\documentclass[a4paper,french,12pt]{article}

\title{Théorie du signal}
\author{}
\date{Dernière compilation~: \today{} à \currenttime}

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\begin{document}

\maketitle
\tableofcontents

\clearpage

\section{Présentation}

    Un signal est la représentation d'une information ou d'un message.
    Dans ce cours, tous les signaux seront \emph{déterministes}~: ils peuvent être représentés par une fonction mathématique.

    Si la fréquence d'un signal est nulle, la fonction associée vaudra une constante.
    La variation du signal en fonction du temps est donc dûe à la fréquence.

    $f = 0 \implies$ fonction constante.

    Pour rendre exploitable un signal, on applique des opérations (\emph{traitement du signal})~:

    \begin{itemize}

        \item Amplification

        \item Filtrage

        \item Modulation

        \item Numérisation

    \end{itemize}

    La nature d'un signal peut être électrique, acoustique, optique\ldots

    Un signal peut évoluer en fonction du temps ou de l'espace (vidéo).
    Ici nous ne prendrons en compte que les signaux à une dimension.

    Le bruit est tout ce qui n'est pas porteur d'information.

\section{Classification des signaux}

    \subsection{Déterministe vs.\ Aléatoire}

        \subsubsection{Déterministe}

            Décrit par une fonction mathématique $x(t)$.
            Il est donc \emph{prédictif}~: sa valeur est connue pour toute valeur de $t$.

        \subsubsection{Aléatoire}

            Décrit par des propriétés statistiques (probabilité, espérance mathématique, variance\ldots).
            Il n'est donc pas \emph{prédictif}~: on ne peut pas connaître sa valeur à un instant $t$.

    \subsection{Puissance moyenne finie vs.\ Énergie finie}

        \subsubsection{Signaux à énergie finie}

            \begin{equation*}
                E = \int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 \dif t < \infty
            \end{equation*}

            Ils sont à \emph{puissance moyenne nulle}.
            On y trouve les signaux continus à \emph{support borné}.

        \subsubsection{Signaux à puissance moyenne finie}

            \begin{equation*}
                P = \lim\limits_{T_0 \to \infty} \int_{-T_0/2}^{+T_0/2} |x(t)|^2 \dif t\text{, où $T_0$ est la période}
            \end{equation*}

            Ils sont à \emph{énergie infinie}.
            On y trouve les signaux périodiques.
            Les calculs se font sur une période.

    \subsection{Analogique vs.\ Discret (échantillonné, quantifié, numérique)}

        \subsubsection{Analogique (continu)}

            Un signal analogique est continu.
            Son évolution est décrite par la variable continue $t \in \mathbb{R}$.

            Signal réel $\implies x(t) \in \mathbb{R}$ \\
            Signal complexe $\implies x(t) \in \mathbb{C}$

        \subsubsection{Discret}

            Son évolution est décrite par une variable discrète $n \in \mathbb{Z}$.
            Cette variable discrète est appelée \emph{échantillon}.

            \begin{tabular}{l|ll}
                \toprule
                $A \; \backslash \; t$   & continu    & discret       \\
                \midrule
                continu                  & analogique & échantillonné \\
                discret                  & quantifié  & numérique     \\
                \bottomrule
            \end{tabular}

            Un signal \emph{échantillonné} est discret en \emph{temps}.
            Un signal \emph{quantifié} est discret en \emph{amplitude}.

            En réalité le signal quantifié n'existe pas (il ne peut être que continu par morceaux dans ce cas).

    \subsection{Signaux continus usuels}

        \subsubsection{Échelon unitaire ou Heaviside}

            \begin{align*}
                u(t) =
                \left\{
                \begin{array}{ll}
                    1 &\forall \, t \geq 0 \\
                    0 &\forall \, t < 0 \\
                \end{array}
                \right.
            \end{align*}

            C'est un signal \emph{causal} (nul pour tout $t < 0$).
            Il n'est pas à support borné, il n'est pas périodique.
            Il n'est donc ni à \emph{puissance moyenne finie}, ni à \emph{énergie finie}.

        \subsubsection{Signal porte ou signal rectangle}

            \begin{align*}
                x(t) =
                \left\{
                \begin{array}{ll}
                    A &\text{si } t \in [T_1;T_2] \\
                    0 &\text{sinon} \\
                \end{array}
                \right.
            \end{align*}

            Il est à \emph{support borné}, donc il est à \emph{énergie finie}.

        \subsubsection{Exponentielle amortie}

            \begin{align*}
                x(t) = e^{-\alpha|t|} \quad \forall \, t \in \mathbb{R}
            \end{align*}

            Il faut que $\alpha$ soit positif (sinon $x(t)$ diverge).

