\documentclass[a4paper,french,12pt]{article}

\title{Logique Programmable}
\author{}
\date{Dernière compilation~: \today{} à \currenttime}

\usepackage{../cours}

\begin{document}

\maketitle
\tableofcontents

\clearpage
\section{Algèbre de Boole}

    \subsection{Logique booléenne}

        Un composant discret n'a pas plus de 4 portes en alimentation continue.
        7400 (gamme commerciale) ou 5400 (gamme militaire)
        2 entrées et 1 sortie (3 broches) * 4 portes = 12 broches

        Plusieurs technologies sont possibles~:

        \begin{itemize}

            \item chimique

            \item hydraulique

            \item pneumatique

            \item mécanique

            \item électromécanique

            \item électrique

            \item électronique (ce qui nous intéresse)

        \end{itemize}

        On détermine un état bas et un état haut~:

        \begin{itemize}

            \item état bas < tension VIL (input low)

            \item état haut > tension VIH (input high)

        \end{itemize}

        Quand on passe de l'un à l'autre, c'est pour une très courte période.

        Pour les fonctions de base, voir \url{http://www.futurlec.com/IC74LS00Series.shtml}

        Avec \texttt{AND} et \texttt{OR} on peut fabriquer toutes les briques possibles.

        En notation booléenne~:

        \begin{itemize}

            \item H (high) = 1 = vrai

            \item L (low) = 0 = faux

        \end{itemize}

        \subsubsection{Suiveur}

            \begin{multicols}{2}

                \includegraphics[width=0.2\linewidth]{./img/suiveur.png}

                La sortie est égale à l'entrée ($S = E$).

            \end{multicols}


            \begin{center}

                Table de vérité~:

                \begin{tabular}{c|c}
                    E & S \\
                    \midrule
                    L & L \\
                    H & H \\
                \end{tabular}

            \end{center}

        \subsubsection{Inverseur}

            \begin{multicols}{2}

                \includegraphics[width=0.2\linewidth]{./img/inverseur.png}

                La sortie est l'inverse de l'entrée ($S = \bar{E}$).

            \end{multicols}

            \begin{center}

                Table de vérité~:

                \begin{tabular}{c|c}
                    E & S \\
                    \midrule
                    L & H \\
                    H & L \\
                \end{tabular}

            \end{center}

        \subsubsection{OU logique --- \texttt{OR} ($+$)}

            \begin{multicols}{2}

                \includegraphics[width=0.2\linewidth]{./img/or.png}

                \columnbreak{}

                Pour que $S$ soit vrai il suffit qu'\emph{une seule} entrée soit vraie.

                Pour que $S$ soit faux il faut que \emph{toutes} les entrées soient fausses.

            \end{multicols}

            \begin{center}

                Tables de vérité~:

                \begin{multicols}{2}

                    \begin{tabular}{c|c|c}
                        $E_1$ & $E_2$ & $E_1 + E_2$ \\
                        \midrule
                        0  & 0  & 0 \\
                        0  & 1  & 1 \\
                        1  & 0  & 1 \\
                    \end{tabular}

                    \begin{tabular}{c|c|c}
                        X & Y & S \\
                        \midrule
                        L & L & L \\
                        L & H & H \\
                        H & L & H \\
                        H & H & H \\
                    \end{tabular}

                \end{multicols}

            \end{center}

            \begin{align*}
                a + 0 &= a \\
                a + 1 &= 1 \\
                a + a &= a \\
                a + \bar{a} &= 1 \\
            \end{align*}

        \subsubsection{ET logique --- \texttt{AND} ($\cdot$)}

            \begin{multicols}{2}

                \includegraphics[width=0.2\linewidth]{./img/and.png}

                C'est l'inverse du OU\@.
                Pour que $S$ soit vrai il faut que toutes les entrées soient vraies.

