\documentclass[a4paper,french,12pt]{article} \title{Communications Numériques --- TD1\\Expressions spectrales des codes numériques} \author{} \date{Dernière compilation~: \today{} à \currenttime} \usepackage{styles} \begin{document} \maketitle \section{Codage NRZ} Afin de réaliser une communication numérique sur un câble de transmission par voie électrique, on considère une suite numérique binaire $\{d_k\} = \{0,1\}$ aléatoire à valeurs equiprobables cadencée par une horloge de période T. On applique à cette information un codage \emph{trivial} consistant à associer la valeur \texttt{-V} à l'état binaire 0 et la valeur \texttt{+V} à l'état binaire 1. Ce code se nomme NRZ (Non Return to Zero). \begin{enumerate} \item \emph{% Représenter un tel signal en fonction du temps~; on le nommera $x_1(t)$. Que peut-on déjà en tirer comme propriétés (au sens de la fonction du temps)~? } \begin{multicols}{2} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=1,baseline=(current bounding box.center)] \draw[-latex] (0,0) -- (5.5,0); \draw[-latex] (0,-1.4) -- (0,1.6); \node[red] at (-0.3,-1) {\texttt{-V}}; \node[red] at (-0.3,1) {\texttt{+V}}; \foreach \i in {0,1,3}{\node at (\i+0.5,1.5) {0};} \foreach \i in {2,4}{\node at (\i+0.5,1.5) {1};} \draw[red,thick] (0,-1) -- (2,-1) -- (2,1) -- (3,1) -- (3,-1) -- (4,-1) -- (4,1) -- (5,1); \end{tikzpicture} \end{center} La valeur moyenne est nulle~: \(\overline{a} = \sum a_k p(a_k) = (-V) \times \frac{1}{2} + (+V) \times \frac{1}{2} = 0\) \end{multicols} \item \emph{% Afin d'évaluer la bande passante spectrale nécessaire à prévoir (ou à réserver) sur le câble, on cherche à exprimer le spectre d'un tel signal numérique. } \begin{enumerate} \item \emph{% Donner d'abord l'expression du formant de ce code (c'est-à-dire la fonction $g(t)$) ainsi que les valeurs des $a_k$ qui permettent d'exprimer le signal numérique $x(t)$ sous la forme $x_1(t) = \sum a_k g(t-kT)$. } \begin{equation*} x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k g(t-kT) = g(t) * \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k \delta(t-kT) \end{equation*} $g(t)$ est une fonction porte, centrée en 0. \item \emph{% Rechercher l'expression du spectre $G(f)$ de cette fonction $g(t)$ et de la densité spectrale de puissance associée~: $S_{gg}(f) = |G(f)|^2$. } \begin{equation*} |G(f)|^2 = |\mathrm{TF}(g(t))|^2 \end{equation*} \begin{align*} \implies \mathrm{TF}(g(t)) &= \int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}} g(t) e^{-j2\pi ft} \dif t \\ &= \int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}} 1 \cdot e^{-j2\pi ft} \dif t \\ &= \left[-\frac{e^{-j2\pi ft}}{j2\pi f}\right]_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}} = -\frac{e^{-j2\pi f \frac{T}{2}}}{j2\pi f} +\frac{e^{-j2\pi f \frac{-T}{2}}}{j2\pi f} = \frac{e^{j\pi fT} - e^{-j\pi fT}}{j2\pi f} \\ &= T \frac{\sin (\pi fT)}{\pi fT} = T \mathrm{sinc}(fT) \end{align*} \begin{equation*} \text{Donc } S_{gg}(f) = T^2\mathrm{sinc}^2(fT) \end{equation*} \item \emph{% Grâce à la formule de Bennett, exprimer la densité spectrale de puissance $S_{1xx}(f)$ associée au signal