        \subsubsection{Exponentielle amortie et causale}

            \begin{align*}
                x(t) =
                \left\{
                \begin{array}{ll}
                    e^{-\alpha t} &\forall \, t \geq 0 \\
                    0             &\forall \, t < 0 \\
                \end{array}
                \right.
            \end{align*}

        \subsubsection{Signal carré de \emph{rapport cyclique} $r$}

            \begin{align*}
                x(t) =
                \left\{
                \begin{array}{ll}
                    0 &\forall \, t \in [0; (1 - r)T_0] \\
                    A &\forall \, t \in [(1 - r)T_0; T_0] \\
                \end{array}
                \right.
            \end{align*}

            C'est un signal \emph{$T_0$-périodique}.
            Sa puissance moyenne est donc finie~:
            \begin{equation*}
                P = \int_{(1-r)T_0}^{T_0} A^2 \dif t = A^2 r
            \end{equation*}

        \subsubsection{Signal sinusoïdal}

            \begin{equation*}
                \cos(2\pi f_0 t) = \sin(2\pi f_0 t + \frac{\pi}{2})
            \end{equation*}

            Il y a un \emph{déphasage} $\varphi$ constant de $\frac{\pi}{2}$.

            \begin{align*}
                &\varphi = 2\pi\frac{\Delta t}{T_0} [\text{rad}]
                &\varphi = 360\frac{\Delta t}{T_0} [\text{degré}]
            \end{align*}

            \paragraph{Rappels}

                \begin{itemize}

                    \item Formule d'Euler~:
                        \begin{align*}
                            \cos(2\pi f_0 t) = \frac{e^{j2\pi f_0 t} + e^{-j2\pi f_0 t}}{2} \\
                            \sin(2\pi f_0 t) = \frac{e^{j2\pi f_0 t} + e^{-j2\pi f_0 t}}{2j} \\
                        \end{align*}

                    \item Parité~:

                        $x$ est paire si $x(-t) = x(t)$ \\
                        $x$ est impaire si $x(-t) = -x(t)$ \\
                        La fonction cosinus est paire, la fonction sinus est impaire.

                \end{itemize}

        \subsubsection{Sinus cardinal}

            \begin{align*}
                \mathrm{sinc}(t) =
                \left\{
                \begin{array}{ll}
                    \frac{\sin(\pi t)}{\pi t} &\text{si } t \neq 0 \\
                    1                         &\text{si } t = 0 \\
                \end{array}
                \right.
            \end{align*}

            Son énergie est $E = 1$.

    \subsection{Le bruit, signal \emph{aléatoire}}

        Le bruit est tout signal qui perturbe l'information.

        Attention~: ce qui est une information pour un récepteur A peut être vu comme du bruit pour un récepteur B.

        \subsubsection{Rapport Signal sur Bruit (RSB)}

            Critère qui permet de quantifier le signal par rapport au bruit présent.
            \begin{equation*}
                \text{RSB} = \frac{P_S}{P_B}
            \end{equation*}

            $P_S$ est la puissance du signal, $P_B$ la puissance du bruit.
            Cette quantité peut être déterminée en \emph{dB} (décibel)~:
            \begin{equation*}
                RSB_{dB} = 10\log_{10}(RSB)
            \end{equation*}

            Le bruit peut être \emph{stationnaire}~: ses propriétés statistiques ne varient pas au cours du temps.
            Ou \emph{non stationnaire}~: ses propriétés statistiques varient au cours du temps.

    \subsection{Impulsion ou distribution de Dirac, $\delta$}

        Ce n'est pas un signal réel.
        C'est un objet mathématique qui sert à modéliser certains phénomènes.

        Il peut être vu comme la limite de plusieurs signaux porte $\Pi_{\epsilon}(t)$, de largeur $\epsilon \rightarrow 0$ et d'amplitude $\frac{1}{\epsilon}$.
        \begin{align*}
            \delta(t) = \lim\limits_{\epsilon \to 0} \sum \epsilon^{-1} \Pi_{\epsilon}(t) \\ \\
            \delta(t) =
            \left\{
            \begin{array}{l}
                +\infty \text{ pour } t = 0 \\
                0 \text{ pour } t \neq 0 \\
            \end{array}
            \right.
        \end{align*}

        Propriétés~:
        \begin{align*}
            &\int_{\mathbb{R}} \delta(t) \dif t = 1
            \quad\text{peut être vu comme la dérivée de l'échelon unitaire} \\
            &\int_{\mathbb{R}} x(t)\delta(t) \dif t = x(0) \\
            &\int_{\mathbb{R}} x(t)\delta(t - t_0) \dif t = x(t_0) \\
        \end{align*}

\section{Analyse fréquentielle}

    \subsection{Introduction}

        Le \emph{spectre} est la représentation graphique du contenu fréquentiel d'un signal.
        Il permet d'étudier les composantes \emph{fréquentielles} du signal à partir d'une certaine fonction de variable $f$, en Hz.

