0/2} |x(t)|^2 \dif t\text{, où $T_0$ est la période}
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\end{equation*}
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Ils sont à \emph{énergie infinie}.
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On y trouve les signaux périodiques.
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Les calculs se font sur une période.
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\subsection{Analogique vs.\ Discret (échantillonné, quantifié, numérique)}
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\subsubsection{Analogique (continu)}
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Un signal analogique est continu.
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Son évolution est décrite par la variable continue $t \in \mathbb{R}$.
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Signal réel $\implies x(t) \in \mathbb{R}$ \\
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Signal complexe $\implies x(t) \in \mathbb{C}$
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\subsubsection{Discret}
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Son évolution est décrite par une variable discrète $n \in \mathbb{Z}$.
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Cette variable discrète est appelée \emph{échantillon}.
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\begin{tabular}{l|ll}
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\toprule
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$A \; \backslash \; t$ & continu & discret \\
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\midrule
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continu & analogique & échantillonné \\
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discret & quantifié & numérique \\
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\bottomrule
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\end{tabular}
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Un signal \emph{échantillonné} est discret en \emph{temps}.
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Un signal \emph{quantifié} est discret en \emph{amplitude}.
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En réalité le signal quantifié n'existe pas (il ne peut être que continu par morceaux dans ce cas).
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\subsection{Signaux continus usuels}
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\subsubsection{Échelon unitaire ou Heaviside}
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\begin{align*}
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u(t) =
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\left\{
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\begin{array}{ll}
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1 &\forall \, t \geq 0 \\
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0 &\forall \, t < 0 \\
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|
\end{array}
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\right.
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\end{align*}
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C'est un signal \emph{causal} (nul pour tout $t < 0$).
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Il n'est pas à support borné, il n'est pas périodique.
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Il n'est donc ni à \emph{puissance moyenne finie}, ni à \emph{énergie finie}.
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\subsubsection{Signal porte ou signal rectangle}
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\begin{align*}
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x(t) =
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\left\{
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\begin{array}{ll}
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|
A &\text{si } t \in [T_1;T_2] \\
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0 &\text{sinon} \\
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|
\end{array}
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\right.
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\end{align*}
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Il est à \emph{support borné}, donc il est à \emph{énergie finie}.
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\subsubsection{Exponentielle amortie}
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\begin{align*}
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x(t) = e^{-\alpha|t|} \quad \forall \, t \in \mathbb{R}
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\end{align*}
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Il faut que $\alpha$ soit positif (sinon $x(t)$ diverge).
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\subsubsection{Exponentielle amortie et causale}
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\begin{align*}
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x(t) =
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\left\{
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\begin{array}{ll}
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|
e^{-\alpha t} &\forall \, t \geq 0 \\
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|
0 &\forall \, t < 0 \\
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|
\end{array}
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\right.
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\end{align*}
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\subsubsection{Signal carré de \emph{rapport cyclique} $r$}
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\begin{align*}
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x(t) =
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\left\{
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\begin{array}{ll}
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|
0 &\forall \, t \in [0; (1 - r)T_0] \\
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|
A &\forall \, t \in [(1 - r)T_0; T_0] \\
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|
\end{array}
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\right.
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\end{align*}
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C'est un signal \emph{$T_0$-périodique}.
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Sa puissance moyenne est donc finie~:
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\begin{equation*}
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P = \int_{(1-r)T_0}^{T_0} A^2 \dif t = A^2 r
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\end{equation*}
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\subsubsection{Signal sinusoïdal}
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\begin{equation*}
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\cos(2\pi f_0 t) = \sin(2\pi f_0 t + \frac{\pi}{2})
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\end{equation*}
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Il y a un \emph{déphasage} $\varphi$ constant de $\frac{\pi}{2}$.
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\begin{align*}
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&\varphi = 2\pi\frac{\Delta t}{T_0} [\text{rad}]
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&\varphi = 360\frac{\Delta t}{T_0} [\text{degré}]
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\end{align*}
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\paragraph{Rappels}
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\begin{itemize}
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\item Formule d'Euler~:
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\begin{align*}
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\cos(2\pi f_0 t) = \frac{e^{\jmath2\pi f_0 t} + e^{-\jmath2\pi f_0 t}}{2} \\
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\sin(2\pi f_0 t) = \frac{e^{\jmath2\pi f_0 t} + e^{-\jmath2\pi f_0 t}}{2\jmath} \\
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\end{align*}
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\item Parité~:
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$x$ est paire si $x(-t) = x(t)$ \\
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$x$ est impaire si $x(-t) = -x(t)$ \\
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La fonction cosinus est paire, la fonction sinus est impaire.
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\end{itemize}
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\subsubsection{Sinus cardinal}
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\begin{align*}
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\mathrm{sinc}(t) =
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\left\{
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\begin{array}{ll}
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|
\frac{\sin(\pi t)}{\pi t} &\text{si } t \neq 0 \\
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|
1 &\text{si } t = 0 \\
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|
\end{array}
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\right.
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\end{align*}
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Son énergie est $E = 1$.
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\subsection{Le bruit, signal \emph{aléatoire}}
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Le bruit est tout signal qui perturbe l'information.
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Attention~: ce qui est une information pour un récepteur A peut être vu comme du bruit pour un récepteur B.
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\subsubsection{Rapport Signal sur Bruit (RSB)}
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Critère qui permet de quantifier le signal par rapport au bruit présent.
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\begin{equation*}
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\text{RSB} = \frac{P_S}{P_B}
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\end{equation*}
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$P_S$ est la puissance du signal, $P_B$ la puissance du bruit.
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Cette quantité peut être déterminée en \emph{dB} (décibel)~:
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\begin{equation*}
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RSB_{dB} = 10\log_{10}(RSB)
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\end{equation*}
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Le bruit peut être \emph{stationnaire}~: ses propriétés statistiques ne varient pas au cours du temps.
