\documentclass[a4paper,french,11pt]{article} \title{Analyse} \author{} \date{Dernière compilation~: \today{} à \currenttime} \usepackage{../cours} \begin{document} \maketitle \tableofcontents \clearpage \section{Coin par c\oe{}ur} \paragraph{Trigonométrie} \begin{tabularx}{\linewidth}{c|YYYYY} \toprule x & 0 & $\frac{\pi}{6}$ & $\frac{\pi}{4}$ & $\frac{\pi}{3}$ & $\frac{\pi}{2}$ \\ \midrule $\sin{x}$ & 0 & $\frac{1}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & 1 \\ \midrule $\cos{x}$ & 1 & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{1}{2}$ & 0 \\ \midrule $\frac{\sin{x}}{\cos{x}} = \tan{x}$ & 0 & $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ & 1 & $\sqrt{3}$ & impossible \\ \bottomrule \end{tabularx} \paragraph{Exponentielle et Logarithme} \begin{multicols}{2} $e^0 = 1 ; e^1 = e$ $\ln{0} = \text{impossible~; } \ln{1} = 0 \text{~; } \ln{e} = 1$ \end{multicols} \paragraph{Dérivées et Primitives} \begin{multicols}{2} \begin{tabularx}{\linewidth}{YY} \toprule Primitive --- $f(x)$ & Dérivée --- $f'(x)$ \\ \toprule \textcolor{red}{$a$} & 0 \\ \midrule \textcolor{red}{$ax$} & \textcolor{red}{$a$} \\ \midrule $\frac{1}{2} x^2$ & \textcolor{red}{$x$} \\ \midrule \textcolor{red}{$x^n$} & \textcolor{red}{$nx^{n-1}$} \\ \midrule \textcolor{red}{$\sqrt{x}$} & $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ \\ \midrule $\frac{2}{3} x\sqrt{x}$ & \textcolor{red}{$\sqrt{x}$} \\ \midrule \textcolor{red}{$e^{ax}$} & \textcolor{red}{$ae^{ax}$} \\ \midrule \textcolor{red}{$a^x$} & $a^x \ln{a}$ \\ \midrule \textcolor{red}{$\ln{|x|}$} & \textcolor{red}{$\frac{1}{x}$} \\ \midrule \textcolor{red}{$-\frac{1}{x}$} & \textcolor{red}{$\frac{1}{x^2}$} \\ \midrule \textcolor{red}{$\cos{x}$} & \textcolor{red}{$-\sin{x}$} \\ \midrule \textcolor{red}{$\sin{x}$} & \textcolor{red}{$\cos{x}$} \\ \midrule \textcolor{red}{$\tan{x}$} & $1 + \tan^2{x} = \frac{1}{\cos^2{x}}$ \\ \midrule $\cot{x}$ & $-1 - \cot^2{x} = \frac{-1}{\sin^2{x}}$ \\ \midrule $\arccos{x}$ & $\frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}$ \\ \midrule $\arcsin{x}$ & $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ \\ \midrule \textcolor{red}{$\arctan{x}$} & \textcolor{red}{$\frac{1}{1 + x^2}$} \\ \bottomrule \end{tabularx} \columnbreak \begin{tabularx}{\linewidth}{lY} \toprule \multirow{2}{*}{Linéarité} & $(u + v)' = u' + v'$ \\ & $(au)' = au'$ \\ \midrule Produit & $(uv)' = u'v + uv'$ \\ \midrule Inverse & $\left(\frac{1}{v}\right)' = - \frac{v'}{v^2}$ \\ \midrule Quotient & $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ \\ \midrule Composée & $(f(u))' = u'f'(u)$ \\ \bottomrule \end{tabularx} \begin{tabularx}{\linewidth}{YY} \toprule Fonction & Primitive \\ \toprule $u'u^n$ & $\frac{u^{n+1}}{n+1}$ \\ \midrule $\frac{u'}{u^2}$ & $-\frac{1}{u}$ \\ \midrule $\frac{u'}{\sqrt{u}}$ & $2\sqrt{u}$ \\ \midrule $u'\cos{u}$ & $\sin{u}$ \\ \midrule $u'\sin{u}$ & $-\cos{u}$ \\ \midrule $\frac{u'}{u}$ & $\ln{|u|}$ \\ \midrule $u'e^u$ & $e^u$ \\ \midrule $\frac{u'}{1 + u^2}$ & $\arctan{u}$ \\ \bottomrule \end{tabularx} \end{multicols} \paragraph{Intégrales} $\int_a^b f(x)\dif x = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$ \begin{tabularx}{\linewidth}{YYY} \toprule Intégration par parties~: & Intégration par changement de variables~: \\ \midrule $\int_a^b uv'\dif x = [uv]_a^b - \int_a^b u'v\dif x$ & $\int_a^b f(x)\dif x = \int_{u(a)}^{u(b)} f(u)\frac{\dif u}{u'}$ \\ \bottomrule \end{tabularx} \paragraph{Équations différentielles} \begin{tabularx}{\linewidth}{lllc} \toprule \multicolumn{2}{l}{Type d'E.D.} & Solutions & \\ \toprule \multicolumn{2}{l}{$ay' + by = 0$} & $\lambda e^{rx} \quad \text{ avec } r = \frac{-b}{a}$ & $a, b, \lambda\in\mathbb{R}$ \\ \midrule \multicolumn{2}{l}{$ay' + by = f(x)$} & $y_0 + \lambda e^{rx} \quad \text{ avec } r = \frac{-b}{a}$ & \makecell{$y_0$ solution particulière de \\ $ay' + by = f(x)$ \\ $f$ une fonction et $a, b, \lambda\in\mathbb{R}$} \\ \midrule \multirow{3}{*}{$ay'' + by' + cy = 0$} & $\Delta > 0$ & $\lambda e^{r_1 x} + \mu e^{r_2 x}$ & \multirowcell{3}[0pt][c]{$\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ \\ $\alpha = \frac{-b}{2a} \quad \beta = \frac{\sqrt{|\Delta|}}{2a}$} \\ \cline{2-3} & $\Delta = 0$ & $(\lambda x + \mu) e^{r_0 x}$ & \\ \cline{2-3} & $\Delta < 0$ & $e^{\alpha x}(\lambda\cos{(\beta x)} + \mu\sin{(\beta x)})$ & \\ \bottomrule \end{tabularx} \paragraph{Solutions particulières des équations différentielles de 2\up{nd} ordre} \begin{tabularx}{\linewidth}{XX} \toprule \multicolumn{2}{l}{Second membre du type $e^{\alpha x}P(x)$} \\ $\alpha$ non racine & $y_1 = e^{\alpha x} Q(x)$ \\ $\alpha$ racine simple & $y_1 = x e^{\alpha x} Q(x)$ \\ $\alpha$ racine double & $y_1 = x^2 e^{\alpha x} Q(x)$ \\ \midrule \multicolumn{2}{l}{Second membre du type $e^{\alpha x}(P_1(x)\cos(\beta x) + P_2(x)\sin(\beta x))$} \\ $\alpha + i\beta$ non racine & $y_1 = e^{\alpha x}(Q_1(x)\cos(\beta x) + Q_2(x)\sin(\beta x))$ \\ $\alpha + i\beta$ racine & $y_1 = x e^{\alpha x}(Q_1(x)\cos(\beta x) + Q_2(x)\sin(\beta x))$ \\ \bottomrule \end{tabularx} \paragraph{Intégrales généralisées} Intégrales de référence~: \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} \toprule Intégrale & converge si & diverge si \\ \toprule $\int_a^{+\infty}\frac{1}{x^{\alpha}}\dif x$ & $\alpha > 1$ & $\alpha \leq 1$ \\ \midrule $\int_a^{+\infty}e^{-\alpha x}\dif x$ & $\alpha > 0$ & $\alpha \leq 0$ \\ \midrule $\int_a^{+\infty}x^n e^{-\alpha x}\dif x$ & $\alpha > 0$ & $\alpha \leq 0$ \\ \midrule $\int_a^{+\infty}\frac{1}{x^{\alpha}(\ln x)^{\beta}}\dif x$ & $(\alpha > 1)$ ou $(\alpha = 1 \text{ et }\beta > 1)$ & $(\alpha < 1)$ ou $(\alpha = 1 \text{ et }\beta \leq 1)$ \\ \bottomrule \end{tabularx} Majoration, minoration~: Si $0 \leq f(x) \leq g(x)$~: \begin{align*} \int_a^{+\infty}g(x)\dif x \text{ converge } &\implies \int_a^{+\infty}f(x)\dif x \text{ converge aussi} \\ \int_a^{+\infty}f(x)\dif x \text{ diverge } &\implies \int_a^{+\infty}g(x)\dif x \text{ diverge aussi} \end{align*} \clearpage \section{Rappel sur les dérivées} \subsection{Définition} Soit une fonction $f$ définie au voisinage d'un réel $a$. On dit que $f$ est dérivable en $a$ s'il existe un réel $l$ (appelé nombre dérivé de $f$ en $a$), tel que l'on ait une des deux propriétés suivantes~: \begin{multicols}{2} \begin{enumerate} \item $\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = l$ \item $\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = l$ \end{enumerate} \end{multicols} Alors $f'(a) = l$. \subsection{Interprétation graphique} \begin{multicols}{2} \includegraphics[width=0.4\textwidth]{./img/rappel-deriv-int-graph.png} Au point $A = (a, y_a = f(a))$, la droite $\Delta$ est la tangente de $f(x)$ en $A$. \begin{displaymath} \Delta : y = px + m \end{displaymath} La dérivée donne la pente de la droite $\Delta$. \begin{displaymath} p = f'(a) \end{displaymath} \end{multicols} Ainsi~: \begin{itemize} \item si $f'(a) < 0$ alors $f$ est décroissante \item si $f'(a) > 0$ alors $f$ est croissante \item si $f'(a) = 0$ alors $f$ passe par un extremum (max, min, ou point d'inflexion) \end{itemize} \clearpage \section{Techniques d'intégration} \subsection{Intégration par identification} Il s'agit d'essayer de reconnaître une des formes de primitives composées, pour éviter de calculer des expressions complexes à la main. \subsection{Intégration par parties} \paragraph{Mnémotechnique} Il s'agit de trouver quelle expression attribuer à $u$ et quelle expression attribuer à $v'$. Un moyen mnémotechnique est~: \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} \multirow{6}{*}{dérivation} & ALPES & \multirow{6}{*}{intégration} \\ & A~: $\arctan$ & \\ & L~: $\ln$ & \\ & P~: polynômes & \\ & E~: $e$ & \\ & S~: $\sin \text{ et } \cos$ & \\ \end{tabularx} \paragraph{Exemple} \begin{align*} I = \int_0^1 xe^{2x}\dif x \\ u &= x & u' &= 1 \\ v' &= e^{2x} & v &= \frac{1}{2} e^{2x} \\ \end{align*} La formule $\int_0^1 uv'\dif x = [uv]_0^1 - \int_0^1 u'v\dif x$ devient~: \begin{align*} I &= [\frac{x}{2} e^{2x}]_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{2} e^{2x}\dif x \\ &= [\frac{x}{2} e^{2x}]_0^1 - \frac{1}{2} [\frac{1}{2} e^{2x}]_0^1 \\ &= [\frac{x}{2} e^{2x}]_0^1 - \frac{1}{4} [e^{2x}]_0^1 \\ &= \frac{e^2}{2} - \frac{1}{4} (e^2 - e^0) \\ &= \frac{e^2}{2} - \frac{e^2 - 1}{4} \\ &= \frac{e^2 + 1}{4} \\ \end{align*} \subsection{Intégration par changement de variables} \paragraph{Exemple} \begin{align*} \int_0^{\ln{\sqrt{3}}} \frac{1}{e^x + e^{-x}}\dif x\text{,\quad on pose }u&=e^x \\ u' &= e^x = \frac{\dif u}{\dif