\documentclass[a4paper,french,12pt]{article}

\title{Probabilités et statistiques --- TD1}
\author{}
\date{Dernière compilation~: \today{} à \currenttime}

\usepackage{styles}
\usepackage{xfrac}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{shapes.multipart}
\usetikzlibrary{automata, arrows.meta, positioning}

\begin{document}

\maketitle

\section{}

    \begin{enumerate}

        \item Quelle est la médiane de la série statistique suivante~?
            1, 2, 4, 6, 4

            Comme cette liste est impaire, il s'agit de la valeur 4.

        \item Le tableau suivant donne la répartition du nombre de points marqués par chaque lanceur lors d'une saison de Quidditch.

            \begin{tabularx}{\linewidth}{lYYYYY}
                \toprule
                \textbf{Lanceur} & Fred & George & Olivier & Angelina & Harry \\
                \midrule
                \textbf{Nombre de points marqués} & 11 & 12 & 7 & 3 &~? \\
                \bottomrule
            \end{tabularx}

            Sachant que l'équipe a marqué en moyenne 8 points, combien Harry en a-t-il marqués~?

            \begin{align*}
                \frac{11 + 12 + 7 + 3 + x}{5} = 8
                \iff
                \frac{33 + x}{5} = 8
                \implies
                x = 5 \times 8 - 33 = 7
            \end{align*}

        \item Anna a participé à 4 parties de golf puis à une dernière partie où elle a obtenu le score le plus faible de 80.

            \begin{center}
            \begin{tikzpicture}[scale=0.7, transform shape]
                \draw [thick] (80,0) -- (100,0);
                \foreach \i in {80,81,...,100}{
                    \draw [thick] (\i,-0.3) -- (\i,0.3);
                }
                \foreach \i in {80,85,90,95,100}{
                    \node at (\i,-0.7) {\Large \i};
                }
                \node [draw,circle,violet,fill] at (80,0.8) {};
                \foreach \i in {90,92,94,96}{
                    \node [draw,circle,teal,fill] at (\i,0.8) {};
                }
            \end{tikzpicture}
            \end{center}

            Quel est l'effet de cette dernière partie sur la moyenne et la médiane des scores de ses précédentes parties~?
            Interprétez les résultats.

            Médiane avant la dernière partie~:
            \begin{equation*}
                \frac{92 + 94}{2} = 93
            \end{equation*}

            Moyenne avant la dernière partie~:
            \begin{equation*}
                \frac{90 + 92 + 94 + 96}{4} = \frac{372}{4} = 93
            \end{equation*}

            Médiane après la dernière partie~:
            \begin{equation*}
                92
            \end{equation*}

            Moyenne après la dernière partie~:
            \begin{equation*}
                \frac{80 + 90 + 92 + 94 + 96}{5} = \frac{452}{5} = 90.4
            \end{equation*}

            On peut donc dire que la moyenne est plus affectée par un score extrême que la médiane.

    \end{enumerate}

\section{}

    Calculer la moyenne, la médiane et le mode des ensembles suivants~:

    \begin{enumerate}

        \item $\{3,5,2,6,5,9,5,2,8,6\}$

            Moyenne~:
            \begin{equation*}
                \sum_{i=1}^{n}x_i = \frac{51}{10} = 5.1
            \end{equation*}

            Médiane~:
            Pour un ensemble de $n$ éléments, si $n$ est impair, la médiane est la valeur situé à l'indice $\text{floor div}(n) + 1$.
            Si $n$ est pair, la médiane est la moyenne des valeurs situées à $\frac{n}{2}$ et $\frac{n}{2} + 1$.
            \begin{equation*}
                m = \frac{5+5}{2} = 5
            \end{equation*}

            Mode (valeur la plus fréquente)~: 5

        \item $\{1.28,2.16,0.75,1.44,2.05,0.65,1.26,1.73,1.81,0.92\}$

            Moyenne~: $\frac{14.05}{10} = 1.405$

            Médiane~: $\frac{1.28+1.44}{2} = 1.36$

            Mode~:
            Toutes les valeurs n'apparaissent qu'une fois.
            On parle donc de \emph{classe modale}~: $[1.26;1.28]$.

    \end{enumerate}

\section{}

    Le tableau ci-dessous représente la distribution du quotient intellectuel de 100 étudiants.
    Cette distribution est regroupée en 9 classes de largeur 10.

    \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|YYYYYYYYY|}
        \hline
        Centres de classes & 59.5 & 69.5 & 79.5 & 89.5 & 99.5 & 109.5 & 119.5 & 129.5 & 139.5 \\
        \hline
        Effectif par classe & 1 & 2 & 9 & 22 & 33 & 22 & 8 & 2 & 1 \\
        \hline
    \end{tabularx}

    \begin{enumerate}

        \item Calculer la moyenne et l'écart type de cette distribution.

            Moyenne~:
            \begin{equation*}
                M = \frac{\sum_{i=1}^9 n_i c_i}{n} = 99.3
            \end{equation*}

            Écart type~: \quad ($\overline{x}$ est la moyenne arithmétique)
            \begin{equation*}
                s^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i \overline{x})^2}{n} = \sqrt{9941}
            \end{equation*}

    \end{enumerate}

\end{document}