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Ou \emph{non stationnaire}~: ses propriétés statistiques varient au cours du temps.
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\subsection{Impulsion ou distribution de Dirac, $\delta$}
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Ce n'est pas un signal réel.
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C'est un objet mathématique qui sert à modéliser certains phénomènes.
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Il peut être vu comme la limite de plusieurs signaux porte $\Pi_{\epsilon}(t)$, de largeur $\epsilon \rightarrow 0$ et d'amplitude $\frac{1}{\epsilon}$.
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\begin{align*}
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\delta(t) = \lim\limits_{\epsilon \to 0} \sum \epsilon^{-1} \Pi_{\epsilon}(t) \\ \\
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\delta(t) =
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\left\{
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\begin{array}{l}
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|
+\infty \text{ pour } t = 0 \\
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0 \text{ pour } t \neq 0 \\
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|
\end{array}
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\right.
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\end{align*}
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Propriétés~:
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\begin{align*}
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&\int_{\mathbb{R}} \delta(t) \dif t = 1
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\quad\text{peut être vu comme la dérivée de l'échelon unitaire} \\
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&\int_{\mathbb{R}} x(t)\delta(t) \dif t = x(0) \\
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&\int_{\mathbb{R}} x(t)\delta(t - t_0) \dif t = x(t_0) \\
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\end{align*}
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\section{Analyse fréquentielle}
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\subsection{Introduction}
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Le \emph{spectre} est la représentation graphique du contenu fréquentiel d'un signal.
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Il permet d'étudier les composantes \emph{fréquentielles} du signal à partir d'une certaine fonction de variable $f$, en Hz.
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L'analyse de Fourier permet de déterminer la fonction du signal temporel dans le domaine fréquentiel.
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\begin{equation*}
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x(t) \rightarrow X(f)
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\end{equation*}
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$|X(f)|^2$ représente la \emph{Densité Spectrale}, notée $S_x(f)$.
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\subsection{Décomposition en Série de Fourier (DSF)}
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Tout signal $x:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, $T_0$-périodique, continu ou continu par morceaux, intégrable une fois dans $\mathbb{R}$ (conditions de Dirichlet), peut se décomposer en une somme de sinus et de cosinus.
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\begin{align*}
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|
T_0 &= \frac{1}{f_0} \\
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|
\omega_0 &= 2\pi f_0 = \frac{2\pi}{T_0}
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|
\end{align*}
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\subsubsection{Forme réelle}
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\begin{align*}
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x(t) &= \sum_{n=0}^{+\infty} [a_n\cos(n\omega_0 t) + b_n\sin(n\omega_0 t)] \\
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|
x(t) &= a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} [a_n\cos(n\omega_0 t) + b_n\sin(n\omega_0 t)]
|
|
\end{align*}
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\begin{itemize}
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|
\item $a_n$ et $b_n$ sont les coefficients de Fourier réels
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\item $\omega_0 = 2\pi f_0$ [rad/s] est la pulsation \emph{fondamentale} de $x(t)$
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\item $n\omega_0, \; \forall \, n > 1$ sont les pulsations \emph{harmoniques} de $x(t)$
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|
\item $\sum_{n=1}^{+\infty} [a_n\cos(n\omega_0 t) + b_n\sin(n\omega_0 t)]$ converge
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|
\end{itemize}
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|
Expression des coefficients de Fourier réels~:
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\begin{align*}
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a_0 &= \frac{1}{T_0} \int_{(T_0)} x(t) \dif t
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|
\quad \text{représente la valeur moyenne du signal} \\
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|
a_n &= \frac{2}{T_0} \int_{(T_0)} x(t) \cos(n\omega_0 t) \dif t, \quad n \geq 1 \\
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|
b_n &= \frac{2}{T_0} \int_{(T_0)} x(t) \sin(n\omega_0 t) \dif t, \quad n \geq 1
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\end{align*}
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\subsubsection{Forme directe (complexe)}
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À savoir~: $e^{\jmath\theta} = \cos(\theta) + \jmath\sin(\theta)$
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\begin{align*}
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x(t) &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{\jmath n\omega_0 t} \\
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x(t) &= \sum_{n=-\infty}^{-1} c_n e^{\jmath n\omega_0 t} + c_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} c_n e^{\jmath n\omega_0 t} \\
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|
x(t) &= c_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} [c_n e^{\jmath n\omega_0 t} + c_{-n} e^{-\jmath n\omega_0 t}] \\
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\end{align*}
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\begin{itemize}
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\item $c_n$ et $c_{-n}$ sont les coefficients de Fourier complexes
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\item $\omega_0 = 2\pi f_0$ [rad/s] est la pulsation \emph{fondamentale} de $x(t)$
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|
\item $n\omega_0, \; \forall \, n > 1$ sont les pulsations \emph{harmoniques} de $x(t)$
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|
\item $\sum_{n=1}^{+\infty} [c_n e^{\jmath n\omega_0 t} + c_{-n} e^{-\jmath n\omega_0 t}]$ converge
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\end{itemize}
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|
Expression des coefficients de Fourier complexes~:
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\begin{align*}
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c_0 &= \frac{1}{T_0} \int_{(T_0)} x(t) \dif t
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|
\quad \text{représente la valeur moyenne du signal} \\
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|
c_n &= \frac{1}{T_0} \int_{(T_0)} x(t) e^{-\jmath n\omega_0 t} \dif t, \quad n \geq 1 \\
|
|
c_{-n} &= \frac{1}{T_0} \int_{(T_0)} x(t) e^{\jmath n\omega_0 t} \dif t, \quad n \geq 1
|
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\end{align*}
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\subsubsection{Correspondance entre les coefficients de Fourier réels et complexes}
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Par identification, on établit les relations suivantes~:
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\begin{align*}
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c_0 &= a_0 \\
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c_n &= \frac{1}{2} (a_n - \jmath b_n) \\
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|
c_{-n} &= \frac{1}{2} (a_n + \jmath b_n)
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|
\end{align*}
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|
\subsubsection{Représentation spectrale $S_x(f)$}
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On peut représenter la \emph{Densité Spectrale de Puissance} (DSP)~:
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\begin{equation*}
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S_x(f) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_n|^2 = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_{-n}|^2 = \frac{1}{4} \sum_{n=0}^{+\infty} {\left(\sqrt{a_n^2 + b_n^2}\right)}^2
|
|
\end{equation*}
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|
Son unité est le [W/Hz].