            \end{multicols}

            \begin{center}

                Tables de vérité~:

                \begin{multicols}{2}

                    \begin{tabular}{c|c|c}
                        $E_1$ & $E_2$ & $E_1 \cdot E_2$ \\
                        0 & 0 & 0 \\
                        0 & 1 & 0 \\
                        1 & 0 & 0 \\
                        1 & 1 & 1 \\
                    \end{tabular}

                    \columnbreak{}

                    \begin{tabular}{c|c|c}
                        X & Y & S \\
                        \midrule
                        L & L & L \\
                        L & H & L \\
                        H & L & L \\
                        H & H & H \\
                    \end{tabular}

                \end{multicols}

            \end{center}

        \subsubsection{OU exclusif --- \texttt{XOR} ($\oplus$)}

            \begin{multicols}{2}

                \includegraphics[width=0.2\linewidth]{./img/xor.png}

                Pour que $S$ soit vrai il faut \emph{soit} que $E_1$ soit vrai \emph{soit} que $E_2$ soit vrai.

            \end{multicols}

            \begin{center}

                Tables de vérité~:

                \begin{multicols}{2}

                    \begin{tabular}{c|c|c}
                        $E_1$ & $E_2$ & $E_1 \oplus E_2$ \\
                        \midrule
                        0 & 0 & 0 \\
                        0 & 1 & 1 \\
                        1 & 0 & 1 \\
                        1 & 1 & 0 \\
                    \end{tabular}

                    \begin{tabular}{c|c|c}
                        X & Y & S \\
                        \midrule
                        L & L & L \\
                        L & H & H \\
                        H & L & H \\
                        H & H & L \\
                    \end{tabular}

                \end{multicols}

            \end{center}

            \begin{align*}
                a \oplus 0 &= a \\
                a \oplus 1 &= \bar{a} \\
                a \oplus a &= 0 \\
                a \oplus \bar{a} &= 1 \\
            \end{align*}

        \subsubsection{Non OU --- \texttt{NOR} ($\overline{+}$)}

            \begin{multicols}{2}

                \includegraphics[width=0.2\linewidth]{./img/nor.png}

                Pour que $S$ soit vrai, il faut que $E_1$ et $E_2$ soient faux.

            \end{multicols}

            Théorême de Morgan~: $\overline{a + b} = \bar{a} \cdot \bar{b}$

            \begin{center}

                Tables de vérité~:

                \begin{multicols}{2}

                    \begin{tabular}{c|c|c}
                        $E_1$ & $E_2$ & $\overline{E_1 + E_2}$ \\
                        \midrule
                        0 & 0 & 1 \\
                        0 & 1 & 0 \\
                        1 & 0 & 0 \\
                        1 & 1 & 0 \\
                    \end{tabular}

                    \begin{tabular}{c|c|c}
                        X & Y & S \\
                        \midrule
                        L & L & H \\
                        L & H & L \\
                        H & L & L \\
                        H & H & L \\
                    \end{tabular}

                \end{multicols}

            \end{center}

        \subsubsection{Non ET --- \texttt{NAND} ($\overline{\cdot}$)}

            \begin{multicols}{2}

                \includegraphics[width=0.2\linewidth]{./img/nand.png}

                Pour que $S$ soit vrai il suffit qu'entrée soit fausse.

            \end{multicols}

            Théorême de Morgan~: $\overline{a \cdot b} = \bar{a} + \bar{b}$

            \begin{center}

                Tables de vérité~:

                \begin{multicols}{2}

                    \begin{tabular}{c|c|c}
                        $E_1$ & $E_2$ & $\overline{E_1 \cdot E_2}$ \\
                        \midrule
                        0 & 0 & 1 \\
                        0 & 1 & 1 \\
                        1 & 0 & 1 \\
                        1 & 1 & 0 \\
                    \end{tabular}

                    \begin{tabular}{c|c|c}
                        X & Y & S \\
                        \midrule
                        L & L & H \\
                        L & H & H \\
                        H & L & H \\
                        H & H & L \\
                    \end{tabular}

                \end{multicols}

            \end{center}

        \subsubsection{Non OU exclusif --- \texttt{NO XOR} ($\overline{\oplus}$)}

            \begin{multicols}{2}

                \includegraphics[width=0.2\linewidth]{./img/xnor.png}

                Pour que $S$ soit vrai il faut que les entrées soient identiques.

