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\documentclass[a4paper,french,11pt]{article}
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\title{Analyse}
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\author{}
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\date{Dernière compilation~: \today{} à \currenttime}
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\usepackage{styles}
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\begin{document}
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\maketitle
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\tableofcontents
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\clearpage
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\paragraph{Trigonométrie}
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\begin{tabular}{c|ccccc}
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\toprule
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x & 0 & $\frac{\pi}{6}$ & $\frac{\pi}{4}$ & $\frac{\pi}{3}$ & $\frac{\pi}{2}$ \\
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\midrule
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|
$\sin{x}$ & 0 & $\frac{1}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & 1 \\
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\midrule
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|
$\cos{x}$ & 1 & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{1}{2}$ & 0 \\
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|
\midrule
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|
$\frac{\sin{x}}{\cos{x}} = \tan{x}$ & 0 & $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ & 1 & $\sqrt{3}$ & impossible \\
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|
\bottomrule
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\end{tabular}
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\paragraph{Exponentielle et Logarithme}
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\hfill
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$e^0 = 1 ; e^1 = e$
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\hfill
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$\ln{0} = \text{impossible~; } \ln{1} = 0 \text{~; } \ln{e} = 1$
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\paragraph{Dérivées et Primitives}
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\begin{multicols}{2}
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\begin{tabularx}{\linewidth}{YY}
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\toprule
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Primitive --- $f(x)$ & Dérivée --- $f'(x)$ \\
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\toprule
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$a$ & 0 \\
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\midrule
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$ax$ & $a$ \\
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\midrule
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$\frac{1}{2} x^2$ & $x$ \\
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\midrule
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$x^n$ & $nx^{n-1}$ \\
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\midrule
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|
$\sqrt{x}$ & $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ \\
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\midrule
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$\frac{2}{3} x\sqrt{x}$ & $\sqrt{x}$ \\
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\midrule
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|
$e^{ax}$ & $ae^{ax}$ \\
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\midrule
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|
$a^x$ & $a^x \ln{a}$ \\
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\midrule
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$\ln{|x|}$ & $\frac{1}{x}$ \\
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\midrule
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$-\frac{1}{x}$ & $\frac{1}{x^2}$ \\
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\midrule
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|
$\cos{x}$ & $-\sin{x}$ \\
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\midrule
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|
$\sin{x}$ & $\cos{x}$ \\
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\midrule
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|
$\tan{x}$ & $1 + \tan^2{x} = \frac{1}{\cos^2{x}}$ \\
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\midrule
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|
$\cot{x}$ & $-1 - \cot^2{x} = \frac{-1}{\sin^2{x}}$ \\
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|
\midrule
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|
$\arccos{x}$ & $\frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}$ \\
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|
\midrule
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|
$\arcsin{x}$ & $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ \\
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|
\midrule
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|
$\arctan{x}$ & $\frac{1}{1 + x^2}$ \\
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|
\bottomrule
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|
\end{tabularx}
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\columnbreak
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\begin{tabularx}{\linewidth}{lY}
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\toprule
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\multirow{2}{*}{Linéarité} & $(u + v)' = u' + v'$ \\
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& $(au)' = au'$ \\
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\midrule
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Produit & $(uv)' = u'v + uv'$ \\
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\midrule
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|
Inverse & $\left(\frac{1}{v}\right)' = - \frac{v'}{v^2}$ \\
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\midrule
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|
Quotient & $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ \\
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\midrule
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|
Composée & $(f(u))' = u'f'(u)$ \\
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|
\bottomrule
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\end{tabularx}
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\begin{tabularx}{\linewidth}{YY}
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\toprule
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Fonction & Primitive \\
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\toprule
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|
$u'u^n$ & $\frac{u^{n+1}}{n+1}$ \\
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\midrule
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|
$\frac{u'}{u^2}$ & $-\frac{1}{u}$ \\
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|
\midrule
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|
$\frac{u'}{\sqrt{u}}$ & $2\sqrt{u}$ \\
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|
\midrule
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|
$u'\cos{u}$ & $\sin{u}$ \\
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|
\midrule