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On dit que c'est un spectre de raie.
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\subsubsection{Propriétés}
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\paragraph{Linéarité}
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Soient $x_1(t)$ et $x_2(t)$ deux signaux de même période, alors~:
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\begin{equation*}
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|
x(t) = \alpha x_1(t) = \beta x_2(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} (\alpha c_n^1 + \beta c_n^2) e^{\jmath n\omega_0 t}
|
|
\end{equation*}
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|
\paragraph{Retard}
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Soit $x_1(t) = x(t - t_0)$, alors~:
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\begin{equation*}
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|
x_1(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n^1 e^{\jmath n\omega_0 t} = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{\jmath n\omega_0(t - t_0)}
|
|
\end{equation*}
|
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|
$c_n^1 = c_n e^{-\jmath n\omega_0 t_0}$
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|
$c_n, c_n^1$ et $c_n^2$ sont respectivement les coefficients de Fourier de $x(t), x_1(t)$ et $x_2(t)$.
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\subsubsection{Théorême de Parseval}
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Soit $x(t)$ un signal $T_0$-périodique tel que $x(t)$ peut être décomposé en une série de Fourier, alors~:
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\begin{equation*}
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|
\frac{1}{T_0} \int_{(T_0)} |x(t)|^2 \dif t = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_n|^2 = a_0^2 + \frac{1}{4} \sum_{n=1}^{+\infty} (a_n^2 + b_n^2)
|
|
\end{equation*}
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|
$\implies$ même quantité de puissance/signal en temps qu'en fréquence.
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|
Toute la puissance du signal $x(t)$ est égale à la somme des puissances portées par chaque raie fréquentielle (puissance moyenne, fondamentale, harmoniques).
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\subsection{Transformée de Fourier (TF)}
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\subsubsection{Définition}
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La DSF ne s'applique que les signaux périodiques.
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Pour travailler sur un signal non périodique, il faut passer par la transformée de Fourier.
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$x(t) \xrightarrow{TF} X(f)$
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\begin{equation*}
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X(f) = \int_{\mathbb{R}} x(t) e^{-\jmath 2\pi ft} \dif t
|
|
\end{equation*}
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|
\subsubsection{Transformée inverse}
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\begin{align*}
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|
x(t) \xrightarrow{TF} X(f) \\
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|
X(f) \xrightarrow{TF^{-1}} x(t)
|
|
\end{align*}
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|
|
\begin{equation*}
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|
x(t) = \int_{\mathbb{R}} X(f) e^{\jmath 2\pi ft} \dif f
|
|
\end{equation*}
|
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|
\subsubsection{Passage de la DSF à la TF}
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\begin{equation*}
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|
x(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{\jmath n\omega_0 t} \quad \text{avec } n\omega_0 = 2\pi nf_0
|
|
\end{equation*}
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|
$\implies$ la variable est $nf_0$.
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On va considérer qu'un signal \emph{non périodique} est en fait $T_0$-périodique avec $T_0 \to \infty$.
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$\implies$ $nf_0$ devient une \emph{variable continue} $f \in \mathbb{R}$.
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|
La formule de DSF précédente devient~:
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\begin{equation*}
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|
x(t) = \int_{\mathbb{R}} c_n e^{\jmath 2\pi ft} \dif ?
|
|
\end{equation*}
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\begin{align*}
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|
nf_0 = f \implies f_0 \dif n = \dif f \implies \dif n = \frac{1}{f_0} \dif f \\ \\
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|
\implies \boxed{x(t) = \int_{\mathbb{R}} c_n e^{\jmath 2\pi ft} T_0 \dif f} \\
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|
c_n = \frac{1}{T_0} \int_{\mathbb{R}} x(t) e^{-\jmath 2\pi ft} \dif t
|
|
\end{align*}
|
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|
D'où~:
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|
\begin{align*}
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|
x(t) &= \int_{\mathbb{R}}
|
|
\frac{1}{T_0} \int_{\mathbb{R}} x(t) e^{-\jmath 2\pi ft} \dif t \;
|
|
e^{\jmath 2\pi ft} T_0 \dif f \\
|
|
\implies
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|
x(t) &= \int_{\mathbb{R}}
|
|
\int_{\mathbb{R}} x(t) e^{-\jmath 2\pi ft} \dif t \;
|
|
e^{\jmath 2\pi ft} \dif f \\
|
|
&= \int_{\mathbb{R}}
|
|
X(f)
|
|
e^{\jmath 2\pi ft} \dif f \\
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\subsubsection{Représentation spectrale~: Densité Spectrale d'Énergie (DSE)}
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|
Notée $S_x(f) = |X(f)|^2$, c'est l'amplitude portée par chaque fréquence $f \in \mathbb{R}$.
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|
L'unité est le [J/Hz].
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|
Notons que $|X(0)|^2 = E$.