            \end{multicols}

            \begin{center}

                Tables de vérité~:

                \begin{multicols}{2}

                    \begin{tabular}{c|c|c}
                        $E_1$ & $E_2$ & $\overline{E_1 \oplus E_2}$ \\
                        \midrule
                        0 & 0 & 1 \\
                        0 & 1 & 0 \\
                        1 & 0 & 0 \\
                        1 & 1 & 1 \\
                    \end{tabular}

                    \begin{tabular}{c|c|c}
                        X & Y & S \\
                        \midrule
                        L & L & H \\
                        L & H & L \\
                        H & L & L \\
                        H & H & H \\
                    \end{tabular}

                \end{multicols}

            \end{center}

    \clearpage
    \subsection{Algèbre booléenne}

        Le ET est prioritaire sur le OU\@.

        \begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
            \toprule
            \multirow{2}{*}{élément neutre}       & $a \cdot 1 = a$ \\
                                                  & $a + 0 = a$ \\
            \midrule
            \multirow{2}{*}{élément absorbant}    & $a \cdot 0 = 0$ \\
                                                  & $a + 1 = 1$ \\
            \midrule
            \multirow{2}{*}{idempotence}          & $a \cdot a = a$ \\
                                                  & $a + a = a$ \\
            \midrule
            \multirow{2}{*}{complément}           & $a \cdot \bar{a} = 0$ \\
                                                  & $a + \bar{a} = 1$ \\
            \midrule
            \multirow{2}{*}{commutativité}        & $a \cdot b = b \cdot a$ \\
                                                  & $a + b = b + a$ \\
            \midrule
            \multirow{2}{*}{associativité}        & $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c = a \cdot b \cdot c$ \\
                                                  & $a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c$ \\
            \midrule
            \multirow{2}{*}{distributivité}       & $a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c$ \\
                                                  & $a + (b \cdot c) = (a + b) \cdot (a + c)$ \\
            \midrule
            \multirow{2}{*}{théorême de Morgan}   & $\overline{a \cdot b} = \bar{a} + \bar{b}$ \\
                                                  & $\overline{a + b} = \bar{a} \cdot \bar{b}$ \\
            \midrule
            \multirow{2}{*}{consensus}            & $a \cdot b + \bar{a} \cdot c + b \cdot c = a \cdot b + \bar{a} \cdot c$ \\
                                                  & $(a + b) \cdot (\bar{a} + c) \cdot (b + c) = (a + b) \cdot (\bar{a} + c)$ \\
            \midrule
            \multirow{2}{*}{consensus généralisé} & $a \cdot b + \bar{a} \cdot c + b \cdot c \cdot d = a \cdot b + \bar{a} \cdot c$ \\
                                                  & $(a + b) \cdot (\bar{a} + c) \cdot (b + c + d) = (a + b) \cdot (\bar{a} + c)$ \\
            \midrule
            \multirow{2}{*}{fonction biforme}     & $a \cdot b + \bar{a} \cdot c = (a + c) \cdot (\bar{a} + b)$ \\
                                                  & $(a + b) \cdot (\bar{a} + c) = (a \cdot c) + (\bar{a} \cdot b)$ \\
            \bottomrule
        \end{tabularx}

    \clearpage
    \subsection{Fonctions booléennes}

        On cherche à simplifier les fonctions pour limiter le nombre de portes logiques utilisées.

        Une fonction booléenne est une application de $\{0,1\}^n$ dans $\{0,1\}$.

        $x_1, x_2, \dots, x_n \rightarrow{} y = f(x_1, x_2, \dots, x_n)$

        \begin{center}

            \begin{multicols}{2}

                Elle peut être écrite par une table~:

                \begin{tabular}{cccc}
                    $x_2$ & $x_1$ & $x_0$ & $y$ \\
                    \midrule
                    0     & 0     & 0     & 0   \\
                    0     & 0     & 1     & 1   \\
                    0     & 1     & 0     & 0   \\
                    0     & 1     & 1     & 1   \\
                    1     & 0     & 0     & 0   \\
                    1     & 0     & 1     & 0   \\
                    1     & 1     & 0     & 1   \\
                    1     & 1     & 1     & 1   \\
                \end{tabular}

                \columnbreak{}

                ou par une expression~:

                $y = f(x_2,x_1,x_0) = x_2 \cdot x_1 + \overline{x_2} \cdot x_0$.