        L'analyse de Fourier permet de déterminer la fonction du signal temporel dans le domaine fréquentiel.
        \begin{equation*}
            x(t) \rightarrow X(f)
        \end{equation*}

        $|X(f)|^2$ représente la \emph{Densité Spectrale}, notée $S_x(f)$.

    \subsection{Décomposition en Série de Fourier (DSF)}

        Tout signal $x:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, $T_0$-périodique, continu ou continu par morceaux, intégrable une fois dans $\mathbb{R}$ (conditions de Dirichlet), peut se décomposer en une somme de sinus et de cosinus.
        \begin{align*}
            T_0 &= \frac{1}{f_0} \\
            \omega_0 &= 2\pi f_0 = \frac{2\pi}{T_0}
        \end{align*}

        \subsubsection{Forme réelle}

            \begin{align*}
                x(t) &= \sum_{n=0}^{+\infty} [a_n\cos(n\omega_0 t) + b_n\sin(n\omega_0 t)] \\
                x(t) &= a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} [a_n\cos(n\omega_0 t) + b_n\sin(n\omega_0 t)]
            \end{align*}

            \begin{itemize}

                \item $a_n$ et $b_n$ sont les coefficients de Fourier réels

                \item $\omega_0 = 2\pi f_0$ [rad/s] est la pulsation \emph{fondamentale} de $x(t)$

                \item $n\omega_0, \; \forall \, n > 1$ sont les pulsations \emph{harmoniques} de $x(t)$

                \item $\sum_{n=1}^{+\infty} [a_n\cos(n\omega_0 t) + b_n\sin(n\omega_0 t)]$ converge

            \end{itemize}

            Expression des coefficients de Fourier réels~:
            \begin{align*}
                a_0 &= \frac{1}{T_0} \int_{(T_0)} x(t) \dif t
                \quad \text{représente la valeur moyenne du signal} \\
                a_n &= \frac{2}{T_0} \int_{(T_0)} x(t) \cos(n\omega_0 t) \dif t, \quad n \geq 1 \\
                b_n &= \frac{2}{T_0} \int_{(T_0)} x(t) \sin(n\omega_0 t) \dif t, \quad n \geq 1
            \end{align*}

        \subsubsection{Forme directe (complexe)}

            À savoir~: $e^{j\theta} = \cos(\theta) + j\sin(\theta)$
            \begin{align*}
                x(t) &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{jn\omega_0 t} \\
                x(t) &= \sum_{n=-\infty}^{-1} c_n e^{jn\omega_0 t} + c_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} c_n e^{jn\omega_0 t} \\
                x(t) &= c_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} [c_n e^{jn\omega_0 t} + c_{-n} e^{-jn\omega_0 t}] \\
            \end{align*}

            \begin{itemize}

                \item $c_n$ et $c_{-n}$ sont les coefficients de Fourier complexes

                \item $\omega_0 = 2\pi f_0$ [rad/s] est la pulsation \emph{fondamentale} de $x(t)$

                \item $n\omega_0, \; \forall \, n > 1$ sont les pulsations \emph{harmoniques} de $x(t)$

                \item $\sum_{n=1}^{+\infty} [c_n e^{jn\omega_0 t} + c_{-n} e^{-jn\omega_0 t}]$ converge

            \end{itemize}

            Expression des coefficients de Fourier complexes~:
            \begin{align*}
                c_0 &= \frac{1}{T_0} \int_{(T_0)} x(t) \dif t
                \quad \text{représente la valeur moyenne du signal} \\
                c_n &= \frac{1}{T_0} \int_{(T_0)} x(t) e^{-jn\omega_0 t} \dif t, \quad n \geq 1 \\
                c_{-n} &= \frac{1}{T_0} \int_{(T_0)} x(t) e^{jn\omega_0 t} \dif t, \quad n \geq 1
            \end{align*}

        \subsubsection{Correspondance entre les coefficients de Fourier réels et complexes}

            Par identification, on établit les relations suivantes~:
            \begin{align*}
                c_0 &= a_0 \\
                c_n &= \frac{1}{2} (a_n - jb_n) \\
                c_{-n} &= \frac{1}{2} (a_n + jb_n)
            \end{align*}

        \subsubsection{Représentation spectrale $S_x(f)$}

            On peut représenter la \emph{Densité Spectrale de Puissance} (DSF)~:
            \begin{equation*}
                S_x(f) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_n|^2 = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_{-n}|^2 = \frac{1}{4} \sum_{n=O}^{+\infty} {\left(\sqrt{a_n^2 + b_n^2}\right)}^2
            \end{equation*}

            Son unité est le [W/Hz].
            On dit que c'est un spectre de raie.