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|
\paragraph{Égalité de Parseval}
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|
\begin{equation*}
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|
\int_{\mathbb{R}} |x(t)|^2 \dif t = \int_{\mathbb{R}} S_x(f) \dif f
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\paragraph{Représentation spectrale}
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|
Symétrie hermitienne~:
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|
$\overline{x(t)} = x(-t)$
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\begin{itemize}
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|
\item Dans le cas général~:
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\begin{equation*}
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|
\overline{x(t)} \xrightarrow{TF} \overline{X(f)}
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\item Si $\overline{x(t)} = x(-t)$~:
|
|
\begin{equation*}
|
|
X(f) = \overline{X(f)}
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\item Si $X(-f) = \overline{X(f)}$
|
|
\begin{equation*}
|
|
S_x(f) = |X(f)|^2 = X(f)X(-f) = S_x(-f)
|
|
\end{equation*}
|
|
\hfill car $|X(f)|^2 = X(f)\overline{X(f)}$
|
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|
\end{itemize}
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|
\subsubsection{Signaux pairs}
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|
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|
Si $x(t)$ est un signal pair alors~:
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|
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\begin{equation*}
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|
e^{-\jmath 2\pi ft} = \cos(2\pi ft)
|
|
\quad
|
|
\text{et}
|
|
\quad
|
|
X(f) = 2\int_0^{\infty} x(t) \cos(2\pi ft) \dif t
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\subsubsection{Signaux impairs}
|
|
|
|
Si $x(t)$ est un signal impair alors~:
|
|
|
|
\begin{equation*}
|
|
e^{-\jmath 2\pi ft} = -\jmath\sin(2\pi ft)
|
|
\quad
|
|
\text{et}
|
|
\quad
|
|
X(f) = -2\jmath\int_0^{\infty} x(t) \sin(2\pi ft) \dif t
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\subsubsection{Propriétés}
|
|
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|
\begin{itemize}
|
|
|
|
\item Linéarité~:
|
|
\begin{equation*}
|
|
\alpha x(t) = \beta y(t) \xrightarrow{TF} \alpha X(f) + \beta Y(f)
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\item Retard~:
|
|
\begin{equation*}
|
|
x_1(t) = x(t - t_0) \xrightarrow{TF} X(f) e^{-\jmath 2\pi t_0 f}
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\item Translation fréquentielle (utilisée en modulation)~:
|
|
\begin{equation*}
|
|
x(t)e^{-\jmath 2\pi f_0 t} \xrightarrow{TF} X(f - f_0)
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\item Produit de fonctions / produit de convolution~:
|
|
\begin{align*}
|
|
x(t)y(t) &\xrightarrow{TF} (X*Y)(f) \\
|
|
(x*y)(t) &\xrightarrow{TF} X(f)Y(f)
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\subsubsection{Transformées de Fourier particulières}
|
|
|
|
\paragraph{Impulsion de Dirac $\delta(t)$}
|
|
|
|
\begin{align*}
|
|
TF\{\delta(t)\} &= \int_{\mathbb{R}} \delta(t) e^{-\jmath 2\pi ft} \dif t \\
|
|
&= \left.e^{-\jmath 2\pi ft}\right|_{t=0} \\
|
|
&= 1 \\
|
|
\implies TF\{1\} = \delta{f}
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
L'impulsion de Dirac est composée de toutes les fréquences dans $\mathbb{R}$.
|
|
Toutes ces fréquences sont d'énergie unitaire.
|
|
|
|
\paragraph{Exponentielle complexe}
|
|
|
|
\begin{equation*}
|
|
TF\{e^{\jmath 2\pi f_0 t}\} = \delta(f - f_0)
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\paragraph{Cosinus}
|
|
|
|
\begin{equation*}
|
|
TF\{\cos(2\pi f_0 t)\} = \frac{\delta(f - f_0) + \delta(f + f_0)}{2}
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\paragraph{Sinus}
|
|
|
|
\begin{equation*}
|
|
TF\{\sin(2\pi f_0 t)\} = \frac{\delta(f - f_0) - \delta(f + f_0)}{2\jmath}
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
Les fonctions sinus et cosinus ont le même spectre.
|
|
|
|
\begin{equation*}
|
|
|S(f)|^2 = \frac{1}{4}|\delta(f - f_0) \pm \delta(f + f_0)|^2
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\section{Produit de convolution}
|
|
|
|
\subsection{Définition}
|
|
|
|
Le produit de convolution sert à appliquer une modification à un signal (comme le filtrage, qui enlève une partie du signal).
|
|
|
|
\paragraph{Applications}
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|
|
|
\begin{itemize}
|
|
|
|
\item Permet de déterminer la \emph{sortie temporelle} de tout Système Linéaire et Invariant dans le Temps (SLIT).
|
|
|
|
\item Le système considéré peut être la \emph{modélisation} d'un canal de transmission par exemple.
|
|
|
|
\item La modélisation est la \emph{représentation mathématique} d'un \emph{phénomène physique}.
|
|
|
|
\item Le \emph{modèle} établit la ou les relations entre entrée(s) et sortie(s).