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|
$u'\sin{u}$ & $-\cos{u}$ \\
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|
\midrule
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|
$\frac{u'}{u}$ & $\ln{|u|}$ \\
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|
\midrule
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|
$u'e^u$ & $e^u$ \\
|
|
\midrule
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|
$\frac{u'}{1 + u^2}$ & $\arctan{u}$ \\
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|
\bottomrule
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|
\end{tabularx}
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|
\end{multicols}
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\paragraph{Intégrales}\\
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$\int_a^b f(x)\dif x = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$
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\begin{tabular}{|c|c|}
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\toprule
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|
IPP~: & changement de variables~: \\
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\midrule
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|
$\int_a^b uv'\dif x = [uv]_a^b - \int_a^b u'v\dif x$ & $\int_a^b f(x)\dif x = \int_{u(a)}^{u(b)} f(u)\frac{\dif u}{u'}$ \\
|
|
\bottomrule
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|
\end{tabular}
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|
\paragraph{Équations différentielles}
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\begin{tabularx}{\linewidth}{lllc}
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\toprule
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\multicolumn{2}{l}{Type d'E.D.} & Solutions & \\
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\toprule
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|
\multicolumn{2}{l}{$ay' + by = 0$} & $\lambda e^{rx} \quad \text{ avec } r = \frac{-b}{a}$ & $a, b, \lambda\in\mathbb{R}$ \\
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|
\midrule
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|
\multicolumn{2}{l}{$ay' + by = f(x)$} & $y_0 + \lambda e^{rx} \quad \text{ avec } r = \frac{-b}{a}$ & \makecell{$y_0$ solution particulière de \\ $ay' + by = f(x)$ \\ $f$ une fonction et $a, b, \lambda\in\mathbb{R}$} \\
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|
\midrule
|
|
\multirow{3}{*}{$ay'' + by' + cy = 0$} & $\Delta > 0$ & $\lambda e^{r_1 x} + \mu e^{r_2 x}$ & \multirowcell{3}[0pt][c]{$\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ \\ $\alpha = \frac{-b}{2a} \quad \beta = \frac{\sqrt{|\Delta|}}{2a}$} \\
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|
\cline{2-3}
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|
& $\Delta = 0$ & $(\lambda x + \mu) e^{r_0 x}$ & \\
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|
\cline{2-3}
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|
& $\Delta < 0$ & $e^{\alpha x}(\lambda\cos{(\beta x)} + \mu\sin{(\beta x)})$ & \\
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|
\bottomrule
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|
\end{tabularx}
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|
\paragraph{Solutions particulières des équations différentielles de 2\up{nd} ordre}
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\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
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\toprule
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\multicolumn{2}{c}{Second membre du type $e^{\alpha x}P(x)$} \\
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|
$\alpha$ non racine & $y_1 = e^{\alpha x} Q(x)$ \\
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|
$\alpha$ racine simple & $y_1 = x e^{\alpha x} Q(x)$ \\
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|
$\alpha$ racine double & $y_1 = x^2 e^{\alpha x} Q(x)$ \\
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\midrule
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|
\multicolumn{2}{c}{Second membre du type $e^{\alpha x}(P_1(x)\cos(\beta x) + P_2(x)\sin(\beta x))$} \\
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|
$\alpha + i\beta$ non racine & $y_1 = e^{\alpha x}(Q_1(x)\cos(\beta x) + Q_2(x)\sin(\beta x))$ \\
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|
$\alpha + i\beta$ racine & $y_1 = x e^{\alpha x}(Q_1(x)\cos(\beta x) + Q_2(x)\sin(\beta x))$ \\
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|
\bottomrule
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\end{tabularx}
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\paragraph{Intégrales généralisées}
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Intégrales de référence~:
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\begin{tabular}{lcc}
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\toprule
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Intégrale & converge si & diverge si \\
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\toprule
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$\int_a^{+\infty}\frac{1}{x^{\alpha}}\dif x$ & $\alpha > 1$ & $\alpha \leq 1$ \\
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$\int_a^{+\infty}e^{-\alpha x}\dif x$ & $\alpha > 0$ & $\alpha \leq 0$ \\
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$\int_a^{+\infty}x^n e^{-\alpha x}\dif x$ & $\alpha > 0$ & $\alpha \leq 0$ \\
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|
$\int_a^{+\infty}\frac{1}{x^{\alpha}(\ln x)^{\beta}}\dif x$ & $(\alpha > 1)$ ou $(\alpha = 1 \text{ et }\beta > 1)$ & $(\alpha < 1)$ ou $(\alpha = 1 \text{ et }\beta \leq 1)$ \\
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|
\bottomrule
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|
\end{tabular}
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|
Majoration, minoration~:
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\begin{tabular}{lll}
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$0 \leq f(x) \leq g(x)$ & $\int_a^{+\infty}g(x)\dif x$ converge $\implies \int_a^{+\infty}f(x)\dif x$ converge aussi \\
|
|
& $\int_a^{+\infty}f(x)\dif x$ diverge $\implies \int_a^{+\infty}g(x)\dif x$ diverge aussi \\
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|
\end{tabular}
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\paragraph{Séries de Fourier}
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$S_f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_n\cos{\frac{2\pi nx}{T}} + b_n\sin{\frac{2\pi nx}{T}}\right)$
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|
avec
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\hfill
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$a_0 = \frac{1}{T} \int_{-L}^L f(x) \dif x$
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\hfill
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$a_n = \frac{2}{T} \int_{-L}^L f(x) \cos{\frac{2\pi nx}{T}} \dif x$
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|
\hfill
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|
$b_n = \frac{2}{T} \int_{-L}^L f(x) \sin{\frac{2\pi nx}{T}} \dif x$
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$f$ paire $\implies b_n = 0$ \\
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|
$f$ impaire $\implies a_0$ et $a_n = 0$
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\hfill
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$\cos(n\pi) = (-1)^n$
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\qquad
