\documentclass[a4paper,french,12pt]{article}

\title{Théorie du signal}
\author{}
\date{Dernière compilation~: \today{} à \currenttime}

\usepackage{../cours}

\begin{document}

\maketitle
\tableofcontents

\clearpage

\section{Présentation}

    Un signal est la représentation d'une information ou d'un message.
    Dans ce cours, tous les signaux seront \emph{déterministes}~: ils peuvent être représentés par une fonction mathématique.

    Si la fréquence d'un signal est nulle, la fonction associée vaudra une constante.
    La variation du signal en fonction du temps est donc dûe à la fréquence.

    $f = 0 \implies$ fonction constante.

    Pour rendre exploitable un signal, on applique des opérations (\emph{traitement du signal})~:

    \begin{itemize}

        \item Amplification

        \item Filtrage

        \item Modulation

        \item Numérisation

    \end{itemize}

    La nature d'un signal peut être électrique, acoustique, optique\ldots

    Un signal peut évoluer en fonction du temps ou de l'espace (vidéo).
    Ici nous ne prendrons en compte que les signaux à une dimension.

    Le bruit est tout ce qui n'est pas porteur d'information.

\section{Classification des signaux}

    \subsection{Déterministe / aléatoire}

        \begin{itemize}

            \item \textbf{Déterministe} ---
                Décrit en par une fonction mathématique $x(t)$.
                Il est donc \emph{prédictif}~: sa valeur est connue pour toute valeur de $t$.

            \item \textbf{Aléatoire} ---
                Décrit par des propriétés statistiques (probabilité, espérance mathématique, variande\ldots).
                Il n'est donc pas \emph{prédictif}~: on ne peut pas connaître sa valeur à un instant $t$.

        \end{itemize}

    \subsection{Puissance moyenne finie / énergie finie}

        \begin{itemize}

            \item \textbf{Signaux à énergie finie}

                $E = \int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 \dif t < \infty$

                Ils sont à \emph{puissance moyenne nulle}.
                On y trouve les signaux continus à \emph{support borné}.

            \item \textbf{Signaux à puissance moyenne finie}

                $P = \lim\limits_{T_0 \to \infty} \int_{-T_0/2}^{+T_0/2} |x(t)|^2 \dif t$, où $T_0$ est la période.

                Ils sont à \emph{énergie infinie}.
                On y trouve les signaux périodiques.
                Les calculs se font sur une période.

        \end{itemize}

    \subsection{Analogique / discret (échantillonné, quantifié, numérique)}

        \begin{itemize}

            \item \textbf{Analogique --- Continu}

                Un signal analogique est continu.
                Son évolution est décrite par la variable continue $t \in \mathbb{R}$.

            \item \textbf{Discret}

                Son évolution est décrite par une variable discrète $n \in \mathbb{Z}$.
                Cette variable discrète est appelée \emph{échantillon}.

        \end{itemize}

        \begin{tabular}{l|ll}
            \toprule
            A / t   & continu    & discret       \\
            \midrule
            continu & analogique & échantillonné \\
            discret & quantifié  & numérique     \\
            \bottomrule
        \end{tabular}

        Un signal \emph{échantillonné} est discret en \emph{temps}.
        Un signal \emph{quantifié} est discret en \emph{amplitude}.

        En réalité le signal quantifié n'existe pas (il ne peut être que continu par morceaux dans ce cas).

        \subsubsection{Signaux continus usuels}

            \begin{itemize}

                \item \textbf{Échelon unitaire} ou Heaviside
                    \begin{align*}
                        u(t) =
                        \left\{
                        \begin{array}{l}
                            1 \,\forall \, t \geq 0 \\
                            0 \,\forall \, t < 0 \\
                        \end{array}
                        \right.
                    \end{align*}

                    C'est un signal \emph{causal} (nul pour tout $t < 0$).
                    Il n'est pas à support borné, il n'est pas périodique.
                    Il n'est ni à puissance moyenne finie, ni à énergie finie.

                \item \textbf{Signal porte} ou signal rectangle
                    \begin{align*}
                        x(t) =
                        \left\{
                        \begin{array}{l}
                            A \text{ si } t \in [T_1;T_2] \\
                            0 \text{ sinon} \\
                        \end{array}
                        \right.
                    \end{align*}

                    Il est à \emph{support borné} et à \emph{énergie finie}.

                \item \textbf{Exponentielle amortie}
                    \begin{align*}
                        x(t) = e^{-\alpha|t|} \quad \forall t \in \mathbb{R}
                    \end{align*}

                    Il faut que $\alpha$ soit positif (sinon $x(t)$ diverge).

                \item \textbf{Exponentielle amortie et causale}
                    \begin{align*}
                        x(t) =
                        \left\{
                        \begin{array}{l}
                            e^{-\alpha t} \forall t \geq 0 \\
                            0 \forall t < 0 \\
                        \end{array}
                        \right.
                    \end{align*}

                \item \textbf{Signal carré} de \emph{rapport cyclique} $r$
                    \begin{align*}
                        x(t) =
                        \left\{
                        \begin{array}{l}
                            0 \forall t \in [0; (1 - r)T_0] \\
                            A \forall t \in [] \\
                        \end{array}
                        \right.
                    \end{align*}

                \item \textbf{Signal sinusoïdal}
                    $\cos(2\pi f_0 t) = \sin(2\pi f_0 t + \frac{\pi}{2})$

                    Il y a un \emph{déphasage} $\varphi$ constant de $\frac{\pi}{2}$.