|
|
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\paragraph{Système Linéaire et Invariant dans le Temps (SLIT)}
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
|
|
\item Linéarité~:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}[every text node part/.style={align=center}]
|
|
\node (a) at (-6,1) {$\alpha x_1(t)$};
|
|
\node (b) at (-6,-1) {$\beta x_2(t)$};
|
|
\node[circle,draw,minimum width=0.6cm] (c) at (-3,0) {};
|
|
\draw (-3,-0.3) -- (-3,0.3);
|
|
\draw (-3.3,0) -- (-2.7,0);
|
|
\node[rectangle,draw,minimum width=3cm,thick] (r) at (0,0) {$h(t)$ \\ SLIT};
|
|
\draw (a) -- (-3,1);
|
|
\draw[-latex] (-3,1) -- (c.north);
|
|
\draw (b) -- (-3,-1);
|
|
\draw[-latex] (-3,-1) -- (c.south);
|
|
\draw[-latex](c) -- (r.west);
|
|
\draw[-latex](r) -- ++(5cm,0) node[above]{$y(t) = \alpha y_1(t) + \beta y_2(t)$};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
\item Invariance dans le temps~:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}[every text node part/.style={align=center}]
|
|
\node[rectangle,draw,minimum width=3cm,thick] (r) at (0,0) {$h(t)$ \\ SLIT};
|
|
\draw[-latex]++(-5cm,0) -- (r.west) node[above,at start]{$y(t - t_0)$};
|
|
\draw[-latex](r) -- ++(5cm,0) node[above]{$y(t - t_0)$};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\paragraph{Notation}
|
|
\begin{equation*}
|
|
(x * y)(t)
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\paragraph{Définition}
|
|
|
|
Soient deux fonctions $x$ et $y$ intégrables dans $\mathbb{R}$ pour presque tout $t \in \mathbb{R}$.
|
|
Le produit de convolution de $x$ et $y$ est tel que~:
|
|
\begin{equation*}
|
|
(x * y)(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) y(t - \tau) \dif \tau
|
|
\end{equation*}
|
|
et $(x * y)(t)$ est borné.
|
|
|
|
\paragraph{Remarques}
|
|
|
|
Le produit de convolution est une fonction de variable ici $t$.
|
|
$\tau$ est la variable muette de l'intégrale~: la fonction de convolution \emph{ne dépendra pas} de $\tau$.
|
|
|
|
\subsection{Interprétation physique}
|
|
|
|
\hfill
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\draw[help lines, dashed] (-2,-1) grid (5,3);
|
|
\draw[-latex] (-2,0) -- (5,0) node[below]{$\tau$};
|
|
\draw[thick, orange,smooth]
|
|
(0,0) -- (0,3)
|
|
plot[domain=0:5]({\x}, {1.5/(0.5+\x)})
|
|
;
|
|
\draw[thick, teal]
|
|
(0,0) -- (0,1.5)
|
|
plot[domain=0:1]({\x}, {1.5})
|
|
(1,1.5) -- (1,0)
|
|
;
|
|
\node at (0,-0.3) {0};
|
|
\node at (1,-0.3) {$T$};
|
|
\node[orange,anchor=east] at (5,2.5) {$x(\tau)$};
|
|
\node[teal,anchor=east] at (5,2) {$y(t - \tau)$};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\hfill
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\draw[help lines, dashed] (-2,-1) grid (5,3);
|
|
\draw[-latex] (-2,0) -- (5,0) node[below]{$\tau$};
|
|
\draw[thick, orange,smooth]
|
|
(0,0) -- (0,3)
|
|
plot[domain=0:5]({\x}, {1.5/(0.5+\x)})
|
|
;
|
|
\draw[thick, teal]
|
|
(-1.5,0) -- (-1.5,1.5)
|
|
plot[domain=-1.5:-0.5]({\x}, {1.5})
|
|
(-0.5,1.5) -- (-0.5,0)
|
|
;
|
|
\node at (-1.5,-0.3) {$t-T$};
|
|
\node at (-0.5,-0.3) {$t$};
|
|
\node[orange,anchor=east] at (5,2.5) {$x(\tau)$};
|
|
\node[teal,anchor=east] at (5,2) {$y(t - \tau)$};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\hfill
|
|
|
|
\hfill
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\draw[help lines, dashed] (-2,-1) grid (5,3);
|
|
\fill [red!30,domain=0:0.5,variable=\x]
|
|
(0,0) -- plot ({\x}, {1.5/(0.5+\x)}) -- (0.5,0) -- cycle
|
|
;
|
|
\draw[-latex] (-2,0) -- (5,0) node[below]{$\tau$};
|
|
\draw[thick, orange,smooth]
|
|
(0,0) -- (0,3)
|
|
plot[domain=0:5]({\x}, {1.5/(0.5+\x)})
|
|
;
|
|
\draw[thick, teal]
|
|
(-0.5,0) -- (-0.5,1.5)
|
|
plot[domain=-0.5:0.5]({\x}, {1.5})
|
|
(0.5,1.5) -- (0.5,0)
|
|
;
|
|
\node at (-0.5,-0.3) {$t-T$};
|
|
\node at (0.5,-0.3) {$t$};
|
|
\node[orange,anchor=east] at (5,2.5) {$x(\tau)$};
|
|
\node[teal,anchor=east] at (5,2) {$y(t - \tau)$};
|
|
\node[red,anchor=east] at (5,1.5) {$x(\tau) \cdot y(t - \tau)$};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\hfill
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\draw[help lines, dashed] (-2,-1) grid (5,3);
|
|
\fill [red!30,domain=0.5:1.5,variable=\x]
|
|
(0.5,0) -- plot ({\x}, {1.5/(0.5+\x)}) -- (1.5,0) -- cycle
|
|
;
|
|
\draw[-latex] (-2,0) -- (5,0) node[below]{$\tau$};
|
|
\draw[thick, orange,smooth]
|
|
(0,0) -- (0,3)
|
|
plot[domain=0:5]({\x}, {1.5/(0.5+\x)})
|
|
;
|
|
\draw[thick, teal]
|
|
(0.5,0) -- (0.5,1.5)
|
|
plot[domain=0.5:1.5]({\x}, {1.5})
|
|
(1.5,1.5) -- (1.5,0)
|
|
;
|
|
\node at (0.5,-0.3) {$t-T$};
|
|
\node at (1.5,-0.3) {$t$};
|
|
\node[orange,anchor=east] at (5,2.5) {$x(\tau)$};
|
|
\node[teal,anchor=east] at (5,2) {$y(t - \tau)$};
|
|
\node[red,anchor=east] at (5,1.5) {$x(\tau) \cdot y(t - \tau)$};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\hfill
|
|
|
|
\subsection{Propriétés}
|
|
|
|
Soient $f$, $g$ et $h$ trois fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ pour presque tout $t \in \mathbb{R}$.