numérique $x_1(t)$ et la représenter. } \begin{equation*} S_{1xx}(f) = S_{gg}(f)\left[ \frac{\sigma_a^2}{T} + \frac{\overline{a}^2}{T^2} \Sh\left(\frac{f}{\sfrac{1}{T}}\right) + \frac{2}{T} \sum_{n=1}^{+\infty} (R_{aa}(n) - \overline{a}^2) \cos(2\pi nfT) \right] \end{equation*} \begin{itemize} \item $\overline{a} = E(a_k) = \sum a_k P(a_k) = a_0 P(a_0) + a_1 P(a_1) = -V \frac{1}{2} + V \frac{1}{2} = 0$ \item $\sigma_a^2 = E(a_k^2) - \overline{a}^2 = (-V)^2 \frac{1}{2} + V^2 \frac{1}{2} - 0^2 = V^2$ \item $R_{aa}(n) = E(a_k a_{k+n}) = E(a_k)\cdot E(a_{k+n}) = 0$ \end{itemize} \begin{equation*} S_{1xx}(f) = T^2\mathrm{sinc}^2(fT) \cdot \frac{V^2}{T} = V^2 T \mathrm{sinc}^2(fT) \end{equation*} \item \emph{% Que peut-on en déduire relativement à la bande passante nécessaire~? Quelle sera donc l'opération indispensable à réaliser~? } \end{enumerate} \end{enumerate} \clearpage \section{Codage 2B1Q --- NRZ} Dans le même contexte que précédemment, et avec la même source numérique binaire d'information, on a l'idée de réaliser le même type de codage, mais appliqué, non pas à chaque symbole, mais à chaque doublet de symboles. Ici, $2^2 = 4^1$, et le message est 1010110001. \begin{enumerate} \item \emph{% Définir un exemple de choix de valeurs $b_k$. Représenter à nouveau un tel signal $x_2(t)$ en fonction du temps~: $x_2(t) = \sum b_k g(t-kT)$ } \[ \begin{array}{ll} 00~: & -2V \\ 01~: & -1V \\ 10~: & +1V \\ 11~: & +2V \\ \end{array} \quad D = \frac{1}{T} \] \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=1, transform shape] \draw[-latex] (-1,0) -- (10,0); \draw[-latex] (0,-3) -- (0,3); \foreach \i in {-2,-1,1,2}{ \draw[dashed] (0,\i) -- (10,\i) node[at start,left]{\i V}; } \node at (1,-0.2) {\small T}; \foreach \i in {2,3,...,9}{ \node at (\i,-0.2) {\small \i T}; } \node[red] at (1,2.5) {10}; \node[red] at (3,2.5) {10}; \node[red] at (5,2.5) {11}; \node[red] at (7,2.5) {00}; \node[red] at (9,2.5) {01}; \draw[red,thick] (0,1) -- (4,1) -- (4,2) -- (6,2) -- (6,-2) -- (8,-2) -- (8,-1) -- (10,-1); \end{tikzpicture} \end{center} \item \emph{Exprimer la nouvelle densité spectrale de puissance $S_{2xx}(f)$ et la comparer à la précédente.} Le formant $g(t)$ est un signal porte sur $\{-T,T\}$. \begin{align*} S_{gg}(f) = |G(f)|^2 &= \left(\int_{-T}^{T} 1 \cdot e^{-j2\pi ft} \dif t\right)^2 \\ &= 4T^2\mathrm{sinc}^2(2ft) \end{align*} \begin{equation*} S_{2xx}(f) = S_{gg}(f)\left[ \frac{\sigma_a^2}{T} + \frac{\overline{a}^2}{T^2} \Sh\left(\frac{f}{\sfrac{1}{T}}\right) + \frac{2}{T} \sum_{n=1}^{+\infty} (R_{aa}(n) - \overline{a}^2) \cos(2\pi nfT) \right] \end{equation*} \begin{itemize} \item $\overline{a} = E(a_k) = (-2V)\frac{1}{4} + (-1V)\frac{1}{4} + 1V\frac{1}{4} + 2V\frac{1}{4} = 0$ \item $\sigma_a^2 = E(a_k^2) - \overline{a}^2 = \frac{4V^2 + 1V^2 + 1V^2 + 4V^2}{4} - 0 = \frac{5V^2}{2}$ \item $R_{aa}(n) = E(a_k a_{k+n}) = E(a_k) E(a_{k+n}) = 0$ \end{itemize} \begin{align*} S_{2xx}(f) &= 4T^2\mathrm{sinc}^2(2ft)\frac{5V^2}{2T} \\ &= 10V^2T\mathrm{sinc}^2(2ft) \\ \end{align*} \item \emph{Que peut-on en déduire et quel est l'intérêt d'un tel codage~?