x} \\ \dif x &= \frac{\dif u}{e^x} = \frac{\dif u}{u} \end{align*} Cela nous donne~: \begin{align*} \int_{e^0}^{e^{\ln{\sqrt{3}}}} \frac{1}{u + \frac{1}{u}}\,\frac{\dif u}{u} \\ &= \int_1^{\sqrt{3}} \frac{1}{u^2 + 1}\dif u \\ &= [\arctan{u}]_1^{\sqrt{3}} \\ &= \arctan{\sqrt{3}} - \arctan{1} \\ &= \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12} \\ \end{align*} \clearpage \section{Équations différentielles} On étudie ici les équations différentielles \emph{linéaires} et à \emph{coefficients constants}. \subsection{Équations différentielles du 1\up{er} ordre} Elles sont de la forme $\color{red}{ay' + by = h(x)} \quad (E)$ \quad où $a, b \in \mathbb{R}^*$ et où $y = y(x)$ est la fonction recherchée. $(E)$ est linéaire car $y$ intervient de manière linéaire~: il n'y a pas de terme du type $y^3, y^2, \sin{y}$, etc\ldots Résoudre une telle équation différentielle se fait en 3 étapes. \subsubsection{Trouver la solution homogène ($y_0$)} On commence par résoudre l'équation homogène (c'est à dire sans la fonction $h(x)$) associée~: \begin{equation*} ay_0' + by_0 = 0 \quad (E_0) \end{equation*} Cela nous donne une équation caractéristique~: \begin{align*} ar + b &= 0 \\ r &= -\frac{b}{a} \end{align*} La solution de $(E_0)$ est alors $\color{red}{y_0 = \lambda e^{rx}} \quad \text{ où } \lambda\in\mathbb{R}$. \subsubsection{Trouver une solution particulière ($y_1$)} On cherche maintenant une solution particulière de $(E)$ ($ay' + by = h(x)$). Pour cela, on va passer par une fonction $y_1$ de même type que la fonction $h(x)$~: \begin{itemize} \item Pour $h(x) = P_n(x)$, polynôme de degré $n$ \begin{equation*} \color{red}{y_1 = Q_n(x)} \text{, polynôme de même degré $n$} \end{equation*} \begin{align*} x &\rightarrow Ax + B \\ x^2 &\rightarrow Ax^2 + Bx + C \\ x^3 &\rightarrow Ax^3 + Bx^2 + Cx + D \\ \dots \end{align*} \item Pour $h(x) = P_n(x) e^{\lambda x}$ \begin{enumerate} \item si $\lambda \neq r$~: \begin{equation*} \color{red}{y_1(x) = Q_n(x) e^{\lambda x}} \end{equation*} \item si $\lambda = r$~: \begin{equation*} \color{red}{y_1(x) = x Q_n(x) e^{\lambda x}} \end{equation*} \end{enumerate} \item Pour $h(x) = \alpha\cos{px} + \beta\sin{px}$ \begin{equation*} \color{red}{y_1(x) = A\cos{px} + B\sin{px}} \end{equation*} \end{itemize} On applique alors l'équation de départ à $y_1$~: \begin{equation*} Ay_1' + By_1 = h(x) \end{equation*} Et on la résoud pour trouver $A, B, C, \dots$. Cela nous donne $y_1$, solution particulière. \subsubsection{Écrire la solution générale ($y$)} La solution générale de $(E)$ s'écrit~: \begin{equation*} \color{red}{y = y_0 + y_1} \end{equation*} \subsection{Équations différentielles du 2\up{nd} ordre} Elles sont de la forme $\color{red}{ay'' + by' + cy = g(x)} \quad (E) \quad \text{ où } a, b, c \in \mathbb{R}$ Là encore, on passe par les 3 mêmes étapes que pour les