|
|
|
|
\paragraph{Commutativité}
|
|
\begin{equation*}
|
|
(f*g)(t) = (g*f)(t)
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\paragraph{Distributivité}
|
|
\begin{equation*}
|
|
(f*(g+h))(t) = (f*g)(t) + (f*h)(t)
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\paragraph{Associativité}
|
|
\begin{align*}
|
|
((f*g)*h)(t) &= (f*(g*h))(t) \\
|
|
&= \int_{\mathbb{R}} (f*g)(t-\tau) h(\tau) \dif \tau \\
|
|
&= \int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}} f(t-\tau-\nu) g(\nu) h(\tau) \dif \tau
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\paragraph{Parité}
|
|
|
|
Si les fonctions $f$ et $g$ sont paires alors le produit de convolution de $f$ et $g$ est pair.
|
|
|
|
\subsection{Produit de convolution et filtrage (SLIT)}
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}[every text node part/.style={align=center}]
|
|
\node[rectangle,draw,minimum width=3cm,thick] (r) at (0,0) {$h(t)$ \\ SLIT};
|
|
\draw[-latex]++(-3cm,0) -- (r.west) node[above,at start]{$x(t)$} node[below,at start]{entrée};
|
|
\draw[-latex](r) -- ++(3cm,0) node[above]{$y(t)$} node[below]{sortie};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Un filtre peut être défini~:
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item en fréquence~: $H(\jmath\omega)$ (\emph{fonction de transfert})
|
|
\item en temps~: $h(t)$ (\emph{réponse impulsionnelle})
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
Pour la réponse impulsionnelle~:
|
|
|
|
La sortie $h(t)$ est obtenue lorsqu'en entrée du filtre on applique un \emph{signal impulsionnel}.
|
|
Ce signal impulsionnel est modélisé par l'\emph{impulsion de Dirac}, $\delta$.
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}[every text node part/.style={align=center}]
|
|
\node[rectangle,draw,minimum width=3cm,thick] (r) at (0,0) {$h(t)$ \\ SLIT};
|
|
\draw[-latex]++(-3cm,0) -- (r.west) node[above,at start]{$x(t) = \delta(t)$};
|
|
\draw[-latex](r) -- ++(3cm,0) node[above]{$y(t) = h(t)$};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
On a donc~:
|
|
\begin{equation*}
|
|
y(t) = (h*x)(t) = h(t)
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
$\delta$ est l'élément neutre du produit de convolution, de la même façon que 0 est l'élément neutre de l'addition et que 1 est l'élément neutre de la multiplication.
|
|
\begin{equation*}
|
|
(f*\delta)(t) = f(t)
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\paragraph{Retard}
|
|
\begin{equation*}
|
|
(f*\delta_{t_0})(t) = f(t - t_0)
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
où $\delta_{t_0}$ est l'impulsion de Dirac retardée de $t_0$~: \quad $\delta_{t_0} = \delta(t - t_0)$.
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\draw[-latex] (-0.5,0) -- (2,0) node[right]{$t$};
|
|
\draw[-latex] (0,-0.2) -- (0,2) node[above]{$\delta(t-t_0)$};
|
|
\draw[-latex,thick, red]
|
|
(1,0) -- (1,1)
|
|
;
|
|
\node at (-0.2,-0.3) {0};
|
|
\node at (1,-0.3) {$t_0$};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
\section{Échantillonnage}
|
|
|
|
\subsection{Formalisme d'échantillonnage}
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\draw[help lines, dashed] (-1,-1) grid (5,3);
|
|
\draw[-latex] (-0.5,0) -- (5,0) node[right]{$t$};
|
|
\draw[-latex] (0,-0.5) -- (0,3) node[left]{$A$};
|
|
\draw[thick,orange,smooth]
|
|
plot[domain=0:5] ({\x}, {sqrt(\x)})
|
|
;
|
|
\node at (2.5,-1) {$x(t), t\in\mathbb{R}$};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
$\implies$
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\draw[help lines, dashed] (-1,-1) grid (5,3);
|
|
\draw[-latex] (-0.5,0) -- (5,0) node[right]{$t$};
|
|
\draw[-latex] (0,-0.5) -- (0,3) node[left]{$A$};
|
|
\foreach \i in {0, 1, 2, 3, 4}{
|
|
\node at (\i, {sqrt(\i)}) {$\times$};
|
|
}
|
|
\node at (1,-0.3) {$T_e$};
|
|
\node at (2,-0.3) {$2T_e$};
|
|
\node at (3,-0.3) {$3T_e$};
|
|
\node at (4,-0.3) {$4T_e$};
|
|
\node at (2.5,-1) {$x_e(t) = x(nT_e), n\in\mathbb{N}$};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
C'est un interrupteur qui réalise l'échantillonnage.
|
|
Il se ferme tous les $nT_e$.
|
|
Il reste fermé pendant $\tau < T_e$
|
|
|
|
\paragraph{Modélisation mathématique de l'interrupteur}
|
|
\raggedcolumns
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
\begin{align*}
|
|
p_{\tau}(t) =
|
|
\left\{
|
|
\begin{array}{l}
|
|
\frac{1}{\tau}, t \in \left[\frac{-\tau}{2};\frac{\tau}{2}\right] \\
|
|
0 \text{ sinon} \\
|
|
\end{array}
|
|
\right.
