\documentclass[a4paper,french,12pt]{article}

\title{Analyse}
\author{Alain OSTER --- \href{mailto:alain.oster@intervenants.efrei.fr}{\nolinkurl{alain.oster@intervenants.efrei.fr}}}
\date{Dernière compilation~: \today{} à \currenttime}

\usepackage{../cours}

\begin{document}

\maketitle
\tableofcontents
\clearpage

\section{Rappel sur les dérivées}

    \subsection{Définition}

        Soit une fonction $f$ définie au voisinage d'un réel $a$.
        On dit que $f$ est dérivable en $a$ s'il existe un réel $l$ (appelé nombre dérivé de $f$ en $a$), tel que l'on ait une des deux propriétés suivantes~:

        \begin{multicols}{2}

            \begin{enumerate}

                \item $\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = l$

                \item $\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = l$

            \end{enumerate}

        \end{multicols}

        Alors $f'(a) = l$.

    \subsection{Interprétation graphique}

        \begin{multicols}{2}

            \includegraphics[width=0.4\textwidth]{./img/rappel-deriv-int-graph.png}

            Au point $A = (a, y_a = f(a))$, la droite $\Delta$ est la tangente de $f(x)$ en $A$.

            \begin{displaymath}
                \Delta : y = px + m
            \end{displaymath}

            La dérivée donne la pente de la droite $\Delta$.

            \begin{displaymath}
                p = f'(a)
            \end{displaymath}

        \end{multicols}

        Ainsi~:

        \begin{itemize}

            \item si $f'(a) < 0$ alors $f$ est décroissante

            \item si $f'(a) > 0$ alors $f$ est croissante

            \item si $f'(a) = 0$ alors $f$ passe par un extremum (max, min, ou point d'inflexion)

        \end{itemize}

    \subsection{Dérivées usuelles}

        \begin{tabularx}{\linewidth}{YYY}
            \toprule
            Fonction                                  & Dérivée                                 & Dérivabilité \\
            \toprule
            $x^n$ avec $n\in\mathbb{Z}$               & $nx^{n-1}$                              & $\mathbb{R}^*$ \\
            \midrule
            $x^\alpha$ avec $\alpha\in\mathbb{R}$     & $\alpha x^{\alpha - 1}$                 & $\mathbb{R}_+^*$ \\
            \midrule
            $\sqrt{x}$                                & $\frac{1}{2\sqrt{x}}$                   & $\mathbb{R}^*$ \\
            \midrule
            $e^{\alpha x}$ avec $\alpha\in\mathbb{C}$ & $\alpha e^{\alpha x}$                   & $\mathbb{R}$ \\
            \midrule
            $a^x$ avec $a\in\mathbb{R}_+^*$           & $a^x \ln{a}$                            & $\mathbb{R}$ \\
            \midrule
            $\ln{|x|}$                                & $\frac{1}{x}$                           & $\mathbb{R}^*$ \\
            \midrule
            $\cos{x}$                                 & $-\sin{x}$                              & $\mathbb{R}$ \\
            \midrule
            $\sin{x}$                                 & $\cos{x}$                               & $\mathbb{R}$ \\
            \midrule
            $\tan{x}$                                 & $1 + \tan^2{x} = \frac{1}{\cos^2{x}}$   & $\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2} + k \pi\middle|k\in\mathbb{Z}\right\}$ \\
            \midrule
            $\cot{x}$                                 & $-1 - \cot^2{x} = \frac{-1}{\sin^2{x}}$ & $\mathbb{R}\setminus\pi\mathbb{Z}$ \\
            \midrule
            $\arcsin{x}$                              & $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$              & $]-1; 1[$ \\
            \midrule
            $\arccos{x}$                              & $\frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}$             & $]-1; 1[$ \\
            \midrule
            $\arctan{x}$                              & $\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$              & $\mathbb{R}$ \\
            \bottomrule
        \end{tabularx}

    \subsection{Propriétés}

        Soit $a$ un réel et $u$, $v$, $f$ des fonctions dérivables.