            \end{multicols}

        \end{center}

        \subsubsection{Minterme, maxterme}

            Soit $f(x,y,z)$.

            $\bar{x} \cdot y$ est un minterme.

            $x \cdot y \cdot \bar{z}$ est un minterme complet.

            $\bar{x} + y$ est un maxterme.

            $x + y + \bar{z}$ est un maxterme complet.

            \begin{tabular}{ccc|cc}
                \toprule
                x & y & z & minterme associé                      & maxterme associé \\
                \midrule
                0 & 0 & 0 & $\bar{x} \cdot \bar{y} \cdot \bar{z}$ & $x + y + z$ \\
                0 & 1 & 1 & $\bar{x} \cdot y \cdot z$             & $x + \bar{y} + \bar{z}$ \\
                1 & 0 & 1 & $x \cdot \bar{y} \cdot z$             & $\bar{x} + y + \bar{z}$ \\
                1 & 1 & 1 & $x \cdot y \cdot z$                   & $\bar{x} + \bar{y} + \bar{z}$ \\
                \bottomrule
            \end{tabular}

        \subsubsection{Première forme canonique --- Forme disjonctive}

            On peut dire qu'une fonction est le OU logique des mintermes associés aux vecteurs pour lesquels la fonction vaut 1.
            Par exemple~:

            \begin{center}

                \begin{tabular}{ccc|l}

                    \toprule
                    $x$ & $y$ & $z$ & $f(x, y, z)$ \\
                    \toprule
                    0   & 0   & 0   & 0 \\
                    \midrule
                    0   & 0   & 1   & 1 $\quad \rightarrow \quad$ minterme associé~: $\quad \bar{x} \cdot \bar{y} \cdot z$ \\
                    \midrule
                    0   & 1   & 0   & 0 \\
                    \midrule
                    0   & 1   & 1   & 1 $\quad \rightarrow \quad$ minterme associé~: $\quad \bar{x} \cdot y \cdot z$ \\
                    \midrule
                    1   & 0   & 0   & 0 \\
                    \midrule
                    1   & 0   & 1   & 0 \\
                    \midrule
                    1   & 1   & 0   & 1 $\quad \rightarrow \quad$ minterme associé~: $\quad x \cdot y \cdot \bar{z}$ \\
                    \midrule
                    1   & 1   & 1   & 1 $\quad \rightarrow \quad$ minterme associé~: $\quad x \cdot y \cdot z$ \\
                    \bottomrule

                \end{tabular}

                $f(x, y, z) = \bar{x} \cdot \bar{y} \cdot z + \bar{x} \cdot y \cdot z + x \cdot y \cdot \bar{z} + x \cdot y \cdot z$

            \end{center}

        \subsubsection{Deuxième forme canonique --- Forme conjonctive}

            On peut aussi dire que la fonction est le ET logique des maxtermes associés aux vecteurs pour lesquels la fonction vaut 0.
            Avec le même exemple~:

            \begin{center}

                \begin{tabular}{ccc|l}

                    \toprule
                    $x$ & $y$ & $z$ & $f(x, y, z)$ \\
                    \toprule
                    0   & 0   & 0   & 0 $\quad \rightarrow \quad$ maxterme associé~: $\quad x + y + z$ \\
                    \midrule
                    0   & 0   & 1   & 1 \\
                    \midrule
                    0   & 1   & 0   & 0 $\quad \rightarrow \quad$ maxterme associé~: $\quad x + \bar{y} + z$ \\
                    \midrule
                    0   & 1   & 1   & 1 \\
                    \midrule
                    1   & 0   & 0   & 0 $\quad \rightarrow \quad$ maxterme associé~: $\quad \bar{x} + y + z$ \\
                    \midrule
                    1   & 0   & 1   & 0 $\quad \rightarrow \quad$ maxterme associé~: $\quad \bar{x} + y + \bar{z}$ \\
                    \midrule
                    1   & 1   & 0   & 1 \\
                    \midrule
                    1   & 1   & 1   & 1 \\
                    \bottomrule

                \end{tabular}

                $f(x, y, z) = (x + y + z) \cdot (x + \bar{y} + z) \cdot (\bar{x} + y + z) \cdot (\bar{x} + y + \bar{z})$