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\draw[help lines, dashed] (-1,-1) grid (6,3);
|
|
\draw[-latex] (-0.5,0) -- (6,0) node[right]{$t$};
|
|
\draw[-latex] (0,-0.5) -- (0,3) node[above,orange]{$x(t)$};
|
|
\draw[thick,orange,smooth]
|
|
plot[domain=0:6] ({\x}, {sqrt(\x)})
|
|
;
|
|
\node at (-0.2,-0.3) {\footnotesize 0};
|
|
\node at (1.5,-0.4) {\footnotesize$nT_e-\frac{\tau}{2}$};
|
|
\node at (3,-0.3) {\footnotesize$nT_e$};
|
|
\node at (4.5,-0.4) {\footnotesize$nT_e+\frac{\tau}{2}$};
|
|
\draw[thick,red]
|
|
(0.5,0) -- (1.5,0)
|
|
(1.5,0) -- (1.5,2)
|
|
(1.5,2) -- (4.5,2)
|
|
(4.5,2) -- (4.5,0)
|
|
(4.5,0) -- (5.5,0)
|
|
;
|
|
\node at (-0.2,2) {$\frac{1}{\tau}$};
|
|
\node [red] at (3,2.5) {$p_{\tau}(t-nT_e)$};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{multicols}
|
|
|
|
La valeur de l'échantillon du signal $x$ en $nT_e$ est la \emph{valeur moyenne} de $x$ pendant $\tau$, le temps de fermeture de l'interrupteur.
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\begin{align*}
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x(nT_e) = \frac{1}{\tau} \int_{nT_e-\frac{\tau}{2}}^{nT_e+\frac{\tau}{2}} x(t) \dif t \\
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\boxed{x(nT_e) = \int_{-\infty}^{+\infty} p_{\tau}(t - nT_e) x(t) \dif t}
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\end{align*}
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Le temps de fermeture $\tau$ de l'interrupteur doit être le plus court possible.
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En faisant tendre $\tau$ vers 0, on obtient ainsi l'impulsion de Dirac~:
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\begin{equation*}
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\lim\limits_{\tau\to 0} p_{\tau}(t-nT_e) = \delta(t-nT_e)
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\end{equation*}
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\begin{tabularx}{\linewidth}{YYY}
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{
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\begin{tikzpicture}
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\draw[help lines, dashed] (-1,-1) grid (4,3);
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\node at (-0.2,2) {$\frac{1}{\tau}$};
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\draw[-latex] (-0.5,0) -- (4,0) node[right]{$t$};
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\draw[-latex] (0,-0.5) -- (0,3) node[above]{$p_{\tau}(t-nT_e)$};
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\draw[thick,red]
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(0.2,0) -- (0.7,0)
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(0.7,0) -- (0.7,2)
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(0.7,2) -- (3.3,2)
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(3.3,2) -- (3.3,0)
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(3.3,0) -- (3.7,0)
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;
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\node at (0.7,-0.4) {\scriptsize$nT_e-\frac{\tau}{2}$};
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\node at (2,-0.3) {\scriptsize$nT_e$};
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\node at (3.3,-0.4) {\scriptsize$nT_e+\frac{\tau}{2}$};
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\end{tikzpicture}
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} &
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$\xrightarrow{\tau\to 0}$ &
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{
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\begin{tikzpicture}
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\draw[help lines, dashed] (-1,-1) grid (3,3);
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|
\draw[-latex] (-0.5,0) -- (3,0) node[right]{$t$};
|
|
\draw[-latex] (0,-0.5) -- (0,3) node[above]{$\delta(t-nT_e)$};
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|
\draw[-latex,thick,red] (1.5,0) -- (1.5,2);
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|
\node at (1.5,-0.3) {$nT_e$};
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\end{tikzpicture}
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} \\
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\end{tabularx}
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\begin{align*}
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\lim\limits_{\tau\to 0} \int_{-\infty}^{+\infty} p_{\tau}(t-nT_e)x(t) \dif t
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&=\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-nT_e)x(t) \dif t \\
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&= x(nT_e) \quad
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\text{(d'après les propriétés de l'impulsion de Dirac)}
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\end{align*}
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\subsection{Le signal échantillonné $x(nT_e)$}
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Il peut être vu comme $x(nT_e) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(t)\delta(t-nT_e)$.
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Peigne de Dirac, ou train d'impulsion de Dirac~: $\Sh_{t_0}$
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\begin{multicols}{2}
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\begin{equation*}
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\Sh_{t_0} = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nt_0)
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\end{equation*}
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\begin{tikzpicture}
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\draw[-latex] (-4,0) -- (4,0) node[right]{$t$};
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\draw[-latex] (0,0) -- (0,1.5) node[above]{$\Sh_{t_0}(t)$};
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\draw[-latex,thick,red] (-2.8,0) -- (-2.8,1) node[at start,below]{\footnotesize$-4t_0$};
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\draw[-latex,thick,red] (-2.1,0) -- (-2.1,1) node[at start,below]{\footnotesize$-3t_0$};
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\draw[-latex,thick,red] (-1.4,0) -- (-1.4,1) node[at start,below]{\footnotesize$-2t_0$};
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|
\draw[-latex,thick,red] (-0.7,0) -- (-0.7,1) node[at start,below]{\footnotesize$-t_0$};
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|
\draw[-latex,thick,red] (0,0) -- (0,1) node[at start,below]{\footnotesize$0$};
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|
\draw[-latex,thick,red] (0.7,0) -- (0.7,1) node[at start,below]{\footnotesize$t_0$};
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|
\draw[-latex,thick,red] (1.4,0) -- (1.4,1) node[at start,below]{\footnotesize$2t_0$};
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|
\draw[-latex,thick,red] (2.1,0) -- (2.1,1) node[at start,below]{\footnotesize$3t_0$};
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|
\draw[-latex,thick,red] (2.8,0) -- (2.8,1) node[at start,below]{\footnotesize$4t_0$};
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|
\end{tikzpicture}
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\end{multicols}
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$\Sh_{t_0}$ est $t_0$-périodique et accepte donc une DSF~:
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\begin{equation*}
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\Sh_{t_0}(t) = \frac{1}{t_0}\sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{\jmath 2\pi nf_0 t}
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\end{equation*}
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\subsection{Analyse fréquencielle du signal échantillonné $x(nT_e)$}
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\paragraph{Transformée de Fourier de $x(nT_e)$~: $X_e(f)$}
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\begin{align*}
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X_e(f) &= \text{TF}\left\{\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(t)\delta(t-nT_e)\right\} \\
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&= \text{TF}\left\{x(t)\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT_e)\right\} \\
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&= X(f)*\text{TF}\left\{\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT_e)\right\}
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\end{align*}
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\hfill où $X(f)$ est la TF de $x(t)$, le signal analogique.