        \begin{tabularx}{\linewidth}{lXl}
            \toprule
            \multirow{2}{*}{\textbf{Linéarité}} & \textcolor{red}{$(u + v)' = u' + v'$} & \\
                                                & \textcolor{red}{$(au)' = au'$}        & \\
            \midrule
            \textbf{Produit} & \textcolor{red}{$(uv)' = u'v + uv'$} & \\
            \midrule
            \textbf{Inverse} & \makecell{\textcolor{red}{$\left(\frac{1}{v}\right)' = - \frac{v'}{v^2}$} \\ pour $v \neq 0$} & (équivaut à $(v^{-1})'$ avec la formule usuelle) \\
            \midrule
            \textbf{Quotient} & \makecell{\textcolor{red}{$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$} \\ pour $v \neq 0$} & (on retrouve l'inverse pour $u = 1$) \\
            \midrule
            \textbf{Composée} & \textcolor{red}{$(f(u))' = u'f'(u)$} & \makecell{(si $u$ était une constante, la dérivée serait nulle) \\ ($f'(u) = \frac{df}{du}$ est la dérivée de $f$ par rapport à $u$)} \\
            \midrule
            \textbf{Réciproque} & \multicolumn{2}{l}{\textcolor{red}{$(f^{-1})' = \frac{1}{f' \text{ à } f^{-1}}$} ou bien \textcolor{red}{$f^{-1}(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$}} \\
            \bottomrule
        \end{tabularx}

        \subsubsection{Exemples pour la composée}

            $f(x) = {(3x + 5)}^4$

            \begin{align*}
                f'(x) &= (3x + 5)' \cdot 4{(3x + 5)}^3  & u &= 3x + 5 \\
                      &= 3 \cdot 4{(3x + 5)}^3          & u' &= 3 \\
                      &= 12{(3x + 5)}^3                 & (u^4)' &= 4u^3 \\
            \end{align*}

            $f(x) = \cos(5x + 7)$

            \begin{align*}
                f'(x) &= (5x + 7) \cdot (-\sin(5x + 7)) & u &= 5x + 7 \\
                      &= -5\sin(5x + 7)                 & u' &= 5 \\
                      &                                 & \cos(u)' &= -\sin(u) \\
            \end{align*}

\section{Techniques d'intégration}

    \subsection{Primitives}

        Si $f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$, $F(x)$ est une primitive de $f(x)$ si et seulement si $F$ est dérivable sur $I$ et $F'(x) = f(x)$.

        Avec $F(x)$ une primitive de $f(x)$ sur un intervalle $I$, $G(x)$ une primitive de $g(x)$ sur un intervalle $J$, et $k$ un nombre réel~:

        \begin{itemize}

            \item $F(x) + G(x)$ est une primitive de $f(x) + g(x)$ sur $I \cap J$

            \item $kF(x)$ est une primitive de $kf(x)$ sur $I$

        \end{itemize}

        \subsubsection{Primitives usuelles}

            \begin{tabularx}{\linewidth}{YYY}
                \toprule
                Fonction & Primitive & Intervalle \\
                \toprule
                $a$ ($a$ est une constante) & $ax + C$ & $\mathbb{R}$ \\
                \midrule
                $x$ & $\frac{1}{2}x^2 + C$ & $\mathbb{R}$ \\
                \midrule
                $x^n$ ($n\in\mathbb{N}^*$) & $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ & $\mathbb{R}$ \\
                \midrule
                $x^k$ ($k\in\mathbb{Z}$ et $k \neq -1$) & $\frac{x^{k+1}}{k+1} + C$ & $]{-\infty}; 0[$ ou $]0;+\infty[$ \\
                \midrule
                $x^a$ ($a\in\mathbb{R}$ et $k \neq -1$) & $\frac{x^{a+1}}{a+1} + C$ & $]0;+\infty[$ \\
                \midrule
                $\frac{1}{x^2}$ ($=x^{-2}$) & $-\frac{1}{x} + C$ ($=\frac{x^{-1}}{-1} + C$) & $]{-\infty}; 0[$ ou $]0;+\infty[$ \\
                \midrule
                $\frac{1}{\sqrt{x}}$ ($=x^{-\frac{1}{2}}$) & $2\sqrt{x} + C$ ($=\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C$) & $]0;+\infty[$ \\
                \midrule
                $\frac{1}{x}$ & $\ln{x} + C$ & $]0;+\infty[$ \\
                \midrule
                $e^x$ & $e^x + C$ & $\mathbb{R}$ \\
                \midrule
                $\cos{x}$ & $\sin{x} + C$ & $\mathbb{R}$ \\
                \midrule
                $\sin{x}$ & $-\cos{x} + C$ & $\mathbb{R}$ \\
                \midrule
                $\frac{1}{1 + x^2}$ & $\arctan{x} + C$ & $\mathbb{R}$ \\
                \bottomrule
            \end{tabularx}