équations différentielles du 1\up{er} ordre. \subsubsection{Trouver la solution homogène ($y_0$)} L'équation homogène associée est~: \begin{equation*} ay'' + by' +cy = 0 \quad (E_0) \end{equation*} Cela nous donne une équation caractéristique~: \begin{align*} &ar^2 + br + c = 0 \\ &\Delta = b^2 - 4ac \quad \text{(le discriminant)} \end{align*} \begin{itemize} \item si $\Delta > 0$, l'équation caractéristique possède deux racines réelles distinctes $ \left\{ \begin{array}{l} r_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \\ r_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \\ \end{array} \right.$ Les solutions de $(E_0)$ sont alors~: \begin{equation*} \color{red}{y_0 = \lambda e^{r_1 x} + \mu e^{r_2 x}} \quad \text{ où } \lambda, \mu \in \mathbb{R} \end{equation*} \item si $\Delta = 0$, l'équation caractéristique possède une racine double $r_0$~: \begin{align*} \left\{ \begin{array}{l} r_0 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \\\\ r_0 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \\ \end{array} \right. \implies \left\{ \begin{array}{l} r_0 = \frac{-b - 0}{2a} \\\\ r_0 = \frac{-b + 0}{2a} \\ \end{array} \right. \implies r_0 = \frac{-b}{2a} \end{align*} Les solutions de $(E_0)$ sont alors~: \begin{equation*} \color{red}{y_0 = (\lambda x + \mu) e^{r_0 x}} \quad \text{ où } \lambda, \mu \in \mathbb{R} \end{equation*} \item si $\Delta < 0$, l'équation caractéristique possède deux racines complexes $ \left\{ \begin{array}{l} r_1 = \alpha + i\beta \\ r_2 = \alpha - i\beta \\ \end{array} \right.$ \begin{align*} \left\{ \begin{array}{l} r_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \\\\ r_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \\ \end{array} \right. \implies \left\{ \begin{array}{l} r_1 = \frac{-b - i\sqrt{|\Delta|}}{2a} \\\\ r_2 = \frac{-b + i\sqrt{|\Delta|}}{2a} \\ \end{array} \right. \implies \left\{ \begin{array}{l} \alpha = \frac{-b}{2a} \\\\ \beta = \left|\frac{\sqrt{|\Delta|}}{2a}\right| \\ \end{array} \right. \end{align*} Les solutions de $(E_0)$ sont alors~: \begin{equation*} \color{red}{y_0 = e^{\alpha x}(\lambda\cos{(\beta x)} + \mu\sin{(\beta x)})} \quad \text{ où } \lambda, \mu \in \mathbb{R} \end{equation*} \end{itemize} \subsubsection{Trouver une solution particulière ($y_1$)} On cherche maintenant une solution particulière de $(E)$ ($ay'' + by' + cy = g(x)$). Pour cela, on a deux cas particuliers. \begin{enumerate} \item Second membre du type $e^{\alpha x}P(x)$ On cherche une solution sous la forme~: \begin{itemize} \item $\color{red}{y_1 = e^{\alpha x} Q(x)}$ si $\alpha$ n'est pas une racine de l'équation caractéristique. \item $\color{red}{y_1 = x e^{\alpha x} Q(x)}$ si $\alpha$ est une racine simple de l'équation caractéristique. \item $\color{red}{y_1 = x^2 e^{\alpha x} Q(x)}$ si $\alpha$ est une racine double de l'équation