\documentclass[a4paper,french,12pt]{article}

\title{Théorie des graphes --- Exercices}
\author{}
\date{Dernière compilation~: \today{} à \currenttime}

\usepackage{styles}

\begin{document}

\maketitle

\section{TD1 --- Partie 1}

    \subsection{Exercice 1}

        \paragraph{Graphe simple}
            \begin{tikzpicture}[auto,x=2cm,y=2cm]
                \node(a)[state] at (0,0) {};
                \node(b)[state] at (2,0) {};
                \path (a) edge (b);
            \end{tikzpicture}

        \paragraph{Graphe multigraphe}
            \begin{tikzpicture}[auto,x=2cm,y=2cm]
                \node(a)[state] at (0,0) {};
                \node(b)[state] at (2,0) {};
                \path
                    (a) [bend left] edge (b)
                    (b) [bend left] edge (a)
                    ;
            \end{tikzpicture}

        \paragraph{Graphe connexe}
            \begin{tikzpicture}[auto,x=2cm,y=2cm]
                \node(a)[state] at (0,0) {};
                \node(b)[state] at (1,1) {};
                \node(c)[state] at (2,0) {};
                \path
                    (a) edge (b)
                    (b) edge (c)
                    (c) edge (a)
                    ;
            \end{tikzpicture}

        \paragraph{Graphe non connexe}
            \begin{tikzpicture}[auto,x=2cm,y=2cm]
                \node(a)[state] at (0,0) {};
                \node(b)[state] at (1,1) {};
                \node(c)[state] at (2,0) {};
                \path
                    (a) edge (b)
                    ;
            \end{tikzpicture}

        \paragraph{Graphe complet}
            \begin{tikzpicture}[auto,x=2cm,y=2cm]
                \node(a)[state] at (0,0) {};
                \node(b)[state] at (1,0) {};
                \node(c)[state] at (0,1) {};
                \node(d)[state] at (1,1) {};
                \path
                    (a) edge (b)
                    (a) edge (c)
                    (a) edge (d)
                    (b) edge (c)
                    (b) edge (d)
                    (c) edge (d)
                    ;
            \end{tikzpicture}

        \paragraph{Graphe biparti}
            \begin{tikzpicture}[auto,x=2cm,y=2cm]
                \node(a)[state] at (0,0) {};
                \node(b)[state] at (1,0) {};
                \node(c)[state] at (0,1) {};
                \node(d)[state] at (1,1) {};
                \node(e)[state] at (2,0) {};
                \node(f)[state] at (2,1) {};
                \path
                    (a) edge (b)
                    (a) edge (c)
                    (a) edge (d)
                    (b) edge (c)
                    (b) edge (d)
                    (c) edge (d)
                    (d) edge (e)
                    (d) edge (f)
                    (e) edge (f)
                    ;
            \end{tikzpicture}

\section{TD1 --- Partie 2}

    \subsection{Exercice 1}

        Dans le graphe ci-dessous~:

        \includegraphics[width=\linewidth]{./img/td1-ex1.png}

        \begin{enumerate}

            \item Quels sont les successeurs de A, D et E~?

                A~: B, F \\
                B~: A, C, D, J \\
                E~: D, F

            \item Quels sont les prédécesseurs de B, C et F~?

                B~: A, C, D \\
                C~: B, D \\
                F~: A, E

            \item Est-ce qu'il y a des points qui n'ont pas de prédécesseur, ni successeur~?
                Lesquels~?

                G

            \item Quelle est l'extrémité initiale de l'arc $(A,B)$~?

                A

            \item Quelle est l'extrémité terminale de l'arc $(B,C)$~?

                C

            \item Est-ce qu'il y a des points qui ont à la fois l'extrémité initiale et terminale~?
                Lesquels~?

                A, B, C, D, E, F

            \item Chercher l'ensemble des successeurs directs $\Gamma^{+1}(x)$ des sommets.
                \begin{align*}
                    \Gamma^{+1}(A) &= \{B, F\} \\
                    \Gamma^{+1}(B) &= \{A, C, D, J\} \\
                    \Gamma^{+1}(C) &= \{B, E\} \\
                    \Gamma^{+1}(D) &= \{B, C, E\} \\
                    \Gamma^{+1}(E) &= \{A, D, F\} \\
                    \Gamma^{+1}(F) &= \{A\} \\
                    \Gamma^{+1}(G) &= \emptyset \\
                    \Gamma^{+1}(J) &= \emptyset
                \end{align*}