        \subsubsection{Primitives de fonctions composées\label{subsubsec:primitives-composees}}

            \begin{tabularx}{\linewidth}{YY}
                \toprule
                Fonction & Primitive \\
                \toprule
                $u'u^n$ ($n\in\mathbb{N}$) & $\frac{u^{n+1}}{n+1} + C$ \\
                \midrule
                $u'u^a$ ($a\in\mathbb{R}$, $a \neq -1$) & $\frac{u^{a+1}}{a+1} + C$ \\
                \midrule
                $\frac{u'}{u^2}$ & $\frac{u^{-1}}{-1} + C$ \\
                \midrule
                $\frac{u'}{\sqrt{u}}$ & $2\sqrt{u} + C$ \\
                \midrule
                $u'\cos{u}$ & $\sin{u} + C$ \\
                \midrule
                $u'\sin{u}$ & $-\cos{u} + C$ \\
                \midrule
                $\frac{u'}{u}$ & $\ln{|u|} + C$ \\
                \midrule
                $u'e^u$ & $e^u + C$ \\
                \midrule
                $\frac{u'}{1 + u^2}$ & $\arctan{u} + C$ \\
                \bottomrule
            \end{tabularx}

    \subsection{Intégrales}

        Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et $a$ et $b$ sont deux réels de $I$, l'intégrale de $a$ à $b$ de la fonction $f$ se note $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$.

        On a alors \textcolor{red}{$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$}.

        \subsubsection{Intégration par identification}

            Il s'agit d'essayer de reconnaître une des formes de primitives composées (voir~\ref{subsubsec:primitives-composees}), pour éviter de calculer des expressions complexes à la main.

        \subsubsection{Intégration par parties}

            \paragraph{Formule}

                Si $u$ et $v$ sont dérivables sur $I$ et $u'$ et $v'$ sont continues sur $I$, alors pour tous réels $a$ et $b$ de $I$~:

                \begin{equation*}
                    \textcolor{red}{\int_a^b uv'\,\mathrm{d}x = [uv]_a^b - \int_a^b u'v\,\mathrm{d}x}
                \end{equation*}

            \paragraph{Mnémotechnique}

                Il s'agit donc de trouver quelle expression attribuer à $u$ et quelle expression attribuer à $v'$.
                Un moyen mnémotechnique est~:

                \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
                    \multirow{6}{*}{dérivation} & ALPES & \multirow{6}{*}{intégration} \\
                                                & A~: $\arctan$ & \\
                                                & L~: $\ln$ & \\
                                                & P~: polynômes & \\
                                                & E~: $e$ & \\
                                                & S~: $\sin \text{ et } \cos$ & \\
                \end{tabularx}

            \paragraph{Exemple}

                \begin{align*}
                    I = \int_0^1 xe^{2x}\,\mathrm{d}x \\
                    u &= x          & u' &= 1 \\
                    v' &= e^{2x}    & v &= \frac{1}{2} e^{2x} \\
                \end{align*}

                La formule $\int_0^1 uv'\,\mathrm{d}x = [uv]_0^1 - \int_0^1 u'v\,\mathrm{d}x$ devient~:

                \begin{align*}
                    I &= [\frac{x}{2} e^{2x}]_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{2} e^{2x}\,\mathrm{d}x \\
                      &= [\frac{x}{2} e^{2x}]_0^1 - \frac{1}{2} [\frac{1}{2} e^{2x}]_0^1 \\
                      &= [\frac{x}{2} e^{2x}]_0^1 - \frac{1}{4} [e^{2x}]_0^1 \\
                      &= \frac{e^2}{2} - \frac{1}{4} (e^2 - e^0) \\
                      &= \frac{e^2}{2} - \frac{e^2 - 1}{4} \\
                      &= \frac{e^2 + 1}{4} \\
                \end{align*}

\section{Equations différentielles}

\section{Intégrales généralisées}

\section{Séries de Fourier}

\end{document}
