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\documentclass[a4paper,french,12pt]{article}
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\title{Théorie des graphes}
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\author{}
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\date{Dernière compilation~: \today{} à \currenttime}
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\usepackage{../cours}
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\usepackage{tikz}
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\usetikzlibrary{shapes.multipart}
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\usetikzlibrary{automata, arrows.meta, positioning}
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\begin{document}
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\maketitle
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\tableofcontents
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\clearpage
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\section{Définitions}
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Un graphe est un ensemble de sommets qui possèdent des relations.
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Quand les relations sont symétriques, le graphe est \emph{non orienté}.
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Les relations sont alors appelées des \emph{arrêtes}.
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L'arrête $(x,y)$ est équivalente à l'arrête $(y,x)$.
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Quand les relations sont non symétriques, la relation dépend d'une direction.
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Le graphe est alors \emph{orienté} et les relations s'appelent des \emph{arcs}.
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Un graphe peut contenir des arcs et des arrêtes, mais on dira quand même qu'il est soit \emph{orienté} soit \emph{non orienté}.
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Dès qu'il existe des relations non symétriques, donc des arcs, on parle donc de graphe orienté.
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On peut ajouter une valeur aux relations (par exemple pour le calcul d'un temps de trajet, ou un coût pour le calcul d'une route OSPF).
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On parle alors de graphe \emph{valué}.
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S'il n'y pas de valeur associée aux relations, le graphe est \emph{non valué}.
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\subsection{Matrice d'un graphe orienté}
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\begin{multicols}{2}
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On peut passer d'une représentation graphique à un tableau~: \\\\
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\begin{tabularx}{\linewidth}{YYYYY}
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& A & B & C & D \\
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A & 0 & 1 & 1 & 1 \\
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B & 0 & 0 & 0 & 0 \\
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C & 0 & 1 & 0 & 1 \\
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D & 0 & 1 & 0 & 0 \\
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\end{tabularx}
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[-latex,auto,x=2cm,y=2cm]
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|
\node(a)[state] at (0,0) {A};
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\node(b)[state] at (2,0) {B};
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|
\node(c)[state] at (2,-2) {C};
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|
\node(d)[state] at (0,-2) {D};
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\path
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(a) edge (b)
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(a) edge (c)
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(a) edge (d)
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(c) edge (b)
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|
(c) edge (d)
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|
(d) edge (b)
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;
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\end{multicols}
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\subsection{Types de graphes}
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\subsubsection{Graphe Eulerien}
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\begin{itemize}
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\item Il existe un cycle passant par toutes les arrêtes.
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\item Le degré de tous les sommets est \emph{pair}.
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\end{itemize}
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\subsubsection{Graphe semi-Eulerien}
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\begin{itemize}
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\item Il existe un chemin avec un départ et une arrivée différents, tel que l'on passe par toutes les arrêtes.
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\item Seuls deux sommets sont de degrés \emph{impairs}.
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Ce sont le départ et l'arrivée.
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Les autres sommets sont de degré \emph{pair}.
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\end{itemize}
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\subsection{Fonction $\Gamma$}
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\subsubsection{Extrémité, prédécesseur, successeur}
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Soit $G=(S,A)$ un graphe.
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Soient $x$ et $y$ deux sommets de $S$.
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$a=(x,y)$ (arrête ou arc) étant un élément de l'ensemble $A$, $x$ et $y$ sont alors des \emph{extrémités} de $a$.
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Si $a$ est un arc (donc orienté) allant de $x$ à $y$, alors $x$ est le \emph{prédécesseur} de $y$ et $y$ est le \emph{successeur} de $x$.
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\subsubsection{Prédécesseurs et successeurs directs}
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$\Gamma^{-1}(x)$ désigne l'ensemble des prédécesseurs de $x$. \\
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$\Gamma^{+1}(x)$ désigne l'ensemble des successeurs de $x$.
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\subsubsection{Prédécesseurs et successeurs indirects}
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$\Gamma^{-n}(x)$ désigne l'ensemble des prédécesseurs de niveau $n$ de $x$. \\
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$\Gamma^{+n}(x)$ désigne l'ensemble des successeurs de niveau $n$ de $x$.