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$\sin(n\pi) = 0$
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\hfill{} \\
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Égalité de Parseval~:
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\hfill
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$\frac{1}{T}\int_{-L}^L f^2(x) \dif x = a_0^2 + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n^2 + b_n^2)$
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\hfill{}
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\clearpage
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\section{Rappel sur les dérivées}
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\subsection{Définition}
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Soit une fonction $f$ définie au voisinage d'un réel $a$.
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On dit que $f$ est dérivable en $a$ s'il existe un réel $l$ (appelé nombre dérivé de $f$ en $a$), tel que l'on ait une des deux propriétés suivantes~:
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = l$
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\item $\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = l$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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Alors $f'(a) = l$.
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\subsection{Interprétation graphique}
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\begin{multicols}{2}
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\includegraphics[width=0.4\textwidth]{./img/rappel-deriv-int-graph.png}
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Au point $A = (a, y_a = f(a))$, la droite $\Delta$ est la tangente de $f(x)$ en $A$.
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\begin{displaymath}
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\Delta : y = px + m
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\end{displaymath}
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La dérivée donne la pente de la droite $\Delta$.
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\begin{displaymath}
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p = f'(a)
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\end{displaymath}
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\end{multicols}
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Ainsi~:
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\begin{itemize}
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\item si $f'(a) < 0$ alors $f$ est décroissante
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\item si $f'(a) > 0$ alors $f$ est croissante
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|
\item si $f'(a) = 0$ alors $f$ passe par un extremum (max, min, ou point d'inflexion)
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\end{itemize}
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\clearpage
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\section{Techniques d'intégration}
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\subsection{Intégration par identification}
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Il s'agit d'essayer de reconnaître une des formes de primitives composées, pour éviter de calculer des expressions complexes à la main.
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\subsection{Intégration par parties}
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\paragraph{Mnémotechnique}
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Il s'agit de trouver quelle expression attribuer à $u$ et quelle expression attribuer à $v'$.
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Un moyen mnémotechnique est~:
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\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
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|
\multirow{6}{*}{dérivation} & ALPES & \multirow{6}{*}{intégration} \\
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& A~: $\arctan$ & \\
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& L~: $\ln$ & \\
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& P~: polynômes & \\
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& E~: $e$ & \\
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& S~: $\sin \text{ et } \cos$ & \\
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|
\end{tabularx}
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\paragraph{Exemple}
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\begin{align*}
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I = \int_0^1 xe^{2x}\dif x \\
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u &= x & u' &= 1 \\
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v' &= e^{2x} & v &= \frac{1}{2} e^{2x} \\
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|
\end{align*}
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La formule $\int_0^1 uv'\dif x = [uv]_0^1 - \int_0^1 u'v\dif x$ devient~:
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\begin{align*}
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I &= [\frac{x}{2} e^{2x}]_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{2} e^{2x}\dif x \\
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&= [\frac{x}{2} e^{2x}]_0^1 - \frac{1}{2} [\frac{1}{2} e^{2x}]_0^1 \\
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|
&= [\frac{x}{2} e^{2x}]_0^1 - \frac{1}{4} [e^{2x}]_0^1 \\
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|
&= \frac{e^2}{2} - \frac{1}{4} (e^2 - e^0) \\
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&= \frac{e^2}{2} - \frac{e^2 - 1}{4} \\
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&= \frac{e^2 + 1}{4} \\
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\end{align*}
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\subsection{Intégration par changement de variables}
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\paragraph{Exemple}
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\begin{align*}
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\int_0^{\ln{\sqrt{3}}} \frac{1}{e^x + e^{-x}}\dif x\text{,\quad on pose }u&=e^x \\
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u' &= e^x = \frac{\dif u}{\dif x} \\
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|
\dif x &= \frac{\dif u}{e^x} = \frac{\dif u}{u}
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\end{align*}
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Cela nous donne~:
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\begin{align*}
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\int_{e^0}^{e^{\ln{\sqrt{3}}}} \frac{1}{u + \frac{1}{u}}\,\frac{\dif u}{u} \\
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|
&= \int_1^{\sqrt{3}} \frac{1}{u^2 + 1}\dif u \\
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&= [\arctan{u}]_1^{\sqrt{3}} \\
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&= \arctan{\sqrt{3}} - \arctan{1} \\
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&= \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12} \\
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|
\end{align*}
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|
\clearpage
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\section{Équations différentielles}
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On étudie ici les équations différentielles \emph{linéaires} et à \emph{coefficients constants}.