            \end{center}

        \subsubsection{Simplification des fonctions booléennes --- Tableau de Karnaugh}

            Soit $S$ la fonction définie par le tableau de vérité et l'expression suivants~:

            \begin{tabular}{r|ccc|c}
                \toprule
                valeur décimale & $x_2$ & $x_1$ & $x_0$ & $S$ \\
                \midrule
                0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
                1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
                2 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
                3 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
                4 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
                5 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
                6 & 1 & 1 & 0 & 1 \\
                7 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
                \bottomrule
            \end{tabular}

            $S = \overline{x_2} \cdot x_1 \cdot \overline{x_0} + \overline{x_2} \cdot x_1 \cdot x_0 + x_2 \cdot \overline{x_1} \cdot \overline{x_0} + x_2 \cdot \overline{x_1} \cdot x_0 + x_2 \cdot x_1 \cdot \overline{x_0}$

            On peut simplifier l'expression~:

            \begin{align*}
                \overline{x_2} \cdot x_1 \cdot \overline{x_0} + \overline{x_2} \cdot x_1 \cdot x_0
                &= \overline{x_2} \cdot x_1 \cdot (\overline{x_0} + \cdot x_0) \\
                &= \overline{x_2} \cdot x_1 \cdot 1 \\
                &= \overline{x_2} \cdot x_1 \\
            \end{align*}

            On a regroupé deux mintermes différents par la complémentation d'une variable.
            Un \emph{tableau de Karnaugh} permet de faire cela de manière systématique.

            Pour créer un tableau de Karnaugh, on reproduit une table de vérité sous forme d'un tableau à double entrée selon le code Gray (un seul bit change entre deux entrées adjacentes).

            \paragraph{Exemple}

                \begin{multicols}{2}

                    $G = \overline{x_2} \cdot x_1 \cdot \overline{x_0} + \overline{x_2} \cdot x_1 \cdot x_0$

                    \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
                        \hline
                        $x_2\backslash x_1 x_0$ & 00 & 01 & 11 & 10 \\
                        \hline
                        0 & $0_0$ & $0_1$ & $\textcolor{red}{1}_3$ & $\textcolor{red}{1}_2$ \\
                        \hline
                        1 & $0_4$ & $0_5$ & $0_7$ & $0_6$ \\
                        \hline
                    \end{tabular}

                \end{multicols}

                Pour chaque minterme correspondant à deux cases adjacentes à 1 du tableau, il suffit alors de recopier seulement les variables qui ne changent pas~:

                $G = \overline{x_2} \cdot x_1 \cdot (\overline{x_0} + x_0) = \overline{x_2} \cdot x_1$
                \quad (ici $x_0$ change et donc s'annule)

                On peut ainsi regrouper 2, 4 voire 8 cases (= 1, 2 ou 3 mintermes).

\clearpage
\section{Logique combinatoire}

    \subsection{Les codeurs}

        Un codeur possède $2^n$ entrées pour $n$ sorties.
        Donc 8 entrées pour 3 sorties, 4 entrées pour 2 sorties, etc.

        Une seule entrée ne peut être active (mise à 1) à la fois.
        Le codeur code en binaire le numéro décimal de l'entrée active.

        Par exemple, pour un codeur en 8$\times$3, si l'entrée n°$6_{10}$ est activée à 1, la sortie vaudra $110_2$.

        \begin{center}
            \includegraphics[width=0.3\textwidth]{./img/codeur.png}
        \end{center}

    \subsection{Encodeur de priorité}

        Même principe que le pour le codeur, mais plusieurs entrées peuvent être actives en même temps.
        Dans ce cas, on décide d'un ordre de priorité, et l'encodeur s'arrête de lire les entrées quand il rencontre l'entrée active la plus prioritaire.