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Que vaut TF $\left\{\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT_e)\right\}$~?
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C'est la TF de $\Sh_{T_e}$.
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Donc~:
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\begin{align*}
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\text{TF}\left\{\frac{1}{T_e}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}e^{\jmath 2\pi nf_e t}\right\}
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&= \frac{1}{T_e}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\text{TF}\{e^{\jmath 2\pi nf_e t}\} \\
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&= \frac{1}{T_e}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(f-nf_e)
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\end{align*}
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$\implies$ La TF du peigne de Dirac est un peigne de Dirac en fréquence.
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\begin{align*}
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X_e(f) &= X(f)*\text{TF}\left\{\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT_e)\right\} \\
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&= X(f)*\frac{1}{T_e}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(f-nf_e) \\
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&= \frac{1}{T_e}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}X(f)*\delta(f-nf_e) \\
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&= \frac{1}{T_e}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}X(\theta)\delta(f-nf_e-\theta)\dif\theta
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|
\end{align*}
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\begin{equation*}
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\boxed{X_e(f) = \frac{1}{T_e}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}X(f-nf_e)}
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\end{equation*}
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Le spectre du signal échantillonné est continu en fréquence. \\
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Le spectre du signal échantillonné est le spectre du signal analogique périodisé de période $f_e$.
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\paragraph{Représentation spectrale de $x(nT_e)$}
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Soit $x$ le signal analogique de fréquence maximale $f_{\max}<\frac{f_e}{2}$.
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\begin{tikzpicture}
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\draw[-latex] (-2,0) -- (2,0) node[right]{$f$};
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\draw[-latex] (0,0) -- (0,3) node[above]{$S_x(f)=|X(f)|^2$};
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\draw[red,smooth]
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plot[domain=-sqrt(2/5):0]({\x-sqrt(2/5)}, {2+5*\x^2})
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plot[domain=0:sqrt(2/5)]({\x-sqrt(2/5)}, {2-5*\x^2}) node[below]{0}
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plot[domain=-sqrt(2/5):0]({sqrt(2/5)+\x}, {2+5*\x^2})
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plot[domain=0:sqrt(2/5)]({sqrt(2/5)+\x}, {2-5*\x^2}) node[below]{$f_{\max}$}
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;
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\end{tikzpicture}
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\section{Quantification}
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La quantification est l'équivalent de l'échantillonnage appliqué sur l'amplitude.
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On passe donc d'une amplitude \emph{continue} à une amplitude \emph{discète}.
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La quantification numérise les échantillon de $x$.
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Les échantillons sont codés sur $N$ bits (c'est la \emph{résolution}).
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On appelle $\delta V$ la dynamique que peut coder les $N$ bits.
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Il y a donc $2^N$ valeurs d'amplitude possibles.
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Le pas de quantification, noté $q$ est la distance entre deux amplitudes.
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\begin{equation*}
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q = \frac{\delta V}{2^N}
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\end{equation*}
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\hfill avec $\delta V = V_{\max} - V_{\min}$
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À chaque amplitude correspond une valeur binaire, qui code en fait une plage, puisque les valeurs sont discrètes.
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On appelle $t_{conv}$ le temps nécessaire au convertisseur pour numériser un échantillon.
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\begin{equation*}
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t_{conv} \leq T_e
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\end{equation*}
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En général la valeur de l'échantillon à l'instant $nT_e$ est maintenue jusqu'à l'échantillon suivant.
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\paragraph{Échantillonneur bloqueur}
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Le bloqueur est un signal porte qui vaut 1 pendant $T_e$ et 0 sinon.
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Si on multiplie le signal échantillonné par le bloqueur, on maintient la valeur de l'échantillon pendant $T_e$.
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Au niveau des fréquences, on va faire le produit de convolution entre le signal échantillonné idéal et la $TF$ du bloqueur.
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\begin{align*}
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x_{e_b} &= (x_e * p)(t) \\
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X_{e_b}(f) = X_e(f) P(f)
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\end{align*}
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\paragraph{CAN linéaire et non centré en zéro}
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Il peut être \emph{unipolaire}~: $V_{\min} \geq 0V$ (la tension codée est positive).
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\begin{tikzpicture}
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\end{tikzpicture}
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La tension codée vaut la $(\text{valeur binaire})_{10} q$.
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Ou il peut être \emph{bipôlaire}~: $V_{\min} < 0V$.
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\begin{tikzpicture}
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\end{tikzpicture}
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\paragraph{CAN linéaire et centré en zéro}
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|
\emph{Unipolaire}
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\begin{tikzpicture}
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\end{tikzpicture}
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La tension codée vaut la $(\text{valeur binaire})_{10}q - \frac{1}{2}q$.
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\end{document}
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