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\subsection{Équations différentielles du 1\up{er} ordre}
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Elles sont de la forme $\color{red}{ay' + by = h(x)} \quad (E)$ \quad où $a, b \in \mathbb{R}^*$ et où $y = y(x)$ est la fonction recherchée.
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|
$(E)$ est linéaire car $y$ intervient de manière linéaire~: il n'y a pas de terme du type $y^3, y^2, \sin{y}$, etc\ldots
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Résoudre une telle équation différentielle se fait en 3 étapes.
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\subsubsection{Trouver la solution homogène ($y_0$)}
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On commence par résoudre l'équation homogène (c'est à dire sans la fonction $h(x)$) associée~:
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\begin{equation*}
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ay_0' + by_0 = 0 \quad (E_0)
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\end{equation*}
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|
Cela nous donne une équation caractéristique~:
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\begin{align*}
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ar + b &= 0 \\
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r &= -\frac{b}{a}
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|
\end{align*}
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La solution de $(E_0)$ est alors $\color{red}{y_0 = \lambda e^{rx}} \quad \text{ où } \lambda\in\mathbb{R}$.
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\subsubsection{Trouver une solution particulière ($y_1$)}
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On cherche maintenant une solution particulière de $(E)$ ($ay' + by = h(x)$).
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Pour cela, on va passer par une fonction $y_1$ de même type que la fonction $h(x)$~:
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|
\begin{itemize}
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|
\item Pour $h(x) = P_n(x)$, polynôme de degré $n$
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\begin{equation*}
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|
\color{red}{y_1 = Q_n(x)} \text{, polynôme de même degré $n$}
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|
\end{equation*}
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\begin{align*}
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x &\rightarrow Ax + B \\
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|
x^2 &\rightarrow Ax^2 + Bx + C \\
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x^3 &\rightarrow Ax^3 + Bx^2 + Cx + D \\
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|
\dots
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|
\end{align*}
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|
\item Pour $h(x) = P_n(x) e^{\lambda x}$
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\begin{enumerate}
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|
\item si $\lambda \neq r$~:
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\begin{equation*}
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\color{red}{y_1(x) = Q_n(x) e^{\lambda x}}
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|
\end{equation*}
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|
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|
\item si $\lambda = r$~:
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|
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|
\begin{equation*}
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|
\color{red}{y_1(x) = x Q_n(x) e^{\lambda x}}
|
|
\end{equation*}
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|
|
|
\end{enumerate}
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|
\item Pour $h(x) = \alpha\cos{px} + \beta\sin{px}$
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\begin{equation*}
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|
\color{red}{y_1(x) = A\cos{px} + B\sin{px}}
|
|
\end{equation*}
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|
|
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\end{itemize}
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On applique alors l'équation de départ à $y_1$~:
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\begin{equation*}
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Ay_1' + By_1 = h(x)
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\end{equation*}
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Et on la résoud pour trouver $A, B, C, \dots$.
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Cela nous donne $y_1$, solution particulière.
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\subsubsection{Écrire la solution générale ($y$)}
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La solution générale de $(E)$ s'écrit~:
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\begin{equation*}
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\color{red}{y = y_0 + y_1}
|
|
\end{equation*}
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|
\subsection{Équations différentielles du 2\up{nd} ordre}
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Elles sont de la forme $\color{red}{ay'' + by' + cy = g(x)} \quad (E) \quad \text{ où } a, b, c \in \mathbb{R}$
|
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|
Là encore, on passe par les 3 mêmes étapes que pour les équations différentielles du 1\up{er} ordre.