caractéristique. \end{itemize} où $Q$ est un polynôme du même degré que $P(x)$. \item Second membre du type $e^{\alpha x}(P_1(x)\cos(\beta x) + P_2(x)\sin(\beta x))$ On cherche une solution sous la forme~: \begin{itemize} \item $\color{red}{y_1 = e^{\alpha x}(Q_1(x)\cos(\beta x) + Q_2(x)\sin(\beta x))}$ si $\alpha + i\beta$ n'est pas une racine de l'équation caractéristique. \item $\color{red}{y_1 = x e^{\alpha x}(Q_1(x)\cos(\beta x) + Q_2(x)\sin(\beta x))}$ si $\alpha + i\beta$ est une racine de l'équation caractéristique. \end{itemize} où $Q_1$ et $Q_2$ sont deux polynômes de degré $n = \max\{deg P_1, deg P_2\}$ \end{enumerate} \subsubsection{Écrire la solution générale ($y$)} La solution générale de $(E)$ s'écrit~: \begin{equation*} \color{red}{y = y_0 + y_1} \end{equation*} \clearpage \section{Intégrales généralisées} On étudie les intégrales du type~: \begin{itemize} \item $I = \int_a^{+\infty} f(x)\dif x$ où $f$ est continue sur $[a; +\infty[$. \item $J = \int_a^b f(x)\dif x$ où $\lim\limits_{x \to a} f(x) = +\infty$ est $f$ continue sur $]a; b[$. \end{itemize} On va ici étudier principalement les intégrales du type $I$. \subsection{Convergence --- Divergence} On définit $I = \int_a^{+\infty} f(x)\dif x = \lim\limits_{b \to +\infty} \int_a^b f(x)\dif x$ Trois cas sont possibles~: \begin{enumerate} \item Limite finie~: l'intégrale \emph{converge}. \begin{equation*} \int_a^{+\infty} f(x)\dif x = \lim\limits_{b \to +\infty} \int_a^b f(x)\dif x = l \end{equation*} \item Limite infinie~: l'intégrale \emph{diverge}, mais la limite existe. \begin{equation*} \int_a^{+\infty} f(x)\dif x = \lim\limits_{b \to +\infty} \int_a^b f(x)\dif x = +\infty \end{equation*} \item Pas de limite~: l'intégrale \emph{diverge}. \end{enumerate} Par exemple~: \begin{align*} I &= \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2}\dif x \\ &= \lim\limits_{b \to +\infty} \int_1^b \frac{1}{x^2}\dif x \\ &= \lim\limits_{b \to +\infty} [-\frac{1}{x}]_1^b \\ &= \lim\limits_{b \to +\infty} (-\frac{1}{b} + 1) \\ &= 0 + 1 \\ &\implies I \text{ est convergente et } I = 1 \end{align*} \subsection{Intégrales de référence avec une borne $a > 0$} \begin{align*} \int_a^{+\infty} \frac{1}{x^{\alpha}}\dif x \quad &\left\{ \begin{array}{l} \text{converge si } \alpha > 1 \\ \text{diverge si } \alpha \leq 1 \\ \end{array} \right. \\ \int_a^{+\infty} e^{-\alpha x}\dif x \quad &\left\{ \begin{array}{l} \text{converge si } \alpha > 0 \\ \text{diverge si } \alpha \leq 0 \\ \end{array} \right. \\ \int_a^{+\infty} x^n e^{-\alpha x}\dif x \quad &\left\{ \begin{array}{l} \text{converge si } \alpha > 0 \\ \text{diverge si } \alpha < 0 \\ \end{array} \right. \quad \text{(on dit que l'exponentielle l'emporte)} \\ \int_a^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha(\ln{x})^{\beta}} \dif x \quad &\left\{ \begin{array}{l} \text{converge si } (\alpha > 1) \text{ ou } (\alpha = 1 \text{ et } \beta > 1) \\ \text{diverge si } (\alpha = 1 \text{ et } \beta \leq 1) \text{ ou } (\alpha < 1) \\ \end{array} \right. \end{align*} \subsection{Majoration et minoration d'intégrales pour les fonctions positives} Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur $[a, +\infty[$ et $0 \leq f(x) \leq g(x)$, alors~: \begin{align*} \int_a^{+\infty} g(x)\dif x \text{ converge } &\implies \int_a^{+\infty} f(x)\dif x \text{ converge aussi} \quad &\color{blue}{(1)} \\ \int_a^{+\infty} f(x)\dif x \text{ diverge } &\implies \int_a^{+\infty} g(x)\dif x \text{ diverge aussi} \quad &\color{blue}{(2)} \\ \end{align*} \textcolor{blue}{(1)} permet de montrer la convergence de $-\int_a^{+\infty} f(x)\dif x$ par majoration. \textcolor{blue}{(2)} permet de montrer la divergence de $-\int_a^{+\infty} g(x)\dif x$ par minoration. \subsection{Équivalents pour les fonctions positives} Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a, +\infty[$ avec $f(x) \geq 0$ et $g(x) \geq 0$. Si $f(x) \sim g(x)$ quand $x \rightarrow +\infty$, alors $\int_a^{+\infty} f(x)\dif x$ converge $\iff \int_a^{+\infty} g(x)\dif x$ converge. On peut aussi dire que $\frac{f(x)}{g(x)} \rightarrow 1$ quand $x \rightarrow +\infty$. \clearpage \section{Séries de Fourier} \subsection{Définition} Soit $f$ une fonction $T$-périodique. On pose que $L = \frac{T}{2}$. La série de Fourier associée à $f$ est~: \begin{align*} S_f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_n\cos{\frac{2\pi nx}{T}} + b_n\sin{\frac{2\pi nx}{T}}\right) \\ \text{avec } a_0 &= \frac{1}{T} \int_{-L}^L f(x) \dif x \\ a_n &= \frac{2}{T} \int_{-L}^L f(x) \cos{\frac{2\pi nx}{T}} \dif x \\ b_n &= \frac{2}{T} \int_{-L}^L f(x) \sin{\frac{2\pi nx}{T}} \dif x \end{align*} \subsection{Théorême de Dirichlet} Plusieurs conditions~: \begin{itemize} \item $f$ est continue sur $[a;b]$ \\ \item $f$ est dérivable par morceaux sur $[a;b]$ \\ \item $\forall x_0 \in [a;b]$, \quad $f(x_0^+) et f(x_0^-)$ sont finis et existent \end{itemize} Alors la série de Fourier de $f$ converge vers~: \begin{itemize} \item $f(x)$ si $f$ est continue en $x$ \\ \item $\frac{f(x_0^+) + f(x_0^-)}{2}$ si $f$ est discontinue en $x$ \end{itemize} \subsection{Remarques} \subsubsection{$f$ paire ($f(-x) = f(x)$)} \begin{align*} \forall n \in \mathbb{N}^* \quad b_n &= 0 \\ a_n &= \frac{2}{T} \int_{-L}^L f(x) \cos{\frac{2n\pi x}{T}} \dif x \\ &= \frac{4}{T} \int_0^L f(x) \cos{\frac{2n\pi x}{T}} \dif x \end{align*} \subsubsection{$f$ impaire ($f(-x) = -f(x)$)} \begin{align*} \forall n \in \mathbb{N} \quad a_n &= 0 \\ b_n &= \frac{2}{T} \int_{-L}^L f(x) \sin{\frac{2n\pi x}{T}} \dif x \\ &= \frac{4}{T} \int_0^L f(x) \sin{\frac{2n\pi x}{T}} \dif x \end{align*} \subsubsection{Astuces} \begin{itemize} \item $\int_{-a}^{+a}$ impaire $= 0$ \\ \item $\int_{-a}^{+a}$ paire $= 