        \subsubsection{Propriétés}

            \paragraph{Linéarité}

                Soient $x_1(t)$ et $x_2(t)$ deux signaux de même période, alors~:
                \begin{equation*}
                    x(t) = \alpha x_1(t) = \beta x_2(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} (\alpha c_n^1 + \beta c_n^2) e^{jn\omega_0 t}
                \end{equation*}

            \paragraph{Retard}

                Soit $x_1(t) = x(t - t_0)$, alors~:
                \begin{equation*}
                    x_1(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n^1 e^{jn\omega_0 t} = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{jn\omega_0(t - t_0)}
                \end{equation*}

                $c_n^1 = c_n e^{-jn\omega_0 t_0}$

                $c_n, c_n^1$ et $c_n^2$ sont respectivement les coefficients de Fourier de $x(t), x_1(t)$ et $x_2(t)$.

        \subsubsection{Théorême de Parseval}

            Soit $x(t)$ un signal $T_0$-périodique tel que $x(t)$ peut être décomposé en une série de Fourier, alors~:

            \begin{equation*}
                \frac{1}{T_0} \int_{(T_0)} |x(t)|^2 \dif t = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_n|^2 = a_0^2 + \frac{1}{4} \sum_{n=1}^{+\infty} (a_n^2 + b_n^2)
            \end{equation*}
            $\implies$ même quantité de puissance/signal en temps qu'en fréquence.

            Toute la puissance du signal $x(t)$ est égale à la somme des puissances portées par chaque raie fréquentielle (puissance moyenne, fondamentale, harmoniques).

    \subsection{Transformée de Fourier (TF)}

        \subsubsection{Définition}

            La DSF ne s'applique que les signaux périodiques.
            Pour travailler sur un signal non périodique, il faut passer par la transformée de Fourier.

            $x(t) \xrightarrow{TF} X(f)$

            \begin{equation*}
                X(f) = \int_{\mathbb{R}} x(t) e^{-j2\pi ft} \dif t
            \end{equation*}

        \subsubsection{Transformée inverse}
            \begin{align*}
                x(t) \xrightarrow{TF} X(f) \\
                X(t) \xrightarrow{TF^{-1}} x(f)
            \end{align*}

            \begin{equation*}
                x(t) = \int_{\mathbb{R}} X(f) e^{j2\pi ft} \dif f
            \end{equation*}

        \subsubsection{Passage de la DSF à la TF}

            \begin{equation*}
                x(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{jn\omega_0 t} \quad \text{avec } n\omega_0 = 2\pi nf_0
            \end{equation*}

            $\implies$ la variable est $nf_0$.

            On va considérer qu'un signal \emph{non périodique} est en fait $T_0$-périodique avec $T_0 \to \infty$.

            $\implies$ $nf_0$ devient une \emph{variable continue} $f \in \mathbb{R}$.

            La formule de DSF précédente devient~:

            \begin{equation*}
                x(t) = \int_{\mathbb{R}} c_n e^{j2\pi ft} \dif ?
            \end{equation*}
            \begin{align*}
                nf_0 = f \implies f_0 \dif n = \dif f \implies \dif n = \frac{1}{f_0} \dif f \\ \\
                \implies \boxed{x(t) = \int_{\mathbb{R}} c_n e^{j2\pi ft} T_0 \dif f} \\
                c_n = \frac{1}{T_0} \int_{\mathbb{R}} x(t) e^{-j2\pi ft} \dif t
            \end{align*}

            D'où~:
            \begin{align*}
                x(t) &= \int_{\mathbb{R}}
                \frac{1}{T_0} \int_{\mathbb{R}} x(t) e^{-j2\pi ft} \dif t \;
                e^{j2\pi ft} T_0 \dif f \\
                \implies
                x(t) &= \int_{\mathbb{R}}
                \int_{\mathbb{R}} x(t) e^{-j2\pi ft} \dif t \;
                e^{j2\pi ft} \dif f \\
                     &= \int_{\mathbb{R}}
                X(f)
                e^{j2\pi ft} \dif f \\
            \end{align*}

        \subsubsection{Représentation sectrale~: Densité Spectrale d'Énergie (DSE)}

            Notée $S_x(f) = |X(f)|^2$, c'est l'amplitude portée par chaque fréquence $f \in \mathbb{R}$.

            L'unité est le [J/Hz].
            Notons que $|X(0)|^2 = E$.