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On peut définir $\Gamma^{-n}(x)$ comme étant l'ensemble des prédécesseurs des $\Gamma^{-n+1}(x)$. \\
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On peut définir $\Gamma^{+n}(x)$ comme étant l'ensemble des successeurs des $\Gamma^{+n-1}(x)$.
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\subsubsection{Prédécesseurs et successeurs directs et/ou indirects}
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Les ensembles des prédécesseurs et successeurs de $x$ de niveau quelconque sont notés respectivement $\Gamma^{-*}(x)$ et $\Gamma^{+*}(x)$.
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On peut les calculer avec une somme infinie~:
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\begin{equation*}
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\Gamma^{+*}(x) = \Gamma^{+1}(x) \cup \Gamma^{+2}(x) \cup \Gamma^{+2}(x) \cup \cdots \cup \Gamma^{+n}(x)
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\end{equation*}
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|
Cette somme n'est pas infinie dans la mesure où le nombre de sommets est fini.
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Quand on compte les prédécesseurs ou les successeurs, à chaque étape ajoutant aux ensembles précédents, au bout d'un moment on va trouver quelque chose de stable.
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\subsection{Connexité}
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Si pour tout $x$ et tout $y$ d'un graphe il existe un chemin allant de $x$ à $y$, le graphe est dit connexe.
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Si le graphe est orienté, il est alors \emph{fortement connexe}.
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\subsection{Incidence}
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\node(x)[state] at (0,0) {x};
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|
\node(y)[state] at (2,0) {y};
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|
\path [->] (x) edge (y);
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|
\end{tikzpicture}
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|
\end{center}
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|
L'arc est incident de $x$ vers l'extérieur (parce qu'il sort de $x$) et de $y$ vers l'intérieur (parce qu'il entre dans $y$).
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\subsection{Degré d'un sommet}
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Le degré intérieur $d\text{°}^-(x)$ d'un sommet $x$ est le total d'incidents de $x$ vers l'intérieur. \\
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Le degré extérieur $d\text{°}^+(x)$ d'un sommet $x$ est le total d'incidents de $x$ vers l'extérieur.
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Le degré $d\text{°}(x)$ d'un sommet $x$ est la somme de $d\text{°}^-(x)$ et de $d\text{°}^+(x)$.
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\subsection{Point d'entrée}
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Un point d'entrée n'a pas de prédécesseur ($\Gamma^{-1}(x) = \emptyset$).
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\subsection{Point de sortie}
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Un point de sortie n'a pas de successeur ($\Gamma^{+1}(x) = \emptyset$).
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\subsection{Point isolé}
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Un point isolé est à la fois un point d'entrée et de sortie.
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Il n'a pas de successeur ni de prédécesseur ($\Gamma^{-1}(x) \cup \Gamma^{+1}(x) = \emptyset$).
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\subsection{Fermeture transitive}
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Une fermeture transitive est un ``raccourci'' entre deux sommets.
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Si un arc ou une arrête existe entre $x$ et $y$, la fermeture transitive de $x$ et $y$ est $(x,y)$.
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\section{Représentation et algorithmes généraux}
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On définit des matrices pour qu'une machine puisse avoir une représentation du graphe.
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\subsection{Matrices d'adjacence et d'incidence}
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\subsubsection{Matrice d'adjacence}
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On code à 1 quand les sommets sont reliés.
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\begin{center}
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\begin{tabular}{cc|cccccc|c}
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& & \multicolumn{6}{c}{sommets} & \\
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& & A & B & C & D & E & F & $d^+$ \\
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|
\hline
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\multirow{6}{*}{sommets} & A & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\
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& B & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \\
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& C & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & \\
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& D & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & \\
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& E & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & \\
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& F & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \\
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|
\hline
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& $d^-$ & 1 & & & & & & \\
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\end{tabular}
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\end{center}
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On peut ajouter le degré~: arcs entrants ($d^-$) ou arcs sortants ($d^+$).