            \item Chercher l'ensemble des prédécesseurs directs $\Gamma^{-1}(x)$ des sommets.
                \begin{align*}
                    \Gamma^{-1}(A) &= \{B, E, F\} \\
                    \Gamma^{-1}(B) &= \{A, C, D\} \\
                    \Gamma^{-1}(C) &= \{B, D\} \\
                    \Gamma^{-1}(D) &= \{B, E\} \\
                    \Gamma^{-1}(E) &= \{D\} \\
                    \Gamma^{-1}(F) &= \{A, E\} \\
                    \Gamma^{-1}(G) &= \emptyset \\
                    \Gamma^{-1}(J) &= \{B\}
                \end{align*}

            \item Chercher l'ensemble des successeurs indirects $\Gamma^{+2}(x)$ des sommets.
                \begin{align*}
                    \Gamma^{+2}(A) &= \{A, C, D, J\} \\
                    \Gamma^{+2}(B) &= \{B, C, E, F\} \\
                    \Gamma^{+2}(C) &= \{A, C, D, F, J\} \\
                    \Gamma^{+2}(D) &= \{A, B, C, D, E, F, J\} \\
                    \Gamma^{+2}(E) &= \{A, B, C, E, F\} \\
                    \Gamma^{+2}(F) &= \{B, F\} \\
                    \Gamma^{+2}(G) &= \emptyset \\
                    \Gamma^{+2}(J) &= \emptyset
                \end{align*}

        \end{enumerate}

    \subsection{Exercice 2}

        \includegraphics[width=\linewidth]{./img/td1-ex2.png}

        \begin{enumerate}

            \item Quels sont les successeurs de B, D, E et F~?

                B~: C, D \\
                D~: A, B, E \\
                E~: G \\
                F~: A, F

            \item Quels sont les prédécesseurs de A, C, D et G~?

                A~: C, D, F \\
                C~: B \\
                D~: B, C \\
                G~: E, G

            \item Quels points n'ont ni prédécesseur ni successeur~?

                Non.

            \item Quelle est l'extrémité initiale de l'arc $(D,E)$~?

                D

            \item Quelle est l'extrémité terminale de l'arc $(C,D)$~?

                D

            \item Quels points ont à la fois l'extrémité initiale et terminale~?

                Tous.

            \item Chercher l'ensemble des successeurs directs des sommets~:
                \begin{align*}
                    \Gamma^{+1}(A) &= \{B\} \\
                    \Gamma^{+1}(B) &= \{C,D\} \\
                    \Gamma^{+1}(C) &= \{A,D\} \\
                    \Gamma^{+1}(D) &= \{A,B,E\} \\
                    \Gamma^{+1}(E) &= \{G\} \\
                    \Gamma^{+1}(F) &= \{A,F\} \\
                    \Gamma^{+1}(G) &= \{G\}
                \end{align*}

            \item Chercher l'ensemble des prédécesseurs directs des sommets~:
                \begin{align*}
                    \Gamma^{-1}(A) &= \{C,D,F\} \\
                    \Gamma^{-1}(B) &= \{A,D\} \\
                    \Gamma^{-1}(C) &= \{B\} \\
                    \Gamma^{-1}(D) &= \{B,C\} \\
                    \Gamma^{-1}(E) &= \{D\} \\
                    \Gamma^{-1}(F) &= \{F\} \\
                    \Gamma^{-1}(G) &= \{G\}
                \end{align*}

            \item Chercher l'ensemble des successeurs indirects $\Gamma^{+2}(x)$ des sommets~:
                \begin{align*}
                    \Gamma^{+2}(A) &= \{C,D\} \\
                    \Gamma^{+2}(B) &= \{A,B,D,E\} \\
                    \Gamma^{+2}(C) &= \{A,B,E\} \\
                    \Gamma^{+2}(D) &= \{B,C,D,G\} \\
                    \Gamma^{+2}(E) &= \{G\} \\
                    \Gamma^{+2}(F) &= \{B,F\} \\
                    \Gamma^{+2}(G) &= \{G\}
                \end{align*}

            \item Chercher l'ensemble des successeurs indirects $\Gamma^{+3}(x)$ des sommets~:
                \begin{align*}
                    \Gamma^{+2}(A) &= \{A,B,D,E\} \\
                    \Gamma^{+2}(B) &= \{A,B,C,D,E,G\} \\
                    \Gamma^{+2}(C) &= \{B,C,D,G\} \\
                    \Gamma^{+2}(D) &= \{A,B,C,D,E,G\} \\
                    \Gamma^{+2}(E) &= \{G\} \\
                    \Gamma^{+2}(F) &= \{A,C,D,F\} \\
                    \Gamma^{+2}(G) &= \{G\}
                \end{align*}

        \end{enumerate}

\end{document}