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|
\subsubsection{Trouver la solution homogène ($y_0$)}
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|
L'équation homogène associée est~:
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\begin{equation*}
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ay'' + by' +cy = 0 \quad (E_0)
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|
\end{equation*}
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|
Cela nous donne une équation caractéristique~:
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\begin{align*}
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|
&ar^2 + br + c = 0 \\
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&\Delta = b^2 - 4ac \quad \text{(le discriminant)}
|
|
\end{align*}
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|
|
|
\begin{itemize}
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|
|
\item si $\Delta > 0$, l'équation caractéristique possède deux racines réelles distinctes $
|
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\left\{
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|
\begin{array}{l}
|
|
r_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \\
|
|
r_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \\
|
|
\end{array}
|
|
\right.$
|
|
|
|
Les solutions de $(E_0)$ sont alors~:
|
|
|
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\begin{equation*}
|
|
\color{red}{y_0 = \lambda e^{r_1 x} + \mu e^{r_2 x}} \quad \text{ où } \lambda, \mu \in \mathbb{R}
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\item si $\Delta = 0$, l'équation caractéristique possède une racine double $r_0$~:
|
|
\begin{align*}
|
|
\left\{
|
|
\begin{array}{l}
|
|
r_0 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \\\\
|
|
r_0 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \\
|
|
\end{array}
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|
\right.
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|
\implies
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|
\left\{
|
|
\begin{array}{l}
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|
r_0 = \frac{-b - 0}{2a} \\\\
|
|
r_0 = \frac{-b + 0}{2a} \\
|
|
\end{array}
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|
\right.
|
|
\implies
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|
r_0 = \frac{-b}{2a}
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\end{align*}
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Les solutions de $(E_0)$ sont alors~:
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\begin{equation*}
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\color{red}{y_0 = (\lambda x + \mu) e^{r_0 x}} \quad \text{ où } \lambda, \mu \in \mathbb{R}
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\end{equation*}
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\item si $\Delta < 0$, l'équation caractéristique possède deux racines complexes $
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\left\{
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\begin{array}{l}
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r_1 = \alpha + i\beta \\
|
|
r_2 = \alpha - i\beta \\
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|
\end{array}
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\right.$
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\begin{align*}
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\left\{
|
|
\begin{array}{l}
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|
r_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \\\\
|
|
r_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \\
|
|
\end{array}
|
|
\right.
|
|
\implies
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|
\left\{
|
|
\begin{array}{l}
|
|
r_1 = \frac{-b - i\sqrt{|\Delta|}}{2a} \\\\
|
|
r_2 = \frac{-b + i\sqrt{|\Delta|}}{2a} \\
|
|
\end{array}
|
|
\right.
|
|
\implies
|
|
\left\{
|
|
\begin{array}{l}
|
|
\alpha = \frac{-b}{2a} \\\\
|
|
\beta = \left|\frac{\sqrt{|\Delta|}}{2a}\right| \\
|
|
\end{array}
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|
\right.
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|
\end{align*}
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Les solutions de $(E_0)$ sont alors~:
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\begin{equation*}
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\color{red}{y_0 = e^{\alpha x}(\lambda\cos{(\beta x)} + \mu\sin{(\beta x)})} \quad \text{ où } \lambda, \mu \in \mathbb{R}
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\end{equation*}
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\end{itemize}
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\subsubsection{Trouver une solution particulière ($y_1$)}
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On cherche maintenant une solution particulière de $(E)$ ($ay'' + by' + cy = g(x)$).
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Pour cela, on a deux cas particuliers.
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\begin{enumerate}
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\item Second membre du type $e^{\alpha x}P(x)$
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|
On cherche une solution sous la forme~:
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\begin{itemize}
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|
\item $\color{red}{y_1 = e^{\alpha x} Q(x)}$ si $\alpha$ n'est pas une racine de l'équation caractéristique.
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|
\item $\color{red}{y_1 = x e^{\alpha x} Q(x)}$ si $\alpha$ est une racine simple de l'équation caractéristique.
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|
\item $\color{red}{y_1 = x^2 e^{\alpha x} Q(x)}$ si $\alpha$ est une racine double de l'équation caractéristique.
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\end{itemize}
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où $Q$ est un polynôme du même degré que $P(x)$.
