\documentclass[a4paper,french,12pt]{article}

\title{Optimisation et complexité --- DM1}
\author{Tunui Franken}
\date{Dernière compilation~: \today{} à \currenttime}

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\begin{document}

\maketitle

\section{Exercice 3}

    On considère le programme linéaire suivant~:

    \begin{align*}
        \text{Max} Z = x_1 - x_2 \\
        \left\{
        \begin{array}{l}
            2x_1 - x_2 \geq -4 \\
            x_1 - x_2 \leq 4 \\
            x_1 + x_2 \leq 10 \\
            x_1, x_2 \geq 0 \\
        \end{array}
        \right.
    \end{align*}

    \subsection{}
        Résoudre le programme par la méthode du simplexe, et déduire la solution optimale $S_1$.

        \begin{align*}
            \left\{
            \begin{array}{l}
                -2x_1 + x_2 + x_3 = 4 \\
                x_1 - x_2 + x_4 = 4 \\
                x_1 + x_2 + x_5 = 10 \\
                x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \geq 0 \\
            \end{array}
            \right.
        \end{align*}

        \begin{tabularx}{\linewidth}{|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|}
            \hline
            Max & \multicolumn{2}{|c|}{$C_i$} & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
            \hline
            $C_B$ & B & b & $x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & $x_4$ & $x_5$ \\
            \hline
            0 & $x_4$ & 4 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
            0 & $x_5$ & 4 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 \\
            0 & $x_6$ & 10 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
            \hline
            \multicolumn{2}{|c|}{$Z_i$} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
            \hline
            \multicolumn{3}{|c|}{$C_i - Z_i$} & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
            \hline
        \end{tabularx}

        \begin{tabularx}{\linewidth}{|Y|Y|Y|r|Y|Y|Y|Y|Y|}
            \hline
            Max & \multicolumn{2}{|c|}{$C_i$} & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
            \hline
            $C_B$ & B & b & $x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & $x_4$ & $x_5$ \\
            \hline
            0 & $x_4$ & 12 & 0 & -1 & 1 & 2 & 0 \\
            \rowcolor{Red} 1 & $x_1$ & 4 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 \\
            0 & $x_6$ & 6 & 0 & 2 & 0 & -1 & 1 \\
            \hline
            \multicolumn{2}{|c|}{$Z_i$} & 4 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 \\
            \hline
            \multicolumn{3}{|c|}{$C_i - Z_i$} & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\
            \hline
        \end{tabularx}

        La solution optimale est donc $S_1 = 4$.

\section{Exercice 4}

    On considère le programme linéaire suivant~:

    \begin{align*}
        \text{Max} Z = 3x_1 + 2x_2 \\
        \left\{
        \begin{array}{l}
            x_1 + 2x_2 \geq 5 \\
            x_1 + x_2 = 2 \\
            -7x_1 - 5x_2 \geq -35 \\
            x_1 \geq 0 \\
        \end{array}
        \right.
    \end{align*}

    \subsection{}
        Résoudre le programme par la méthode du simplexe, et déduire la solution optimale $S_1$.

        \begin{align*}
            \left\{
            \begin{array}{l}
                x_1 + 2x_2 - x_3 + x_4 = 5 \\
                x_1 + x_2 = 2 \\
                7x_1 + 5x_2 + x_5 = 35 \\
                x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \geq 0 \\
            \end{array}
            \right.
        \end{align*}

        \begin{tabularx}{\linewidth}{|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|}
            \hline
            Max   & \multicolumn{2}{|c|}{$C_i$} & 3     & 2     & 0     & 0     & 0 \\
            \hline
            $C_B$ & B                   & b     & $x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & $x_4$ & $x_5$ \\
            \hline
            0     & $x_3$               & 5     & 1     & 2     & -1    & 1     & 0     \\
            0     & $x_4$               & 2     & 1     & 1     & 0     & 0     & 0     \\
            0     & $x_5$               & 35    & 7     & 5     & 0     & 0     & 1     \\
            \hline
            \multicolumn{2}{|c|}{$Z_i$} & 0     & 0     & 0     & 0     & 0     & 0     \\
            \hline
            \multicolumn{3}{|c|}{$C_i - Z_i$}   & 3     & 2     & 0     & 0     & 0     \\
            \hline
        \end{tabularx}

        \begin{tabularx}{\linewidth}{|Y|Y|Y|r|Y|Y|Y|Y|}
            \hline
            Max   & \multicolumn{2}{|c|}{$C_i$} & 3     & 2     & 0     & 0     & 0 \\
            \hline
            $C_B$ & B                   & b     & $x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & $x_4$ & $x_5$ \\
            \hline
            0     & $x_3$               & 3     & 0     & 1     & -1    & 1     & 0     \\
            \rowcolor{Red}
            3     & $x_1$               & 2     & 1     & 1     & 0     & 0     & 0     \\
            0     & $x_5$               & 21    & 0     & -2    & 0     & 0     & 1     \\
            \hline
            \multicolumn{2}{|c|}{$Z_i$} & 6     & 3     & 3     & 0     & 0     & 0     \\
            \hline
            \multicolumn{3}{|c|}{$C_i - Z_i$}   & 0     & -1    & 0     & 0     & 0     \\
            \hline
        \end{tabularx}

        La solution optimale est donc $S_1 = 6$.

\end{document}