\documentclass[a4paper,french,12pt]{article}

\title{Optimisation et complexité --- Contrôle}
\author{Tunui Franken}
\date{\today{} --- \currenttime}

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\begin{document}

\maketitle

\section{Exercice 1}

    \subsection{Expliquer le processus de prise de décision dans le cadre d'un problème d'optimisation}

        Le processus de prise de décision est un processus en plusieurs étapes.
        Il faut d'abord identifier le problème et les paramètres.
        Ensuite il faut établir les solutions possibles, et enfin, parmi l'ensemble des solutions, établir la (ou les) solution(s) optimale(s).

    \subsection{Donner la différence entre les deux méthodes de résolution de programme linéaire (méthode graphique et méthode de simplexe)}

        La méthode graphique est la méthode visuelle la plus intuitive, qui consiste à représenter le problème sous forme d'ensemble de droites sur un plan (à deux dimensions) ou un volume (à trois dimensions).
        Cette représentation graphique sous entend qu'on ne peut pas utiliser la méthode graphique quand on a plus de 3 variables.

        La méthode simplexe consiste à itérer sur un tableau pour déterminer successivement la ou les solutions optimales par remplacement de variables.
        Elle a deux avantages~: elle ne se limite pas à un nombre de variables, et elle peut être appréhendée par un ordinateur parce qu'il s'agit d'un algorithme.

    \subsection{Citer les deux méthodes utilisées pour trouver le point qui rend l'objectif optimal}

        Les deux méthodes utilisées sont, comme cité précédemment, la méthode graphique et la méthode simplexe.

\section{Exercice 2}

    \subsection{Définir les variables}

        Les variables sont~: \texttt{Produit 1}, \texttt{Produit 2}, \texttt{Produit 3} et \texttt{Produit 4}.

    \subsection{Définir les contraintes}

        Les contraintes sont les quantités de ressources disponibles et que l'on ne doit donc pas dépasser.
        Il s'agit donc de la colonne \texttt{Stock}.

    \subsection{Définir la fonction objectif}

        On cherche à maximiser le chiffre d'affaires, donc le \texttt{Bénéfice}.
        La fonction objectif est donc, avec $x_1$ = \texttt{Produit 1}, $x_2$ = \texttt{Produit 2}, $x_3$ = \texttt{Produit 3} et $x_4$ = \texttt{Produit 4}~:
        \begin{align*}
            \text{Max } Z = 7x_1 + 9x_2 + 18x_3 + 17x_4 \\
            \text{avec }
            \left\{
            \begin{array}{l}
                2x_1 + 4x_2 + 5x_3 + 7x_4 \leq 42 \\
                x_1 + x_2 + 2x_3 + 2x_4 \leq 17 \\
                x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 3x_4 \leq 42 \\
                x_1, x_2, x_3, x_4 \geq 0 \\
            \end{array}
            \right.
        \end{align*}

    \subsection{Résoudre mathématiquement votre programme linéaire avec la méthode de simplexe}
        \begin{align*}
            \text{Max } Z = 7x_1 + 9x_2 + 18x_3 + 17x_4 \\
            \text{avec }
            \left\{
            \begin{array}{l}
                2x_1 + 4x_2 + 5x_3 + 7x_4 + x_5 = 42 \\
                x_1 + x_2 + 2x_3 + 2x_4 + x_6 = 17 \\
                x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 3x_4 + x_7 = 42 \\
                x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7 \geq 0 \\
            \end{array}
            \right.
        \end{align*}

        \begin{tabularx}{\linewidth}{|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|}
            \hline
            Max & \multicolumn{2}{|c|}{$C_i$} & 7 & 9 & 18 & 17 & 0 & 0 & 0 \\
            \hline
            $C_B$ & B & b & $x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & $x_4$ & $x_5$ & $x_6$ & $x_7$ \\
            \hline
            0 & $x_5$ & 42 & 2 & 4 & 5 & 7 & 1 & 0 & 0 \\
            0 & $x_6$ & 17 & 1 & 1 & 2 & 2 & 0 & 1 & 0 \\
            0 & $x_7$ & 42 & 1 & 2 & 3 & 3 & 0 & 0 & 1 \\
            \hline
            \multicolumn{2}{|c|}{$Z_i$} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
            \hline
            \multicolumn{3}{|c|}{$C_i - Z_i$} & 7 & 9 & 18 & 17 & 0 & 0 & 0 \\
            \hline
        \end{tabularx}

        \begin{tabularx}{\linewidth}{|Y|Y|Y|Y|Y|r|Y|Y|Y|Y|}
            \hline
            Max & \multicolumn{2}{|c|}{$C_i$} & 7 & 9 & 18 & 17 & 0 & 0 & 0 \\
            \hline
            $C_B$ & B & b & $x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & $x_4$ & $x_5$ & $x_6$ & $x_7$ \\
            \hline
            \rowcolor{Red} 18 & $x_3$ & 8.4 & 0.4 & 0.8 & 1 & 1.4 & 0.2 & 0 & 0 \\
            0 & $x_6$ & 0.2 & 0.2 & -0.6 & 0 & -0.8 & -0.4 & 1 & 0 \\
            0 & $x_7$ & 16.8 & -0.2 & -0.4 & 0 & -1.2 & -0.6 & 0 & 1 \\
            \hline
            \multicolumn{2}{|c|}{$Z_i$} & 151.2 & 7.2 & 14.4 & 18 & 25.2 & 3.6 & 0 & 0 \\
            \hline
            \multicolumn{3}{|c|}{$C_i - Z_i$} & -0.2 & -5.4 & 0 & -8.2 & -3.6 & 0 & 0 \\
            \hline
        \end{tabularx}

        La solution optimale est donc 151.2.

\end{document}