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\item Second membre du type $e^{\alpha x}(P_1(x)\cos(\beta x) + P_2(x)\sin(\beta x))$
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|
On cherche une solution sous la forme~:
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\begin{itemize}
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\item $\color{red}{y_1 = e^{\alpha x}(Q_1(x)\cos(\beta x) + Q_2(x)\sin(\beta x))}$ si $\alpha + i\beta$ n'est pas une racine de l'équation caractéristique.
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|
\item $\color{red}{y_1 = x e^{\alpha x}(Q_1(x)\cos(\beta x) + Q_2(x)\sin(\beta x))}$ si $\alpha + i\beta$ est une racine de l'équation caractéristique.
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\end{itemize}
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où $Q_1$ et $Q_2$ sont deux polynômes de degré $n = \max\{deg P_1, deg P_2\}$
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\end{enumerate}
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\subsubsection{Écrire la solution générale ($y$)}
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La solution générale de $(E)$ s'écrit~:
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\begin{equation*}
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\color{red}{y = y_0 + y_1}
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\end{equation*}
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\clearpage
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\section{Intégrales généralisées}
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On étudie les intégrales du type~:
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\begin{itemize}
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\item $I = \int_a^{+\infty} f(x)\dif x$ où $f$ est continue sur $[a; +\infty[$.
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\item $J = \int_a^b f(x)\dif x$ où $\lim\limits_{x \to a} f(x) = +\infty$ est $f$ continue sur $]a; b[$.
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\end{itemize}
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On va ici étudier principalement les intégrales du type $I$.
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\subsection{Convergence --- Divergence}
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On définit $I = \int_a^{+\infty} f(x)\dif x = \lim\limits_{b \to +\infty} \int_a^b f(x)\dif x$
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Trois cas sont possibles~:
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\begin{enumerate}
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\item Limite finie~: l'intégrale \emph{converge}.
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\begin{equation*}
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\int_a^{+\infty} f(x)\dif x = \lim\limits_{b \to +\infty} \int_a^b f(x)\dif x = l
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\end{equation*}
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\item Limite infinie~: l'intégrale \emph{diverge}, mais la limite existe.
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\begin{equation*}
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\int_a^{+\infty} f(x)\dif x = \lim\limits_{b \to +\infty} \int_a^b f(x)\dif x = +\infty
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\end{equation*}
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\item Pas de limite~: l'intégrale \emph{diverge}.
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\end{enumerate}
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Par exemple~:
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\begin{align*}
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I &= \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2}\dif x \\
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&= \lim\limits_{b \to +\infty} \int_1^b \frac{1}{x^2}\dif x \\
|
|
&= \lim\limits_{b \to +\infty} [-\frac{1}{x}]_1^b \\
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|
&= \lim\limits_{b \to +\infty} (-\frac{1}{b} + 1) \\
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&= 0 + 1 \\
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|
&\implies I \text{ est convergente et } I = 1
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\end{align*}
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\subsection{Intégrales de référence avec une borne $a > 0$}
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\begin{align*}
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\int_a^{+\infty} \frac{1}{x^{\alpha}}\dif x \quad
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|
&\left\{
|
|
\begin{array}{l}
|
|
\text{converge si } \alpha > 1 \\
|
|
\text{diverge si } \alpha \leq 1 \\
|
|
\end{array}
|
|
\right. \\
|
|
\int_a^{+\infty} e^{-\alpha x}\dif x \quad
|
|
&\left\{
|
|
\begin{array}{l}
|
|
\text{converge si } \alpha > 0 \\
|
|
\text{diverge si } \alpha \leq 0 \\
|
|
\end{array}
|
|
\right. \\
|
|
\int_a^{+\infty} x^n e^{-\alpha x}\dif x \quad
|
|
&\left\{
|
|
\begin{array}{l}
|
|
\text{converge si } \alpha > 0 \\
|
|
\text{diverge si } \alpha < 0 \\
|
|
\end{array}
|
|
\right.
|
|
\quad \text{(on dit que l'exponentielle l'emporte)} \\
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|
\int_a^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha(\ln{x})^{\beta}} \dif x \quad
|
|
&\left\{
|
|
\begin{array}{l}
|
|
\text{converge si } (\alpha > 1) \text{ ou } (\alpha = 1 \text{ et } \beta > 1) \\
|
|
\text{diverge si } (\alpha = 1 \text{ et } \beta \leq 1) \text{ ou } (\alpha < 1) \\
|
|
\end{array}
|
|
\right.
