\documentclass[a4paper,french,12pt]{article} \title{Analyse} \author{Alain OSTER --- \href{mailto:alain.oster@intervenants.efrei.fr}{\nolinkurl{alain.oster@intervenants.efrei.fr}}} \date{Dernière compilation~: \today{} à \currenttime} \usepackage{../cours} \begin{document} \maketitle \tableofcontents \clearpage \section{Rappels préliminaires} \begin{tabularx}{\linewidth}{c|YYYYY} \toprule x & 0 & $\frac{\pi}{6}$ & $\frac{\pi}{4}$ & $\frac{\pi}{3}$ & $\frac{\pi}{2}$ \\ \midrule $\sin{x}$ & 0 & $\frac{1}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & 1 \\ \midrule $\cos{x}$ & 1 & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{1}{2}$ & 0 \\ \midrule $\frac{\sin{x}}{\cos{x}} = \tan{x}$ & 0 & $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ & 1 & $\sqrt{3}$ & impossible \\ \bottomrule \end{tabularx} $e^0 = 1 ; e^1 = e$ $\ln{0} = \text{impossible} ; \ln{1} = 0 ; \ln{e} = 1$ \section{Rappel sur les dérivées} \subsection{Définition} Soit une fonction $f$ définie au voisinage d'un réel $a$. On dit que $f$ est dérivable en $a$ s'il existe un réel $l$ (appelé nombre dérivé de $f$ en $a$), tel que l'on ait une des deux propriétés suivantes~: \begin{multicols}{2} \begin{enumerate} \item $\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = l$ \item $\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = l$ \end{enumerate} \end{multicols} Alors $f'(a) = l$. \subsection{Interprétation graphique} \begin{multicols}{2} \includegraphics[width=0.4\textwidth]{./img/rappel-deriv-int-graph.png} Au point $A = (a, y_a = f(a))$, la droite $\Delta$ est la tangente de $f(x)$ en $A$. \begin{displaymath} \Delta : y = px + m \end{displaymath} La dérivée donne la pente de la droite $\Delta$. \begin{displaymath} p = f'(a) \end{displaymath} \end{multicols} Ainsi~: \begin{itemize} \item si $f'(a) < 0$ alors $f$ est décroissante \item si $f'(a) > 0$ alors $f$ est croissante \item si $f'(a) = 0$ alors $f$ passe par un extremum (max, min, ou point d'inflexion) \end{itemize} \subsection{Dérivées usuelles} \begin{tabularx}{\linewidth}{YYY} \toprule Fonction & Dérivée & Dérivabilité \\ \toprule $x^n$ avec $n\in\mathbb{Z}$ & $nx^{n-1}$ & $\mathbb{R}^*$ \\ \midrule $x^\alpha$ avec $\alpha\in\mathbb{R}$ & $\alpha x^{\alpha - 1}$ & $\mathbb{R}_+^*$ \\ \midrule $\sqrt{x}$ & $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ & $\mathbb{R}^*$ \\ \midrule $e^{\alpha x}$ avec $\alpha\in\mathbb{C}$ & $\alpha e^{\alpha x}$ & $\mathbb{R}$ \\ \midrule $a^x$ avec $a\in\mathbb{R}_+^*$ & $a^x \ln{a}$ & $\mathbb{R}$ \\ \midrule $\ln{|x|}$ & $\frac{1}{x}$ & $\mathbb{R}^*$ \\ \midrule $\cos{x}$ & $-\sin{x}$ & $\mathbb{R}$ \\ \midrule $\sin{x}$ & $\cos{x}$ & $\mathbb{R}$ \\ \midrule $\tan{x}$ & $1 + \tan^2{x} = \frac{1}{\cos^2{x}}$ & $\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2} + k \pi\middle|k\in\mathbb{Z}\right\}$ \\ \midrule $\cot{x}$ & $-1 - \cot^2{x} = \frac{-1}{\sin^2{x}}$ & $\mathbb{R}\setminus\pi\mathbb{Z}$ \\ \midrule $\arcsin{x}$ & $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ & $]-1; 1[$ \\ \midrule $\arccos{x}$ & $\frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}$ & $]-1; 1[$ \\ \midrule $\arctan{x}$ & $\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$ & $\mathbb{R}$ \\ \bottomrule \end{tabularx} \subsection{Propriétés} Soit $a$ un réel et $u$, $v$, $f$ des fonctions dérivables. \begin{tabularx}{\linewidth}{lXl} \toprule \multirow{2}{*}{\textbf{Linéarité}} & \textcolor{red}{$(u + v)' = u' + v'$} & \\ & \textcolor{red}{$(au)' = au'$} & \\ \midrule \textbf{Produit} & \textcolor{red}{$(uv)' = u'v + uv'$} & \\ \midrule \textbf{Inverse} & \makecell{\textcolor{red}{$\left(\frac{1}{v}\right)' = - \frac{v'}{v^2}$} \\ pour $v \neq 0$} & (équivaut à $(v^{-1})'$ avec la formule usuelle) \\ \midrule \textbf{Quotient} & \makecell{\textcolor{red}{$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$} \\ pour $v \neq 0$} & (on retrouve l'inverse pour $u = 1$) \\ \midrule \textbf{Composée} & \textcolor{red}{$(f(u))' = u'f'(u)$} & \makecell{(si $u$ était une constante, la dérivée serait nulle) \\ ($f'(u) = \frac{df}{du}$ est la dérivée de $f$ par rapport à $u$)} \\ \midrule \textbf{Réciproque} & \multicolumn{2}{l}{\textcolor{red}{$(f^{-1})' = \frac{1}{f' \text{ à } f^{-1}}$} ou bien \textcolor{red}{$f^{-1}(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$}} \\ \bottomrule \end{tabularx} \subsubsection{Exemples pour la composée} $f(x) = {(3x + 5)}^4$ \begin{align*} f'(x) &= (3x + 5)' \cdot 4{(3x + 5)}^3 & u &= 3x + 5 \\ &= 3 \cdot 4{(3x + 5)}^3 & u' &= 3 \\ &= 12{(3x + 5)}^3 & (u^4)' &= 4u^3 \\ \end{align*} $f(x) = \cos(5x + 7)$ \begin{align*} f'(x) &= (5x + 7) \cdot (-\sin(5x + 7)) & u &= 5x + 7 \\ &= -5\sin(5x + 7) & u' &= 5 \\ & & \cos(u)' &= -\sin(u) \\ \end{align*} \section{Techniques d'intégration} \subsection{Primitives} Si $f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$, $F(x)$ est une primitive de $f(x)$ si et seulement si $F$ est dérivable sur $I$ et $F'(x) = f(x)$. Avec $F(x)$ une primitive de $f(x)$ sur un intervalle $I$, $G(x)$ une primitive de $g(x)$ sur un intervalle $J$, et $k$ un nombre réel~: \begin{itemize} \item $F(x) + G(x)$ est une primitive de $f(x) + g(x)$ sur $I \cap J$ \item $kF(x)$ est une primitive de $kf(x)$ sur $I$ \end{itemize} \subsubsection{Primitives usuelles} \begin{tabularx}{\linewidth}{YYY} \toprule Fonction & Primitive & Intervalle \\ \toprule $a$ ($a$ est une constante) & $ax + C$ & $\mathbb{R}$ \\ \midrule $x$ & $\frac{1}{2}x^2 + C$ & $\mathbb{R}$ \\ \midrule $x^n$ ($n\in\mathbb{N}^*$) & $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ & $\mathbb{R}$ \\ \midrule $x^k$ ($k\in\mathbb{Z}$ et $k \neq -1$) & $\frac{x^{k+1}}{k+1} + C$ & $]{-\infty}; 0[$ ou $]0;+\infty[$ \\ \midrule $x^a$ ($a\in\mathbb{R}$ et $k \neq -1$) & $\frac{x^{a+1}}{a+1} + C$ & $]0;+\infty[$ \\ \midrule $\frac{1}{x^2}$ ($=x^{-2}$) & $-\frac{1}{x} + C$ ($=\frac{x^{-1}}{-1} + C$) & $]{-\infty}; 0[$ ou $]0;+\infty[$ \\ \midrule $\frac{1}{\sqrt{x}}$ ($=x^{-\frac{1}{2}}$) & $2\sqrt{x} + C$ ($=\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C$) & $]0;+\infty[$ \\ \midrule $\frac{1}{x}$ & $\ln{x} + C$ & $]0;+\infty[$ \\ \midrule $e^x$ & $e^x + C$ & $\mathbb{R}$ \\ \midrule $\cos{x}$ & $\sin{x} + C$ & $\mathbb{R}$ \\ \midrule $\sin{x}$ & $-\cos{x} + C$ & $\mathbb{R}$ \\ \midrule $\frac{1}{1 + x^2}$ & $\arctan{x} + C$ & $\mathbb{R}$ \\ \bottomrule \end{tabularx} \subsubsection{Primitives de fonctions composées\label{subsubsec:primitives-composees}} \begin{tabularx}{\linewidth}{YY} \toprule Fonction & Primitive \\ \toprule $u'u^n$ ($n\in\mathbb{N}$) & $\frac{u^{n+1}}{n+1} + C$ \\ \midrule $u'u^a$ ($a\in\mathbb{R}$, $a \neq -1$) & $\frac{u^{a+1}}{a+1} + C$ \\ \midrule $\frac{u'}{u^2}$ & $\frac{u^{-1}}{-1} + C$ \\ \midrule $\frac{u'}{\sqrt{u}}$ & $2\sqrt{u} + C$ \\ \midrule $u'\cos{u}$ & $\sin{u} + C$ \\ \midrule $u'\sin{u}$ & $-\cos{u} + C$ \\ \midrule $\frac{u'}{u}$ & $\ln{|u|} + C$ \\ \midrule $u'e^u$ & $e^u + C$ \\ \midrule $\frac{u'}{1 + u^2}$ & $\arctan{u} + C$ \\ \bottomrule \end{tabularx} \subsection{Intégrales} Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et $a$ et $b$ sont deux réels de $I$, l'intégrale de $a$ à $b$ de la fonction $f$ se note $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$. On a alors \textcolor{red}{$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$}. \subsubsection{Intégration par identification} Il s'agit d'essayer de reconnaître une des formes de primitives composées (voir~\ref{subsubsec:primitives-composees}), pour éviter de calculer des expressions complexes à la main. \subsubsection{Intégration par parties} \paragraph{Formule} Si $u$ et $v$ sont dérivables sur $I$ et $u'$ et $v'$ sont continues sur $I$, alors pour tous réels $a$ et $b$ de $I$~: \begin{equation*} \textcolor{red}{\int_a^b uv'\,\mathrm{d}x = [uv]_a^b - \int_a^b u'v\,\mathrm{d}x} \end{equation*} \paragraph{Mnémotechnique} Il s'agit donc de trouver quelle expression attribuer à $u$ et quelle expression attribuer à $v'$. Un moyen mnémotechnique est~: \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} \multirow{6}{*}{dérivation} & ALPES & \multirow{6}{*}{intégration} \\ & A~: $\arctan$ & \\ & L~: $\ln$ & \\ & P~: polynômes & \\ & E~: $e$ & \\ & S~: $\sin \text{ et } \cos$ & \\ \end{tabularx} \paragraph{Exemple} \begin{align*} I = \int_0^1 xe^{2x}\,\mathrm{d}x \\ u &= x & u' &= 1 \\ v' &= e^{2x} & v &= \frac{1}{2} e^{2x} \\ \end{align*} La formule $\int_0^1 uv'\,\mathrm{d}x = [uv]_0^1 - \int_0^1 u'v\,\mathrm{d}x$ devient~: \begin{align*} I &= [\frac{x}{2} e^{2x}]_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{2} e^{2x}\,\mathrm{d}x \\ &= [\frac{x}{2} e^{2x}]_0^1 - \frac{1}{2} [\frac{1}{2} e^{2x}]_0^1 \\ &= [\frac{x}{2} e^{2x}]_0^1 - \frac{1}{4} [e^{2x}]_0^1 \\ &= \frac{e^2}{2} - \frac{1}{4} (e^2 - e^0) \\ &= \frac{e^2}{2} - \frac{e^2 - 1}{4} \\ &= \frac{e^2 + 1}{4} \\ \end{align*} \subsubsection{Intégration par changement de variables} \paragraph{Formule} $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{u(a)}^{u(b)} f(u)\,\frac{\mathrm{d}u}{u}$ \paragraph{Exemple} \begin{align*} \int_0^{\ln{\sqrt{3}}} \frac{1}{e^x + e^{-x}}\,\mathrm{d}x\text{,\quad on pose }u=e^x \end{align*} \begin{align*} &= \int_{e^0}^{e^{\ln{\sqrt{3}}}} \frac{1}{u + \frac{1}{u}}\,\frac{\mathrm{d}u}{u} \\\\ &= \int_1^{\sqrt{3}} \frac{1}{u^2 + 1}\,\mathrm{d}u = [\arctan{u}]_1^{\sqrt{3}} = \arctan{\sqrt{3}} - \arctan{1} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12} \end{align*} \section{Equations différentielles} \section{Intégrales généralisées} \section{Séries de Fourier} \end{document}