\documentclass{article}

\usepackage{amsmath}

\everymath{\displaystyle}
\begin{document}

\section{Rappel sur les dérivées}

    \subsection{Définition}

        Soit une fonction $f$ définie au voisinage d'un réel $a$.
        On dit que $f$ est dérivable en $a$ s'il existe un réel $l$ (appelé nombre dérivé de $f$ en $a$), tel que l'on ait une des deux propriétés suivantes~:

        \begin{enumerate}

            \item $\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = l$

            \item $\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = l$

        \end{enumerate}

        Alors $f'(a) = l$.

    \subsection{Interprétation graphique}

        Au point $A = (a, y_a = f(a))$, la droite $\Delta$ est la tangente de $f(x)$ en $A$.

        $\Delta : y = px + m$.

        La dérivée donne la pente de la droite $\Delta$~: $p = f'(a)$

        Ainsi~:

        \begin{itemize}

            \item si $f'(a) < 0$ alors $f$ est décroissante.

            \item si $f'(a) > 0$ alors $f$ est croissante.

            \item si $f'(a) = 0$ alors $f$ passe par un extremum (maximum, minimum, ou point d'inflexion).

        \end{itemize}

    \subsection{Propriétés}

        Soit $a$ un réel et $u$, $v$, $f$ des fonctions dérivables.

        \subsubsection{Linéarité}

            $(u + v)' = u' + v'$ \\
            $(au)' = au'$

        \subsubsection{Produit}

            $(uv)' = u'v + uv'$

        \subsubsection{Inverse}

            $\left(\frac{1}{v}\right)' = - \frac{v'}{v^2}$ pour $v \neq 0$, équivaut à $(v^{-1})'$ avec la formule usuelle.

        \subsubsection{Quotient}

            $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ pour $v \neq 0$ (on retrouve l'inverse pour $u = 1$).

        \subsubsection{Composée}

            $(f(u))' = u'f'(u)$ (si $u$ était une constante, la dérivée serait nulle).

            ($f'(u) = \frac{df}{du}$ est la dérivée de $f$ par rapport à $u$).

        \subsubsection{Réciproque}

            $(f^{-1})' = \frac{1}{f' \to f^{-1}}$
            ou bien
            $f^{-1}(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$

\section{Techniques d'intégration}

\section{Equations différentielles}

\section{Intégrales généralisées}

\section{Séries de Fourier}

\end{document}