            \paragraph{Égalité de Parseval}

                \begin{equation*}
                    \int_{\mathbb{R}} |x(t)|^2 \dif t = \int_{\mathbb{R}} S_x(f) \dif f
                \end{equation*}

            \paragraph{Représentation spectrale}

                Symétrie hermitienne~:
                $\overline{x(t)} = x(-t)$

                \begin{itemize}

                    \item Dans le cas général~:
                        \begin{equation*}
                            \overline{x(t)} \xrightarrow{TF} \overline{X(f)}
                        \end{equation*}

                    \item Si $\overline{x(t)} = x(-t)$~:
                        \begin{equation*}
                            X(f) = \overline{X(f)}
                        \end{equation*}

                    \item Si $X(-f) = \overline{X(f)}$
                        \begin{equation*}
                            S_x(f) = |X(f)|^2 = X(f)X(-f) = S_x(-f)
                        \end{equation*}
                        \hfill car $|X(f)|^2 = X(f)\overline{X(f)}$

                \end{itemize}

        \subsubsection{Signaux pairs}

            Si $x(t)$ est un signal pair alors~:

            \begin{equation*}
                e^{-j2\pi ft} = \cos(2\pi ft)
                \quad
                \text{et}
                \quad
                X(f) = 2\int_0^{\infty} x(t) \cos(2\pi ft) \dif t
            \end{equation*}

        \subsubsection{Signaux impairs}

            Si $x(t)$ est un signal impair alors~:

            \begin{equation*}
                e^{-j2\pi ft} = -j\sin(2\pi ft)
                \quad
                \text{et}
                \quad
                X(f) = -2j\int_0^{\infty} x(t) \sin(2\pi ft) \dif t
            \end{equation*}

        \subsubsection{Propriétés}

            \begin{itemize}

                \item Linéarité~:
                    \begin{equation*}
                        \alpha x(t) = \beta y(t) \xrightarrow{TF} \alpha X(f) + \beta Y(f)
                    \end{equation*}

                \item Retard~:
                    \begin{equation*}
                        x_1(t) = x(t - t_0) \xrightarrow{TF} X(f) e^{-j2\pi t_0 f}
                    \end{equation*}

                \item Translation fréquentielle (utilisée en modulation)~:
                    \begin{equation*}
                        x(t)e^{-j2\pi f_0 t} \xrightarrow{TF} X(f - f_0)
                    \end{equation*}

                \item Produit de fonctions / produit de convolution~:
                    \begin{align*}
                        x(t)y(t) &\xrightarrow{TF} (X*Y)(f) \\
                        (x*y)(t) &\xrightarrow{TF} X(f)Y(f)
                    \end{align*}

            \end{itemize}

        \subsubsection{Transformées de Fourier particulières}

            \paragraph{Impulsion de Dirac $\delta(t)$}

                \begin{align*}
                    TF\{\delta(t)\} &= \int_{\mathbb{R}} \delta(t) e^{-j2\pi ft} \dif t \\
                                    &= \left.e^{-j2\pi ft}\right|_{t=0} \\
                                    &= 1 \\
                    \implies TF\{1\} = \delta{f}
                \end{align*}

                L'impulsion de Dirac est composée de toutes les fréquences dans $\mathbb{R}$.
                Toutes ces fréquences sont d'énergie unitaire.

            \paragraph{Exponentielle complexe}

                \begin{equation*}
                    TF\{e^{j2\pi f_0 t}\} = \delta(f - f_0)
                \end{equation*}

            \paragraph{Cosinus}

                \begin{equation*}
                    TF\{\cos(2\pi f_0 t)\} = \frac{\delta(f - f_0) + \delta(f + f_0)}{2}
                \end{equation*}

            \paragraph{Sinus}

                \begin{equation*}
                    TF\{\sin(2\pi f_0 t)\} = \frac{\delta(f - f_0) - \delta(f + f_0)}{2j}
                \end{equation*}

                Les fonctions sinus et cosinus ont le même spectre.

                \begin{equation*}
                    |S(f)|^2 = \frac{1}{4}|\delta(f - f_0) \pm \delta(f + f_0)|^2
                \end{equation*}

\section{Produit de convolution}

    \subsection{Définition}

        Le produit de convolution sert à appliquer une modification à un signal (comme le filtrage, qui enlève une partie du signal).

        \paragraph{Applications}

            \begin{itemize}

                \item Permet de déterminer la \emph{sortie temporelle} de tout Système Linéaire et Invariant dans le Temps (SLIT).

                \item Le système considéré peut être la \emph{modélisation} d'un canal de transmission par exemple.

                \item La modélisation est la \emph{représentation mathématique} d'un \emph{phénomène physique}.

                \item Le \emph{modèle} établit la ou les relations entre entrée(s) et sortie(s).