2\int_0^{+a}$ paire \\ \item $\sin(n\pi) = 0 \quad \forall n \in \mathbb{N}$ \\ \item $\cos(n\pi) = {(-1)}^n \quad \forall n \in \mathbb{N}$ \\ \item $\cos(n \pm \frac{\pi}{2}) = \mp \sin{n}$ \\ \end{itemize} Si on a la série de Fourier associée à $f(x)$ avec un $\cos$ et qu'on veut calculer la somme, on pose $x = 0$ car $\cos{0} = 1$. Si on a la série de Fourier associée à $f(x)$ avec un $\sin$ et qu'on veut calculer la somme, on pose $x = \frac{\pi}{2}$ car $\sin{\frac{\pi}{2}} = 1$. \subsection{Exemple} Soit $f$ une fonction ni paire ni impaire, périodique de période 10 et définie par~: \begin{align*} f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 0 \quad \text{si } -5 < x < 0 \\ 3 \quad \text{si } 0 < x < 5 \\ \end{array} \right. \end{align*} \begin{enumerate} \item Déterminer les coefficients de Fourier \begin{align*} T = 10 \implies L = 5 \\ a_0 &= \frac{1}{5} \int_{-5}^5 f(x) \dif x \\ &= \frac{1}{5} \left(\int_{-5}^0 f(x) \dif x + \int_0^5 f(x) \dif x \right) \\ &= \frac{1}{5} \left(\int_{-5}^0 0 \dif x + \int_0^5 3 \dif x \right) \\ &= \frac{3}{5} [x]_0^5 \\ a_0 &= 3 \\ a_n &= \frac{1}{5} \int_{-5}^5 f(x) \cos{\frac{n\pi x}{5}} \dif x \\ &= \frac{1}{5} \left(\int_{-5}^0 f(x) \cos{\frac{n\pi x}{5}} \dif x + \int_0^5 f(x) \cos{\frac{n\pi x}{5}} \dif x \right) \\ &= \frac{1}{5} \left(\int_{-5}^0 0 \dif x + \int_0^5 3 \cos{\frac{n\pi x}{5}} \dif x \right) \\ &= \frac{1}{5} \left(3\int_0^5 \cos{\frac{n\pi x}{5}} \dif x \right) \\ &= \frac{3}{5} \left[\frac{\sin(n\pi x)}{5n\pi}\right]_0^5 = \frac{3}{5} \frac{\sin(n\pi 5)}{5n\pi} = \frac{3}{5} \times 0 \\ a_n &= 0 \quad \forall n \geq 0 \\ \\ b_n &= \frac{1}{5} \int_{-5}^5 f(x) \sin{\frac{n\pi x}{5}} \dif x \\ &= \frac{1}{5} \int_0^5 3 \sin{\frac{n\pi x}{5}} \dif x \\ &= \frac{3}{5} \int_0^5 \sin{\frac{n\pi x}{5}} \dif x \\ &= \frac{3}{5} \frac{5}{n\pi}\left[-\cos\frac{n\pi x}{5}\right]_0^5 = \frac{-3}{n\pi} [\cos(n\pi) - \cos{0}] \\ &= \frac{-3}{n\pi} [(-1)^n - 1] \\ b_n &= \frac{3[(-1)^{n+1} + 1]}{n\pi} \quad \forall n \geq 1 \end{align*} \item Donner la série de Fourier associée à $f$ \begin{align*} S_f(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} \left(a_n \cos{\frac{n\pi x}{5}} + b_n \sin{\frac{n\pi x}{5}}\right) \\ &= \frac{3}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} \left(\frac{3[(-1)^{n+1} + 1]}{n\pi} \sin{\frac{n\pi x}{5}}\right) \\ \\ S_f(x) &= \frac{3}{2} + \frac{3}{n\pi} \sum_{n=1}^{+\infty} \left([(-1)^{n+1} + 1] \sin{\frac{n\pi x}{5}}\right) \end{align*} \end{enumerate} \subsection{Égalité de Parseval} L'égalité de Parseval permet de déterminer la somme en passant par les carrés. La fonction doit être continue ou au moins continue par morceaux. \begin{equation*} \frac{1}{T}\int_{-L}^L f^2(x) \dif x = a_0^2 + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n^2 + b_n^2) \end{equation*} \end{document}