|
|
\end{align*}
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\subsection{Majoration et minoration d'intégrales pour les fonctions positives}
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Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur $[a, +\infty[$ et $0 \leq f(x) \leq g(x)$, alors~:
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\begin{align*}
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\int_a^{+\infty} g(x)\dif x \text{ converge } &\implies \int_a^{+\infty} f(x)\dif x \text{ converge aussi} \quad &\color{blue}{(1)} \\
|
|
\int_a^{+\infty} f(x)\dif x \text{ diverge } &\implies \int_a^{+\infty} g(x)\dif x \text{ diverge aussi} \quad &\color{blue}{(2)} \\
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\end{align*}
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\textcolor{blue}{(1)} permet de montrer la convergence de $-\int_a^{+\infty} f(x)\dif x$ par majoration.
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|
\textcolor{blue}{(2)} permet de montrer la divergence de $-\int_a^{+\infty} g(x)\dif x$ par minoration.
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\subsection{Équivalents pour les fonctions positives}
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Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a, +\infty[$ avec $f(x) \geq 0$ et $g(x) \geq 0$.
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Si $f(x) \sim g(x)$ quand $x \rightarrow +\infty$, alors $\int_a^{+\infty} f(x)\dif x$ converge $\iff \int_a^{+\infty} g(x)\dif x$ converge.
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|
On peut aussi dire que $\frac{f(x)}{g(x)} \rightarrow 1$ quand $x \rightarrow +\infty$.
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\clearpage
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\section{Séries de Fourier}
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\subsection{Définition}
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Soit $f$ une fonction $T$-périodique.
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On pose que $L = \frac{T}{2}$.
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La série de Fourier associée à $f$ est~:
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\begin{align*}
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S_f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_n\cos{\frac{2\pi nx}{T}} + b_n\sin{\frac{2\pi nx}{T}}\right) \\
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|
\text{avec }
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a_0 &= \frac{1}{T} \int_{-L}^L f(x) \dif x \\
|
|
a_n &= \frac{2}{T} \int_{-L}^L f(x) \cos{\frac{2\pi nx}{T}} \dif x \\
|
|
b_n &= \frac{2}{T} \int_{-L}^L f(x) \sin{\frac{2\pi nx}{T}} \dif x
|
|
\end{align*}
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\subsection{Théorême de Dirichlet}
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Plusieurs conditions~:
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\begin{itemize}
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\item $f$ est continue sur $[a;b]$ \\
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\item $f$ est dérivable par morceaux sur $[a;b]$ \\
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\item $\forall x_0 \in [a;b]$, \quad $f(x_0^+) et f(x_0^-)$ sont finis et existent
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\end{itemize}
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|
Alors la série de Fourier de $f$ converge vers~:
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\begin{itemize}
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\item $f(x)$ si $f$ est continue en $x$ \\
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\item $\frac{f(x_0^+) + f(x_0^-)}{2}$ si $f$ est discontinue en $x$
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\end{itemize}
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\subsection{Remarques}
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\subsubsection{$f$ paire ($f(-x) = f(x)$)}
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\begin{align*}
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\forall n \in \mathbb{N}^* \quad
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b_n &= 0 \\
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a_n &= \frac{2}{T} \int_{-L}^L f(x) \cos{\frac{2n\pi x}{T}} \dif x \\
|
|
&= \frac{4}{T} \int_0^L f(x) \cos{\frac{2n\pi x}{T}} \dif x
|
|
\end{align*}
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\subsubsection{$f$ impaire ($f(-x) = -f(x)$)}
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\begin{align*}
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|
\forall n \in \mathbb{N} \quad
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a_n &= 0 \\
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|
b_n &= \frac{2}{T} \int_{-L}^L f(x) \sin{\frac{2n\pi x}{T}} \dif x \\
|
|
&= \frac{4}{T} \int_0^L f(x) \sin{\frac{2n\pi x}{T}} \dif x
|
|
\end{align*}
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|
\subsubsection{Astuces}
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\begin{itemize}
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\item $\int_{-a}^{+a}$ impaire $= 0$ \\
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\item $\int_{-a}^{+a}$ paire $= 2\int_0^{+a}$ paire \\
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\item $\sin(n\pi) = 0 \quad \forall n \in \mathbb{N}$ \\
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\item $\cos(n\pi) = {(-1)}^n \quad \forall n \in \mathbb{N}$ \\
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\item $\cos(n \pm \frac{\pi}{2}) = \mp \sin{n}$ \\
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\end{itemize}
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Si on a la série de Fourier associée à $f(x)$ avec un $\cos$ et qu'on veut calculer la somme, on pose $x = 0$ car $\cos{0} = 1$.