            \end{itemize}

        \paragraph{Système Linéaire et Invariant dans le Temps (SLIT)}

            \begin{itemize}

                \item Linéarité~:

                    \begin{center}
                    \begin{tikzpicture}[every text node part/.style={align=center}]
                        \node (a) at (-6,1) {$\alpha x_1(t)$};
                        \node (b) at (-6,-1) {$\beta x_2(t)$};
                        \node[circle,draw,minimum width=0.6cm] (c) at (-3,0) {};
                        \draw (-3,-0.3) -- (-3,0.3);
                        \draw (-3.3,0) -- (-2.7,0);
                        \node[rectangle,draw,minimum width=3cm,thick] (r) at (0,0) {$h(t)$ \\ SLIT};
                        \draw (a) -- (-3,1);
                        \draw[-latex] (-3,1) -- (c.north);
                        \draw (b) -- (-3,-1);
                        \draw[-latex] (-3,-1) -- (c.south);
                        \draw[-latex](c) -- (r.west);
                        \draw[-latex](r) -- ++(5cm,0) node[above]{$y(t) = \alpha y_1(t) + \beta y_2(t)$};
                    \end{tikzpicture}
                    \end{center}

                \item Invariance dans le temps~:

                    \begin{center}
                    \begin{tikzpicture}[every text node part/.style={align=center}]
                        \node[rectangle,draw,minimum width=3cm,thick] (r) at (0,0) {$h(t)$ \\ SLIT};
                        \draw[-latex]++(-5cm,0) -- (r.west) node[above,at start]{$y(t - t_0)$};
                        \draw[-latex](r) -- ++(5cm,0) node[above]{$y(t - t_0)$};
                    \end{tikzpicture}
                    \end{center}

            \end{itemize}

        \paragraph{Notation}
            \begin{equation*}
                (x * y)(t)
            \end{equation*}

        \paragraph{Définition}

            Soient deux fonctions $x$ et $y$ intégrables dans $\mathbb{R}$ pour presque tout $t \in \mathbb{R}$.
            Le produit de convolution de $x$ et $y$ est tel que~:
            \begin{equation*}
                (x * y)(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) y(t - \tau) \dif \tau
            \end{equation*}
            et $(x * y)(t)$ est borné.

        \paragraph{Remarques}

            Le produit de convolution est une fonction de variable ici $t$.
            $\tau$ est la variable muette de l'intégrale~: la fonction de convolution \emph{ne dépendra pas} de $\tau$.

    \subsection{Interprétation physique}

        \hfill
        \begin{tikzpicture}
            \draw[help lines, dashed] (-2,-1) grid (5,3);
            \draw[-latex] (-2,0) -- (5,0) node[below]{$\tau$};
            \draw[thick, orange,smooth]
                (0,0) -- (0,3)
                plot[domain=0:5]({\x}, {1.5/(0.5+\x)})
                ;
            \draw[thick, teal]
                (0,0) -- (0,1.5)
                plot[domain=0:1]({\x}, {1.5})
                (1,1.5) -- (1,0)
                ;
            \node at (0,-0.3) {0};
            \node at (1,-0.3) {$T$};
            \node[orange,anchor=east] at (5,2.5) {$x(\tau)$};
            \node[teal,anchor=east] at (5,2) {$y(t - \tau)$};
        \end{tikzpicture}
        \hfill
        \begin{tikzpicture}
            \draw[help lines, dashed] (-2,-1) grid (5,3);
            \draw[-latex] (-2,0) -- (5,0) node[below]{$\tau$};
            \draw[thick, orange,smooth]
                (0,0) -- (0,3)
                plot[domain=0:5]({\x}, {1.5/(0.5+\x)})
                ;
            \draw[thick, teal]
                (-1.5,0) -- (-1.5,1.5)
                plot[domain=-1.5:-0.5]({\x}, {1.5})
                (-0.5,1.5) -- (-0.5,0)
                ;
            \node at (-1.5,-0.3) {$t-T$};
            \node at (-0.5,-0.3) {$t$};
            \node[orange,anchor=east] at (5,2.5) {$x(\tau)$};
            \node[teal,anchor=east] at (5,2) {$y(t - \tau)$};
        \end{tikzpicture}
        \hfill