                    \begin{align*}
                        &\varphi = 2\pi\frac{\Delta t}{T_0} [\text{rad}]
                        &\varphi = 360\frac{\Delta t}{T_0} [\text{degré}]
                    \end{align*}

                    Rappels~:

                    \begin{itemize}

                        \item Formule d'Euler~:
                            \begin{align*}
                                \cos(2\pi f_0 t) = \frac{e^{j2\pi f_0 t} + e^{-j2\pi f_0 t}}{2} \\
                                \sin(2\pi f_0 t) = \frac{e^{j2\pi f_0 t} + e^{-j2\pi f_0 t}}{2j} \\
                            \end{align*}

                        \item Parité~:

                            $x$ est paire si $x(-t) = x(t)$ \\
                            $x$ est impaire si $x(-t) = -x(t)$ \\

                    \end{itemize}

                \item \textbf{Sinus cardinal}
                    \begin{align*}
                        \mathrm{sinc}(t) =
                        \left\{
                        \begin{array}{l}
                            ... \\
                            ... \\
                        \end{array}
                        \right.
                    \end{align*}

            \end{itemize}

        \subsubsection{Le bruit, signal \emph{aléatoire}}

            \paragraph{Rapport Signal sur Bruit (RSB)}

                Critère qui permet de quantifier le signal par rapport au bruit présent.
                \begin{equation*}
                    \text{RSB} = \frac{P_S}{P_B}
                \end{equation*}

    \subsection{Signaux élémentaires}

    \subsection{Impulsion ou distribution de Dirac, $\delta$}

        Ce n'est pas un signal réel.
        C'est un objet mathématique qui sert à modéliser certains phénnomènes.
        \begin{align*}
            \delta(t) =
            \left\{
            \begin{array}{l}
                +\infty \text{ pour } t = 0 \\
                0 \text{ pour } t \neq 0 \\
            \end{array}
            \right.
        \end{align*}

        Propriétés~:
            \begin{align*}
                &\int_{\mathbb{R}} \delta(t) \dif t = 1
                \quad\text{peut être vu comme la dérivée de l'échelon unitaire} \\
                &\int_{\mathbb{R}} x(t)\delta(t) \dif t = x(0) \\
                &\int_{\mathbb{R}} x(t)\delta(t - t_0) \dif t = x(t_0) \\
            \end{align*}

\section{Analyse fréquentielle}

    \subsection{Introduction}

        L'analyse de Fourier permet de déterminer la fonction du signal temporel dans le domaine fréquentiel.
        \begin{equation*}
            x(t) \rightarrow X(f)
        \end{equation*}

    \subsection{Décomposition en Série de Fourier (DSF)}

        Tout signal $x:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, $T_0$-périodique, continu ou continu par morceaux, intégrable une fois dans $\mathbb{R}$ (conditions de Dirichlet), peut se décomposer en une somme de sinus et de cosinus.

        \subsubsection{Forme réelle}

            \begin{align*}
                x(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} [a_n\cos(n\omega_0 t) + b_n\sin(n\omega_0 t)] \\
                x(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} [a_n\cos(n\omega_0 t) + b_n\sin(n\omega_0 t)]
            \end{align*}

            \begin{itemize}

                \item $a_n$ et $b_n$ sont les coefficients de Fourier réels

                \item $\omega_0 = 2\pi f_0$ [rad/s] est la pulsation fondamentale de $x(t)$
                % TODO: finish

            \end{itemize}

            Expression des coefficients de Fourier réels~:
            \begin{align*}
                a_0 = \frac{1}{T_0} \int_{(T_0)} \cos(n\omega_0 t) \dif t \\
                a_n = \frac{2}{T_0} \int_{(T_0)} \cos(n\omega_0 t) \dif t \\
                b_n = \frac{2}{T_0} \int_{(T_0)} \sin(n\omega_0 t) \dif t
            \end{align*}

        \subsubsection{Forme directe (complexe)}

            À savoir~: $e^{j\theta} = \cos(\theta) + \sin(j\theta)$
            \begin{align*}
                %TODO: remplace par la bonne formule
                x(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{jn\omega_0 t} \\
                x(t) = \sum_{n=-\infty}^{-1} c_n e^{jn\omega_0 t} + c_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} c_n e^{jn\omega_0 t} \\
                x(t) = c_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} [c_n e^{jn\omega_0 t} + c_{-n} e^{-jn\omega_0 t}] \\
            \end{align*}

            \begin{itemize}

                \item $c_n$ et $c_{-n}$ sont les coefficients de Fourier complexes
                % TODO: finish

            \end{itemize}

        \subsubsection{Correspondance entre les coefficients de Fourier réels et complexes}

            Par identification on % TODO: finish

        \subsubsection{Théorême de Parseval}

            \begin{equation*}
                \frac{1}{T_0} \int_{(T_0)} |x(t)|^2 \dif t = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_n|^2
            \end{equation*}
            $\implies$ même quantité de puissance/signal en temps qu'en fréquence.

    \subsection{Transformée de Fourier (TF)}

        \subsubsection{Définition}

            La DSF ne s'applique que les signaux périodiques.
            Pour travailler sur un signal non périodique, il faut passer par la transformée de Fourier.

            $x(t) \rightarrow^{TF} X(f)$

            \begin{equation*}
                X(f) = \int_{\mathbb{R}} e^{j2\pi ft} df
            \end{equation*}

        \subsubsection{Transformée inverse}

        \subsubsection{Passage de la DSF à la TF}

    \subsection{Représentation d'un signal dans le domaine fréquentiel}

\end{document}