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|
Si on a la série de Fourier associée à $f(x)$ avec un $\sin$ et qu'on veut calculer la somme, on pose $x = \frac{\pi}{2}$ car $\sin{\frac{\pi}{2}} = 1$.
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\subsection{Exemple}
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Soit $f$ une fonction ni paire ni impaire, périodique de période 10 et définie par~:
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\begin{align*}
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f(x) =
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\left\{
|
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\begin{array}{l}
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|
0 \quad \text{si } -5 < x < 0 \\
|
|
3 \quad \text{si } 0 < x < 5 \\
|
|
\end{array}
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|
\right.
|
|
\end{align*}
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer les coefficients de Fourier
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\begin{align*}
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T = 10 \implies L = 5 \\
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a_0 &= \frac{1}{5} \int_{-5}^5 f(x) \dif x \\
|
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&= \frac{1}{5} \left(\int_{-5}^0 f(x) \dif x + \int_0^5 f(x) \dif x \right) \\
|
|
&= \frac{1}{5} \left(\int_{-5}^0 0 \dif x + \int_0^5 3 \dif x \right) \\
|
|
&= \frac{3}{5} [x]_0^5 \\
|
|
a_0 &= 3
|
|
\\
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|
a_n &= \frac{1}{5} \int_{-5}^5 f(x) \cos{\frac{n\pi x}{5}} \dif x \\
|
|
&= \frac{1}{5} \left(\int_{-5}^0 f(x) \cos{\frac{n\pi x}{5}} \dif x
|
|
+ \int_0^5 f(x) \cos{\frac{n\pi x}{5}} \dif x \right) \\
|
|
&= \frac{1}{5} \left(\int_{-5}^0 0 \dif x
|
|
+ \int_0^5 3 \cos{\frac{n\pi x}{5}} \dif x \right) \\
|
|
&= \frac{1}{5} \left(3\int_0^5 \cos{\frac{n\pi x}{5}} \dif x \right) \\
|
|
&= \frac{3}{5} \left[\frac{\sin(n\pi x)}{5n\pi}\right]_0^5
|
|
= \frac{3}{5} \frac{\sin(n\pi 5)}{5n\pi}
|
|
= \frac{3}{5} \times 0 \\
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|
a_n &= 0 \quad \forall n \geq 0 \\
|
|
\\
|
|
b_n &= \frac{1}{5} \int_{-5}^5 f(x) \sin{\frac{n\pi x}{5}} \dif x \\
|
|
&= \frac{1}{5} \int_0^5 3 \sin{\frac{n\pi x}{5}} \dif x \\
|
|
&= \frac{3}{5} \int_0^5 \sin{\frac{n\pi x}{5}} \dif x \\
|
|
&= \frac{3}{5} \frac{5}{n\pi}\left[-\cos\frac{n\pi x}{5}\right]_0^5
|
|
= \frac{-3}{n\pi} [\cos(n\pi) - \cos{0}] \\
|
|
&= \frac{-3}{n\pi} [(-1)^n - 1] \\
|
|
b_n &= \frac{3[(-1)^{n+1} + 1]}{n\pi} \quad \forall n \geq 1
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\item Donner la série de Fourier associée à $f$
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|
\begin{align*}
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|
S_f(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} \left(a_n \cos{\frac{n\pi x}{5}} + b_n \sin{\frac{n\pi x}{5}}\right) \\
|
|
&= \frac{3}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} \left(\frac{3[(-1)^{n+1} + 1]}{n\pi} \sin{\frac{n\pi x}{5}}\right) \\ \\
|
|
S_f(x) &= \frac{3}{2} + \frac{3}{n\pi} \sum_{n=1}^{+\infty} \left([(-1)^{n+1} + 1] \sin{\frac{n\pi x}{5}}\right)
|
|
\end{align*}
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|
|
|
\end{enumerate}
|
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|
\subsection{Égalité de Parseval}
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|
L'égalité de Parseval permet de déterminer la somme en passant par les carrés.
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|
La fonction doit être continue ou au moins continue par morceaux.
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\begin{equation*}
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\frac{1}{T}\int_{-L}^L f^2(x) \dif x = a_0^2 + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n^2 + b_n^2)
|
|
\end{equation*}
|
|
|
|
\end{document}
|