        \hfill
        \begin{tikzpicture}
            \draw[help lines, dashed] (-2,-1) grid (5,3);
            \fill [red!30,domain=0:0.5,variable=\x]
                (0,0) -- plot ({\x}, {1.5/(0.5+\x)}) -- (0.5,0) -- cycle
                ;
            \draw[-latex] (-2,0) -- (5,0) node[below]{$\tau$};
            \draw[thick, orange,smooth]
                (0,0) -- (0,3)
                plot[domain=0:5]({\x}, {1.5/(0.5+\x)})
                ;
            \draw[thick, teal]
                (-0.5,0) -- (-0.5,1.5)
                plot[domain=-0.5:0.5]({\x}, {1.5})
                (0.5,1.5) -- (0.5,0)
                ;
            \node at (-0.5,-0.3) {$t-T$};
            \node at (0.5,-0.3) {$t$};
            \node[orange,anchor=east] at (5,2.5) {$x(\tau)$};
            \node[teal,anchor=east] at (5,2) {$y(t - \tau)$};
            \node[red,anchor=east] at (5,1.5) {$x(\tau) \cdot y(t - \tau)$};
        \end{tikzpicture}
        \hfill
        \begin{tikzpicture}
            \draw[help lines, dashed] (-2,-1) grid (5,3);
            \fill [red!30,domain=0.5:1.5,variable=\x]
                (0.5,0) -- plot ({\x}, {1.5/(0.5+\x)}) -- (1.5,0) -- cycle
                ;
            \draw[-latex] (-2,0) -- (5,0) node[below]{$\tau$};
            \draw[thick, orange,smooth]
                (0,0) -- (0,3)
                plot[domain=0:5]({\x}, {1.5/(0.5+\x)})
                ;
            \draw[thick, teal]
                (0.5,0) -- (0.5,1.5)
                plot[domain=0.5:1.5]({\x}, {1.5})
                (1.5,1.5) -- (1.5,0)
                ;
            \node at (0.5,-0.3) {$t-T$};
            \node at (1.5,-0.3) {$t$};
            \node[orange,anchor=east] at (5,2.5) {$x(\tau)$};
            \node[teal,anchor=east] at (5,2) {$y(t - \tau)$};
            \node[red,anchor=east] at (5,1.5) {$x(\tau) \cdot y(t - \tau)$};
        \end{tikzpicture}
        \hfill

    \subsection{Propriétés}

        Soient $f$, $g$ et $h$ trois fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ pour presque tout $t \in \mathbb{R}$.

        \paragraph{Commutativité}
            \begin{equation*}
                (f*g)(t) = (g*f)(t)
            \end{equation*}

        \paragraph{Distributivité}
            \begin{equation*}
                (f*(g+h))(t) = (f*g)(t) + (f*h)(t)
            \end{equation*}

        \paragraph{Associativité}
            \begin{align*}
                ((f*g)*h)(t) &= (f*(g*h))(t) \\
                             &= \int_{\mathbb{R}} (f*g)(t-\tau) h(\tau) \dif \tau \\
                             &= \int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}} f(t-\tau-\nu) g(\nu) h(\tau) \dif \tau
            \end{align*}

        \paragraph{Parité}

            Si les fonctions $f$ et $g$ sont paires alors le produit de convolution de $f$ et $g$ est pair.

    \subsection{Produit de convolution et filtrage (SLIT)}

        \begin{center}
        \begin{tikzpicture}[every text node part/.style={align=center}]
            \node[rectangle,draw,minimum width=3cm,thick] (r) at (0,0) {$h(t)$ \\ SLIT};
            \draw[-latex]++(-3cm,0) -- (r.west) node[above,at start]{$x(t)$} node[below,at start]{entrée};
            \draw[-latex](r) -- ++(3cm,0) node[above]{$y(t)$} node[below]{sortie};
        \end{tikzpicture}
        \end{center}

        Un filtre peut être défini~:
        \begin{itemize}
            \item en fréquence~: $H(j\omega)$ (\emph{fonction de transfert})
            \item en temps~: $h(t)$ (\emph{réponse impulsionnelle})
        \end{itemize}

        Pour la réponse impulsionnelle~:

        La sortie $h(t)$ est obtenue lorsqu'en entrée du filtre on applique un \emph{signal impulsionnel}.
        Ce signal impulsionnel est modélisé par l'\emph{impulsion de Dirac}, $\delta$.

        \begin{center}
        \begin{tikzpicture}[every text node part/.style={align=center}]
            \node[rectangle,draw,minimum width=3cm,thick] (r) at (0,0) {$h(t)$ \\ SLIT};
            \draw[-latex]++(-3cm,0) -- (r.west) node[above,at start]{$x(t) = \delta(t)$};
            \draw[-latex](r) -- ++(3cm,0) node[above]{$y(t) = h(t)$};
        \end{tikzpicture}
        \end{center}

        On a donc~:
        \begin{equation*}
            y(t) = (h*x)(t) = h(t)
        \end{equation*}

        $\delta$ est l'élément neutre du produit de convolution, de la même façon que 0 est l'élément neutre de l'addition et que 1 est l'élément neutre de la multiplication.
        \begin{equation*}
            (f*\delta)(t) = f(t)
        \end{equation*}

        \paragraph{Retard}
            \begin{equation*}
                (f*\delta_{t_0})(t) = f(t - t_0)
            \end{equation*}

            où $\delta_{t_0}$ est l'impulsion de Dirac retardée de $t_0$~: \quad $\delta_{t_0} = \delta(t - t_0)$.