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\paragraph{Exemple}
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\begin{multicols}{2}
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|
Non orienté~:
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\begin{tikzpicture}
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\node (a)[state] at (0,0) {A};
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|
\node (b)[state] at (2,0) {B};
|
|
\path
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|
(a) edge [loop above] (a)
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|
(a) edge (b)
|
|
;
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|
\end{tikzpicture}
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|
\begin{align*}
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|
\begin{pmatrix}
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1 & 1 \\
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|
1 & 0 \\
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|
\end{pmatrix}
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|
\end{align*}
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\columnbreak
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|
Orienté~:
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\begin{tikzpicture}[->]
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|
\node (a)[state] at (0,0) {A};
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|
\node (b)[state] at (2,0) {B};
|
|
\path
|
|
(a) edge [loop above] (a)
|
|
(a) edge (b)
|
|
;
|
|
\end{tikzpicture}
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|
\begin{align*}
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|
\begin{pmatrix}
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|
1 & 1 \\
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|
0 & 0 \\
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|
\end{pmatrix}
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|
\end{align*}
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|
\end{multicols}
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\subsubsection{Matrice d'incidence}
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On note -1 pour une transition entrante et +1 pour une transition sortante.
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Pour les boucles, on note 2.
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\begin{center}
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\begin{tabular}{cc|cccccc}
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|
& & \multicolumn{6}{c}{nombre d'arcs} \\
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& & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
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|
\hline
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|
\multirow{6}{*}{sommets} & A & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
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& B & +1 & +1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\
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|
& C & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
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|
& D & 0 & -1 & -1 & +1 & 0 & 0 \\
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|
& E & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
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|
& F & 0 & 0 & +1 & 0 & 0 & 2 \\
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|
\end{tabular}
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|
\end{center}
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\subsection{Algorithmes généraux}
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\subsubsection{Calcul de rang}
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\subsubsection{Détection de cycle (algorithme de Rosalind-Marimond)}
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L'algorithme de Rosalind-Marimond supprime les $d^-$ (connexions entrantes) et les $d^+$ (connexions sortantes) à chaque étape.
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|
\subsubsection{Parcours en largeur}
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On \emph{enfile} à chaque n\oe{}ud ses enfants directs.
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\begin{multicols}{2}
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\begin{tikzpicture}[yscale=1.5]
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|
\node (a) [state] at (0,0) {a};
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|
\node (b) [state] at (-2,-1) {b};
|
|
\node (c) [state] at (2,-1) {c};
|
|
\node (d) [state] at (-3,-2) {d};
|
|
\node (e) [state] at (-1,-2) {e};
|
|
\node (f) [state] at (1,-2) {f};
|
|
\node (g) [state] at (3,-2) {g};
|
|
\node (h) [state] at (-1,-3) {h};
|
|
\node (i) [state] at (3,-3) {i};
|
|
\node at (3, -3.5) {non visité};
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|
\path
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(a) edge (b)
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|
(a) edge (c)
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|
(b) edge (d)
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|
(b) edge (e)
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|
(c) edge (f)
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|
(c) edge (g)
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|
(e) edge (h)
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|
;
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|
\end{tikzpicture}
|
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|
\begin{itemize}
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\item a
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|
\item bc
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|
\item cde
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|
\item defg
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|
\item efg
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|
\item fgh
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|
\item gh
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|
\item h
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|
\end{itemize}
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|
\end{multicols}
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|
\subsubsection{Parcours en longueur}
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|
On \emph{empile} à chaque n\oe{}ud ses enfants directs.
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\begin{multicols}{2}
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|
\begin{tikzpicture}[yscale=1.5]
|
|
\node (a) [state] at (0,0) {a};
|
|
\node (b) [state] at (-2,-1) {b};
|
|
\node (c) [state] at (2,-1) {c};
|
|
\node (d) [state] at (-3,-2) {d};
|
|
\node (e) [state] at (-1,-2) {e};
|
|
\node (f) [state] at (1,-2) {f};
|
|
\node (g) [state] at (3,-2) {g};
|
|
\node (h) [state] at (-1,-3) {h};
|
|
\node (i) [state] at (3,-3) {i};
|
|
\node at (3, -3.5) {non visité};
|
|
\path
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|
(a) edge (b)
|
|
(a) edge (c)
|
|
(b) edge (d)
|
|
(b) edge (e)
|
|
(c) edge (f)
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|
(c) edge (g)
|
|
(e) edge (h)
|
|
;
|
|
\end{tikzpicture}
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|
\begin{itemize}
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|
\item a
|
|
\item bc
|
|
\item dec
|
|
\item ec
|
|
\item hc
|
|
\item c
|
|
\item fg
|
|
\item g
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\end{multicols}
|
|
|
|
|
|
\end{document}
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