        Par exemple, avec $I_3, I_2, I_1, I_0$ en entrée et par ordre de priorité et $S_1, S_0$ en sortie~:

        \begin{multicols}{2}

            \includegraphics[width=0.2\textwidth]{./img/encodeur-de-priorite.png}

            \begin{tabular}{cccc|cc|c}
                \toprule
                \multicolumn{4}{c|}{Entrées} & \multicolumn{3}{c}{Sortie} \\
                $I_3$ & $I_2$    & $I_1$    & $I_0$    & $S_1$    & $S_0$    & $V$ \\
                \midrule
                H     & $\times$ & $\times$ & $\times$ & H        & H        & H \\
                L     & H        & $\times$ & $\times$ & H        & L        & H \\
                L     & L        & H        & $\times$ & L        & H        & H \\
                L     & L        & L        & H        & L        & L        & H \\
                L     & L        & L        & L        & $\times$ & $\times$ & L \\
                \bottomrule
            \end{tabular}

        \end{multicols}

        $\times$~: peu importe la valeur.

        La colomne $V$ (validation) indique au système l'interruption à traiter.
        Elle est active quand une entrée à été lue.

    \subsection{Décodeurs d'adresses}

        Il se comporte à l'inverse du codeur.
        Il lit l'entrée en binaire, puis active la sortie correspondant à la valeur décimale correspondante~:

        \begin{multicols}{2}

            \includegraphics[width=0.2\textwidth]{./img/decodeur-adresses.png}

            \begin{tabular}{cc|cccc}
                \toprule
                $A_1$ & $A_0$ & $Y_0$ & $Y_1$ & $Y_2$ & $Y_3$ \\
                \midrule
                L & L & H & L & L & L \\
                L & H & L & H & L & L \\
                H & L & L & L & H & L \\
                H & H & L & L & L & H \\
                \bottomrule
            \end{tabular}

        \end{multicols}

    \subsection{Décodeur 7 segments}

        Il est utilisé pour les horloges numériques.

        \begin{center}
            \includegraphics[width=0.3\textwidth]{./img/decodeur-sept-segments.png}
        \end{center}

        Il suffit de programmer quelles DELs en sortie vont s'allumer par rapport aux entrées binaires.

    \subsection{Multiplexeurs}

        Aux entrées s'ajoutent des signaux de sélection, qui indiquent quelle donnée sera transmise en sortie.

        \begin{multicols}{2}

            \includegraphics[width=0.2\textwidth]{./img/multiplexeur.png}

            \begin{tabular}{c|cc|c}
                \toprule
                & $S_1$ & $S_0$ & Y \\
                \midrule
                0 & L & L & $D_0$ \\
                1 & L & H & $D_1$ \\
                2 & H & L & $D_2$ \\
                3 & H & H & $D_3$ \\
                \bottomrule
            \end{tabular}

        \end{multicols}

        \subsubsection{Multiplexeur générateur de fonction logique}

            Un multiplexeur peut être représenté par une fonction logique~:

            $F(x_3, x_2, x_1, x_0) = \sum{(0, 1, 2, 4, 5, 8, 10)}$

            \begin{multicols}{2}

                avec 4 entrées de sélection~:

                \includegraphics[width=0.3\textwidth]{./img/multiplexeur-fonction-logique.png}

            \end{multicols}

            \begin{multicols}{2}

                avec 3 entrées de sélection~:

                \includegraphics[width=0.4\textwidth]{./img/multiplexeur-fonction-logique-bis.png}

            \end{multicols}

            \begin{multicols}{2}

                avec 2 entrées de sélection~:

                \includegraphics[width=0.4\textwidth]{./img/multiplexeur-fonction-logique-ter.png}

            \end{multicols}

    \subsection{Démultiplexeurs}

        Même chose dans l'autre sens~: une entrée (et des entrées de sélection) et plusieurs sorties, correspondant aux représentations décimales des entrées de sélection pour choisir sur quel canal envoyer l'entrée.

        \begin{tabularx}{\linewidth}{Y|Y|YY|YYYY}
            \toprule
              & Entrée & \multicolumn{2}{c|}{Entrées de sélection} & \multicolumn{4}{c}{Sorties} \\
              & G & $A_1$ & $A_0$ & $Y_0$ & $Y_1$ & $Y_2$ & $Y_3$ \\
            \midrule
            0 & L & L & L & L & H & H & H \\
            1 & L & L & H & H & L & H & H \\
            2 & L & H & L & H & H & L & H \\
            3 & L & H & H & H & H & H & L \\
              & H & $\times$ & $\times$ & H & H & H & H \\
            \bottomrule
        \end{tabularx}

\end{document}