            \begin{center}
            \begin{tikzpicture}
                \draw[-latex] (-0.5,0) -- (2,0) node[right]{$t$};
                \draw[-latex] (0,-0.2) -- (0,2) node[above]{$\delta(t-t_0)$};
                \draw[-latex,thick, red]
                    (1,0) -- (1,1)
                    ;
                \node at (-0.2,-0.3) {0};
                \node at (1,-0.3) {$t_0$};
            \end{tikzpicture}
            \end{center}

\section{Échantillonnage}

    \subsection{Formalisme d'échantillonnage}

        \begin{center}
        \begin{tikzpicture}
            \draw[help lines, dashed] (-1,-1) grid (5,3);
            \draw[-latex] (-0.5,0) -- (5,0) node[right]{$t$};
            \draw[-latex] (0,-0.5) -- (0,3) node[left]{$A$};
            \draw[thick,orange,smooth]
                plot[domain=0:5] ({\x}, {sqrt(\x)})
                ;
            \node at (2.5,-1) {$x(t), t\in\mathbb{R}$};
        \end{tikzpicture}
        $\implies$
        \begin{tikzpicture}
            \draw[help lines, dashed] (-1,-1) grid (5,3);
            \draw[-latex] (-0.5,0) -- (5,0) node[right]{$t$};
            \draw[-latex] (0,-0.5) -- (0,3) node[left]{$A$};
            \draw[thick,orange,smooth]
                plot[domain=0:0.05] ({\x}, {sqrt(\x)})
                plot[domain=0.95:1.05] ({\x}, {sqrt(\x)})
                plot[domain=1.95:2.05] ({\x}, {sqrt(\x)})
                plot[domain=2.95:3.05] ({\x}, {sqrt(\x)})
                plot[domain=3.95:4.05] ({\x}, {sqrt(\x)})
                ;
            \node at (1,-0.3) {$T_e$};
            \node at (2,-0.3) {$2T_e$};
            \node at (3,-0.3) {$3T_e$};
            \node at (4,-0.3) {$4T_e$};
            \node at (2.5,-1) {$x_e(t) = x(nT_e), n\in\mathbb{N}$};
        \end{tikzpicture}
        \end{center}

        C'est un interrupteur qui réalise l'échantillonnage.
        Il se ferme tous les $nT_e$.
        Il reste fermé pendant $\tau < T_e$

        \paragraph{Modélisation mathématique de l'interrupteur}
            \begin{align*}
                p_{\tau}(t) =
                \left\{
                \begin{array}{l}
                    \frac{1}{\tau}, t \in \left[\frac{-\tau}{2};\frac{\tau}{2}\right] \\
                    0 \text{ sinon} \\
                \end{array}
                \right.
            \end{align*}

            La valeur de l'échantillon du signal $x$ en $nT_e$ est la \emph{valeur moyenne} de $x$ pendant $\tau$, le temps de fermeture de l'interrupteur.
            \begin{align*}
                x(nT_e) = \frac{1}{\tau} \int_{nT_e-\frac{\tau}{2}}^{nT_e+\frac{\tau}{2}} x(t) \dif t \\
                \boxed{x(nT_e) = \int_{-\infty}^{+\infty} p_{\tau}(t - nT_e) x(t) \dif t}
            \end{align*}

            Le temps de fermeture $\tau$ de l'interrupteur doit être le plus court possible.
            En faisant tendre $\tau$ vers 0, on obtient ainsi l'impulsion de Dirac~:

            \begin{multicols}{3}

                \begin{equation*}
                    \lim\limits_{\tau\to 0} p_{\tau}(t-nT_e) = \delta(t-nT_e)
                \end{equation*}

                \columnbreak

                \begin{tikzpicture}
                    \draw[help lines, dashed] (-1,-1) grid (3,3);
                    \draw[-latex] (-0.5,0) -- (3,0) node[right]{$t$};
                    \draw[-latex] (0,-0.5) -- (0,3) node[left]{$A$};
                \end{tikzpicture}

                \columnbreak

                \begin{tikzpicture}
                    \draw[help lines, dashed] (-1,-1) grid (3,3);
                    \draw[-latex] (-0.5,0) -- (3,0) node[right]{$t$};
                    \draw[-latex] (0,-0.5) -- (0,3) node[left]{$A$};
                \end{tikzpicture}

            \end{multicols}

            \begin{align*}
                \lim\limits_{\tau\to 0} \int_{-\infty}^{+\infty} p_{\tau}(t-nT_e)x(t) \dif t
                &=\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-nT_e)x(t) \dif t \\
                &= x(nT_e) \quad
                \text{(d'après les propriétés de l'impulsion de Dirac)}
            \end{align*}

        \paragraph{Le signal échantillonné}

\end{document}