} La densité spectrale est plus grande, et la rapidité de modulation est donc réduite. On envoie donc plus de symboles sur la même unité de temps. \item \emph{Pourrait-on étendre ce principe à un codage appliqué sur un grand nombre de symboles consécutifs~?} Si le nombre de symboles est trop élevé, on ferait face à l'interférence inter-symboles. De plus, le bruit rend d'autant plus compliqué de différencier les symboles entre-eux quand ils sont proches. \end{enumerate} \clearpage \section{AMI/NRZ trivalent polaire} Le code AMI est défni par \( \left\{ \begin{array}{l} 0 \rightarrow 0 \\ 1 \rightarrow \pm V \text{ alternativement} \\ \end{array} \right. \) Le message est 11010011. \begin{enumerate} \item \emph{% Représenter un tel signal en fonction du temps~; on le nommera $x_3(t)$. Que peut-on déjà en tirer comme propriétés (au sens de la fonction du temps)~? } \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=1,baseline=(current bounding box.center)] \draw[-latex] (0,0) -- (8.5,0); \draw[-latex] (0,-1.4) -- (0,1.6); \node[red] at (-0.3,-1) {\texttt{-V}}; \node[red] at (-0.3,1) {\texttt{+V}}; \foreach \i in {2,4,5}{\node at (\i+0.5,1.5) {0};} \foreach \i in {0,1,3,6,7}{\node at (\i+0.5,1.5) {1};} \draw[red,thick] (0,1) -- (1,1) -- (1,-1) -- (2,-1) -- (2,0) -- (3,0) -- (3,1) -- (4,1) -- (4,0) -- (5,0) -- (5,0) -- (6,0) -- (6,-1) -- (7,-1) -- (7,1) -- (8,1) ; \end{tikzpicture} \end{center} La moyenne des valeurs est nulle~: \begin{equation*} \overline{a} = \sum a_k p(a_k) = (-V)\frac{1}{4} + V\frac{1}{4} + 0\frac{1}{2} = 0 \end{equation*} \item \emph{% Afin d'évaluer la bande passante spectrale nécessaire à prévoir (ou à réserver) sur le câble, on cherche à exprimer le spectre d'un tel signal numérique. } \begin{enumerate} \item \emph{% Donner d'abord l'expression du formant de ce code (c'est-à-dire la fonction $g(t)$) ainsi que les valeurs des $a_k$ qui permettent d'exprimer le signal numérique $x(t)$ sous la forme $x_3(t) = \sum a_k g(t-kT)$. } \item \emph{% Rechercher l'expression du spectre $G(f)$ de cette fonction $g(t)$ et de la densité spectrale de puissance associée~: $S_{gg}(f) = |G(f)|^2$. } \begin{align*} \mathrm{TF}(g(t)) = T\mathrm{sinc}(fT) \\ \implies S_{gg}(f) &= |T\mathrm{sinc}(fT)|^2 \\ &= T^2\mathrm{sinc}^2(fT) \end{align*} \item \emph{% Grâce à la formule de Bennett, exprimer la densité spectrale de puissance $S_{3xx}(f)$ associée au signal numérique $x_3(t)$ et la représenter. NB, la source est à mémoire~! } \begin{equation*} S_{3xx}(f) = S_{gg}(f)\left[ \frac{\sigma_a^2}{T} + \frac{\overline{a}^2}{T^2} \Sh\left(\frac{f}{\sfrac{1}{T}}\right) + \frac{2}{T} \sum_{n=1}^{+\infty} (R_{aa}(n) - \overline{a}^2) \cos(2\pi nfT) \right] \end{equation*} \begin{itemize} \item $\overline{a} = 0$ \item $\sigma_a^2 = E(a_k^2) - \overline{a}^2 = \frac{V^2}{4} + \frac{V^2}{4} + 0 \frac{1}{2} = \frac{V^2}{2}$ \item $R_{aa}(n) = E(a_k a_{k+n})$ \begin{align*} R_{aa}(1) &= \sum a_k a_{k+1} \cdot p(a_k a_{k+1}) \\ &= \end{align*} \end{itemize} \item \emph{% Quel est l'avantage de ce codage par rapport au codage NRZ~? } \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}